Биметрическая гравитация

Биметрическая гравитация или бигравитация относится к двум разным классам теорий. Первый класс теорий опирается на модифицированные математические теории гравитации (или гравитации), в которых два метрических тензора . вместо одного используются Вторая метрика может быть введена при высоких энергиях, подразумевая, что скорость света может зависеть от энергии, что позволяет создавать модели с переменной скоростью света .

Если две метрики являются динамическими и взаимодействуют, первая возможность подразумевает две моды гравитона : одну массивную и одну безмассовую; такие биметрические теории тогда тесно связаны с массивной гравитацией . Существует несколько биметрических теорий с массивными гравитонами, например, приписываемые Натану Розену (1909–1995). или Мордехай Милгром с релятивистскими расширениями Модифицированной Ньютоновской Динамики ( МОНД ). Совсем недавно развитие массивной гравитации также привело к появлению новых последовательных теорий биметрической гравитации. Хотя не было показано, что ни одна из них не объясняет физические наблюдения более точно и последовательно, чем общая теория относительности , было показано, что теория Розена несовместима с наблюдениями двойного пульсара Халса-Тейлора . Некоторые из этих теорий приводят к космическому ускорению в более поздние времена и поэтому являются альтернативой темной энергии . Биметрическая гравитация также противоречит измерениям гравитационных волн, испускаемых в результате слияния нейтронной звезды GW170817 .

Напротив, второй класс биметрических теорий гравитации не опирается на массивные гравитоны и не модифицирует закон Ньютона , а вместо этого описывает Вселенную как многообразие, имеющее две связанные римановы метрики , где материя, населяющая два сектора, взаимодействует посредством гравитации (и антигравитации). если топология и ньютоновское приближение рассматриваемая с отрицательной массой и отрицательной энергией состояния вводят в космологию как альтернативу темной материи и темной энергии). Некоторые из этих космологических моделей также используют переменную скорость света в состоянии высокой плотности энергии в эпоху доминирования излучения во Вселенной, что бросает вызов гипотезе инфляции .

Бигравитация Розена (1940–1989)

В общей теории относительности (ОТО) предполагается, что расстояние между двумя точками пространства-времени задается метрическим тензором . Затем уравнение поля Эйнштейна используется для расчета формы метрики на основе распределения энергии и импульса.

В 1940 году Розен предположил, что в каждой точке пространства-времени существует евклидов метрический тензор $\gamma _{ij}$ в дополнение к риманову метрическому тензору $g_{ij}$. Таким образом, в каждой точке пространства-времени существуют две метрики:

1. $ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}$
2. $d\sigma ^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}$

Первый метрический тензор, $g_{ij}$, описывает геометрию пространства-времени и, следовательно, гравитационное поле. Второй метрический тензор $\gamma _{ij}$, относится к плоскому пространству-времени и описывает силы инерции. Символы Кристоффеля образовались из $g_{ij}$ и $\gamma _{ij}$ обозначаются $\{_{jk}^{i}\}$ и $\Gamma _{jk}^{i}$ соответственно.

Поскольку разность двух связностей является тензором, можно определить тензорное поле $\Delta _{jk}^{i}$ предоставлено:

$\Delta _{jk}^{i}=\{_{jk}^{i}\}-\Gamma _{jk}^{i}$ ( 1 )

Тогда возникают два вида ковариантной дифференциации: $g$-дифференциация по $g_{ij}$ (обозначается точкой с запятой, например $X_{;a}$) и ковариантное дифференцирование на основе $\gamma _{ij}$ (обозначается косой чертой, например $X_{/a}$). Обыкновенные частные производные обозначаются запятой (например, $X_{,a}$). Позволять $R_{ijk}^{h}$ и $P_{ijk}^{h}$ – тензоры кривизны Римана, рассчитанные по формуле $g_{ij}$ и $\gamma _{ij}$, соответственно. В описанном выше подходе тензор кривизны $P_{ijk}^{h}$ равен нулю, так как $\gamma _{ij}$ — плоская метрика пространства-времени.

