Комар масса

Масса Комара (названа в честь Артура Комара ^[1]) системы — одно из нескольких формальных понятий массы , которые используются в общей теории относительности . Массу Комара можно определить в любом стационарном пространстве-времени , которое представляет собой пространство-время , в котором все метрические компоненты могут быть записаны так, что они не зависят от времени. Альтернативно, стационарное пространство-время можно определить как пространство-время, обладающее времениподобным векторным полем Киллинга .

Следующее обсуждение представляет собой расширенную и упрощенную версию мотивационного лечения (Wald, 1984, стр. 288).

Мотивация

Рассмотрим метрику Шварцшильда . Используя базис Шварцшильда, поле системы координат для метрики Шварцшильда, можно найти, что радиальное ускорение, необходимое для удержания пробной массы неподвижной в координате Шварцшильда r , составляет:

a^{\hat {r}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}

Поскольку метрика статична, термин «удерживать частицу неподвижным» имеет четко определенное значение.

Интерпретируя это ускорение как вызванное «силой гравитации», мы можем затем вычислить интеграл от нормального ускорения, умноженный на площадь, чтобы получить интеграл «закона Гаусса»:

{\frac {4\pi m}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}

Хотя это приближается к константе, когда r приближается к бесконечности, это не константа, независимая от r . Поэтому у нас есть мотивация ввести поправочный коэффициент, чтобы сделать вышеуказанный интеграл независимым от радиуса r окружающей оболочки. Для метрики Шварцшильда этот поправочный коэффициент равен всего лишь ${\sqrt {g_{tt}}}$ , фактор «красного смещения» или «замедления времени» на расстоянии r . Можно также рассматривать этот фактор как «коррекцию» локальной силы на «силу на бесконечности», силу, которую наблюдателю на бесконечности нужно будет приложить через струну, чтобы удержать частицу в неподвижном состоянии. (Вальд, 1984).

Чтобы двигаться дальше, запишем элемент строки для статической метрики.

ds^{2}=g_{tt}\,dt^{2}+\mathrm {quadratic\ form} (dx,\,dy,\,dz)

где $g_{tt}$ и квадратичная форма являются функциями только пространственных координат x , y , z и не являются функциями времени. Несмотря на наш выбор имен переменных, не следует предполагать, что наша система координат является декартовой.Тот факт, что ни один из коэффициентов метрики не является функцией времени, делает метрику стационарной: дополнительный факт, что не существует «перекрестных членов», включающих как временные, так и пространственные компоненты (такие как $dxdt$ ) сделайте его статичным.

Из-за упрощающего предположения, что некоторые из метрических коэффициентов равны нулю, некоторые из наших результатов в этом мотивационном подходе не будут такими общими, как могли бы быть.

В плоском пространстве-времени правильное ускорение, необходимое для удержания места, равно $du/d\tau$ , где u — 4-скорость нашей парящей частицы и $\tau$ самое подходящее время. В искривленном пространстве-времени мы должны взять ковариантную производную. Таким образом, мы вычисляем вектор ускорения как:

a^{b}=\nabla _{u}u^{b}=u^{c}\nabla _{c}u^{b}

a_{b}=u^{c}\nabla _{c}u_{b}

где $u^{b}$ — единичный времениподобный вектор такой, что $u^{b}u_{b}=-1.$

Компонента вектора ускорения, нормальная к поверхности, равна

a_{\mathrm {norm} }=N^{b}a_{b}

где Н ^б – единичный вектор, нормаль к поверхности.

Например, в системе координат Шварцшильда мы находим, что

N^{b}a_{b}={\frac {{\frac {\partial g_{tt}}{\partial r}}c^{2}}{2g_{tt}{\sqrt {g_{rr}}}}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}

как и ожидалось - мы просто перевели предыдущие результаты, представленные в поле кадра, в координатной основе.