Непосредственный расчет дает тензор кривизны Римана

${\begin{aligned}R_{ijk}^{h}&=P_{ijk}^{h}-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\\&=-\Delta _{ij/k}^{h}+\Delta _{ik/j}^{h}+\Delta _{mj}^{h}\Delta _{ik}^{m}-\Delta _{mk}^{h}\Delta _{ij}^{m}\end{aligned}}$

Каждое слагаемое в правой части является тензором. Видно, что от ОТО можно перейти к новой формулировке, просто заменив {:} на $\Delta$ и обычное дифференцирование по коварианту $\gamma$-дифференциация, ${\sqrt {-g}}$ к ${\sqrt {\tfrac {g}{\gamma }}}$, мера интегрирования $d^{4}x$ к ${\sqrt {-\gamma }}\,d^{4}x$, где $g=\det(g_{ij})$, $\gamma =\det(\gamma _{ij})$ и $d^{4}x=dx^{1}dx^{2}dx^{3}dx^{4}$. Однажды представив $\gamma _{ij}$ в теорию, в распоряжении имеется большое количество новых тензоров и скаляров. Можно составить и другие уравнения поля, отличные от уравнения Эйнштейна. Возможно, некоторые из них окажутся более удовлетворительными для описания природы.

Уравнение геодезических в биметрической теории относительности (БР) принимает вид

${\frac {d^{2}x^{i}}{ds^{2}}}+\Gamma _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}+\Delta _{jk}^{i}{\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {dx^{k}}{ds}}=0$ ( 2 )

видно , что Из уравнений ( 1 ) и ( 2 ) $\Gamma$ можно рассматривать как описание поля инерции, поскольку оно исчезает при подходящем преобразовании координат.

Будучи количеством $\Delta$ тензор, он не зависит от какой-либо системы координат и, следовательно, может рассматриваться как описывающий постоянное гравитационное поле.

Розен (1973) обнаружил, что БР удовлетворяет принципу ковариации и эквивалентности. В 1966 году Розен показал, что введение пространственной метрики в рамки общей теории относительности позволяет не только получить тензор плотности энергии-импульса гравитационного поля, но и позволяет получить этот тензор из вариационного принципа. Полевые уравнения БР, полученные на основе вариационного принципа, имеют вид

$K_{j}^{i}=N_{j}^{i}-{\frac {1}{2}}\delta _{j}^{i}N=-8\pi \kappa T_{j}^{i}$ ( 3 )

где

$N_{j}^{i}={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }(g^{hi}g_{hj/\alpha })_{/\beta }$

или

${\begin{aligned}N_{j}^{i}&={\frac {1}{2}}\gamma ^{\alpha \beta }\left\{\left(g^{hi}g_{hj,\alpha }\right)_{,\beta }-\left(g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}\right)_{,\beta }-\gamma ^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{j\alpha }^{i}\right)_{,\beta }+\Gamma _{\lambda \beta }^{i}\left[g^{h\lambda }g_{hj,\alpha }-g^{h\lambda }g_{mj}\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{j\alpha }^{\lambda }\right]-\right.\\&\qquad \Gamma _{j\beta }^{\lambda }\left[g^{hi}g_{h\lambda ,\alpha }-g^{hi}g_{m\lambda }\Gamma _{h\alpha }^{m}-\Gamma _{\lambda \alpha }^{i}\right]+\Gamma _{\alpha \beta }^{\lambda }\left.\left[g^{hi}g_{hj,\lambda }-g^{hi}g_{mj}\Gamma _{h\lambda }^{m}-\Gamma _{j\lambda }^{i}\right]\right\}\end{aligned}}$

с

$N=g^{ij}N_{ij}$, $\kappa ={\sqrt {\frac {g}{\gamma }}}$

и $T_{j}^{i}$ – тензор энергии-импульса.

Вариационный принцип также приводит к соотношению

$T_{j;i}^{i}=0$.

Следовательно, из ( 3 )

$K_{j;i}^{i}=0$,

откуда следует, что в БР пробная частица в гравитационном поле движется по геодезической относительно $g_{ij}.$

Розен продолжил совершенствовать свою теорию биметрической гравитации в дополнительных публикациях в 1978 году. и 1980 г., в которой он предпринял попытку «устранить сингулярности, возникающие в общей теории относительности, изменив ее так, чтобы принять во внимание существование фундаментальной системы покоя во Вселенной». В 1985 году Розен снова попытался исключить сингулярности и псевдотензоры из общей теории относительности. Дважды в 1989 г., публикации в марте. и ноябрь Розен далее развил свою концепцию элементарных частиц в биметрической области общей теории относительности.

Установлено, что теории БР и ОТО различаются в следующих случаях:

• распространение электромагнитных волн
• внешнее поле звезды высокой плотности
• поведение интенсивных гравитационных волн, распространяющихся в сильном статическом гравитационном поле.

С 1992 года было показано, что предсказания гравитационного излучения в теории Розена противоречат наблюдениям двойного пульсара Халса-Тейлора .

Массивная бигравитация

Основная статья: Массивная гравитация

С 2010 года интерес к бигравитации возобновился после разработки Клаудией де Рам , Грегори Габададзе и Эндрю Толли (dRGT) здоровой теории массивной гравитации. Массивная гравитация - это биметрическая теория в том смысле, что нетривиальные члены взаимодействия для метрики $g_{\mu \nu }$ можно записать только с помощью второй метрики, поскольку единственный непроизводный член, который можно записать с помощью одной метрики, — это космологическая постоянная . В теории dRGT нединамическая «эталонная метрика». $f_{\mu \nu }$ вводится, а члены взаимодействия строятся из матричного квадратного корня из $g^{-1}f$.

В массивной гравитации dRGT эталонную метрику необходимо указывать вручную. Можно присвоить эталонной метрике член Эйнштейна – Гильберта , и в этом случае $f_{\mu \nu }$ не выбирается, а вместо этого динамически развивается в ответ на $g_{\mu \nu }$ и, возможно, имеет значение. Эта массивная большая гравитация была введена Фавадом Хасаном и Рэйчел Розен как продолжение массивной гравитации dRGT.

Теория dRGT имеет решающее значение для разработки теории с двумя динамическими метриками, поскольку общие биметрические теории страдают от призрака Булвера-Дезера , возможной шестой поляризации массивного гравитона. Потенциал dRGT создан специально для того, чтобы сделать этот призрак нединамичным, и до тех пор, пока кинетический член для второй метрики имеет форму Эйнштейна – Гильберта, полученная теория остается свободной от призраков.

Действие выражением для бесдуховой массивной бигравитации определяется

$S=-{\frac {M_{g}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}R(g)-{\frac {M_{f}^{2}}{2}}\int d^{4}x{\sqrt {-f}}R(f)+m^{2}M_{g}^{2}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\displaystyle \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}e_{n}(\mathbb {X} )+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }(g,\Phi _{i}).$

Как и в стандартной общей теории относительности, метрика $g_{\mu \nu }$ имеет кинетический член Эйнштейна – Гильберта, пропорциональный скаляру Риччи $R(g)$ и минимальная связь с лагранжианом материи ${\mathcal {L}}_{\mathrm {m} }$, с $\Phi _{i}$ представляющие все поля материи, такие как поля Стандартной модели . Член Эйнштейна – Гильберта также дан для $f_{\mu \nu }$. Каждая метрика имеет свою планковскую массу , обозначаемую $M_{g}$ и $M_{f}$ соответственно. Потенциал взаимодействия такой же, как и в массивной гравитации dRGT. $\beta _{i}$ – безразмерные константы связи и $m$ (или конкретно $\beta _{i}^{1/2}m$) связано с массой массивного гравитона. Эта теория распространяет семь степеней свободы, соответствующих безмассовому гравитону и массивному гравитону (хотя массивное и безмассовое состояния не соответствуют ни одной из метрик).

Потенциал взаимодействия строится из элементарных симметричных многочленов $e_{n}$ собственных значений матриц $\mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f}}$ или $\mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f}}$, параметризованный безразмерными константами связи $\alpha _{i}$ или $\beta _{i}$, соответственно. Здесь ${\sqrt {g^{-1}f}}$ является матричным квадратным корнем матрицы $g^{-1}f$. Записано в индексной записи, $\mathbb {X}$ определяется соотношением

$X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }.$

The $e_{n}$ можно записать непосредственно через $\mathbb {X}$ как

${\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )&=1,\\e_{1}(\mathbb {X} )&=[\mathbb {X} ],\\e_{2}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{2}}\left([\mathbb {X} ]^{2}-[\mathbb {X} ^{2}]\right),\\e_{3}(\mathbb {X} )&={\frac {1}{6}}\left([\mathbb {X} ]^{3}-3[\mathbb {X} ][\mathbb {X} ^{2}]+2[\mathbb {X} ^{3}]\right),\\e_{4}(\mathbb {X} )&=\operatorname {det} \mathbb {X} ,\end{aligned}}$

где скобки обозначают след , $[\mathbb {X} ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }$. Это особая антисимметричная комбинация терминов в каждом из $e_{n}$ который отвечает за нединамичность призрака Булвера-Дезера.

См. также

• Альтернативы общей теории относительности
• Модель DGP
• Скалярно-тензорная теория