Мы определяем

a_{\inf }={\sqrt {g_{tt}}}\,a

так что в нашем примере Шварцшильда: $N^{b}a_{\inf \,b}=m/r^{2}.$

Мы можем, если захотим, вывести ускорения $a_{b}$ и скорректированное "ускорение на бесконечности" $a_{\inf \,b}$ от скалярного потенциала Z, хотя это не обязательно дает какое-либо особое преимущество. (Вальд, 1984, стр. 158, задача 4)

a_{b}=\nabla _{b}Z_{1}\qquad Z_{1}=\ln {g_{tt}}

a_{\inf \,b}=\nabla _{b}Z_{2}\qquad Z_{2}={\sqrt {g_{tt}}}

Покажем, что интегрирование нормальной составляющей «ускорения на бесконечности» $a_{\inf }$ над ограничивающей поверхностью даст нам величину, не зависящую от формы охватывающей сферы, так что мы сможем вычислить массу, заключенную в сфере, с помощью интеграла

m=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{A}N^{b}a_{\inf \,b}\;dA

Чтобы продемонстрировать это, нам нужно выразить этот поверхностный интеграл как объемный интеграл. В плоском пространстве-времени мы бы использовали теорему Стокса и проинтегрировали $-\nabla \cdot a_{\inf }$ над громкостью. В искривленном пространстве-времени этот подход необходимо немного изменить.

руководствуясь формулами электромагнетизма в искривленном пространстве-времени Вместо этого мы пишем, .

F_{ab}=a_{\inf \,a}\,u_{b}-a_{\inf \,b}\,u_{a}

где F играет роль, аналогичную «тензору Фарадея», в том, что $a_{\inf \,a}=F_{ab}u^{b}$ Затем мы можем найти значение «гравитационного заряда», то есть массы, оценивая $\nabla ^{a}F_{ab}u^{b}$ и интегрируем его по объему нашей сферы.

Альтернативным подходом было бы использование дифференциальных форм , но описанный выше подход более удобен в вычислительном отношении, а также не требует от читателя понимания дифференциальных форм.

Длинный, но простой (с помощью компьютерной алгебры) расчет на основе предполагаемого линейного элемента показывает нам, что

-u^{b}\nabla ^{a}F_{ab}={\sqrt {g_{tt}}}R_{00}u^{a}u^{b}={\sqrt {g_{tt}}}R_{ab}u^{a}u^{b}

Таким образом, мы можем написать

m={\frac {\sqrt {g_{tt}}}{4\pi }}\int _{V}R_{ab}u^{a}u^{b}

В любой вакуумной области пространства-времени все компоненты тензора Риччи должны быть равны нулю. Это демонстрирует, что наличие любого количества вакуума не изменит наш интеграл по объему. Это также означает, что наш объемный интеграл будет постоянным для любой окружающей поверхности, пока мы заключаем всю гравитирующую массу внутри нашей поверхности. Поскольку теорема Стокса гарантирует, что наш поверхностный интеграл равен вышеуказанному объемному интегралу, наш поверхностный интеграл также будет независим от окружающей поверхности, пока поверхность заключает в себе всю гравитирующую массу.

Используя уравнения поля Эйнштейна

G^{u}{}_{v}=R^{u}{}_{v}-{\frac {1}{2}}RI^{u}{}_{v}=8\pi T^{u}{}_{v}

полагая u=v и суммируя, мы можем показать, что $R=-8\pi T.$

Это позволяет нам переписать нашу формулу массы как объемный интеграл от тензора энергии-импульса.

m=\int _{V}{\sqrt {g_{tt}}}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}u^{b}dV

где

V – объем, по которому интегрируется;
Tab _– тензор энергии-напряжения ;
в ^а — единичный времениподобный вектор такой, что u ^а и _а = -1.

Масса Комара как интеграл объема - общая стационарная метрика

Чтобы формула массы Комара работала для общей стационарной метрики, независимо от выбора координат, ее необходимо немного видоизменить. Мы представим применимый результат из (Wald, 1984, уравнение 11.2.10) без формального доказательства.

m=\int _{V}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}\xi ^{b}dV,

где

V – объем, интегрируемый по
Tab _– тензор энергии-напряжения ;
в ^а — единичный времениподобный вектор такой, что u ^а у _а = -1;
$\xi ^{b}$ — вектор Киллинга , который выражает симметрию перевода времени любой стационарной метрики . Вектор Киллинга нормирован так, что он имеет единичную длину на бесконечности, т. е. так, что $\xi ^{a}\xi _{a}=-1$ на бесконечности.

Обратите внимание, что $\xi ^{b}$ заменяет ${\sqrt {g_{tt}}}u^{b}\,$ в нашем мотивационном результате.

Если ни один из метрических коэффициентов $g_{ab}$ являются функциями времени, $\xi ^{a}=(1,0,0,0).$

Хотя нет необходимости выбирать координаты для стационарного пространства-времени так, чтобы метрические коэффициенты не зависели от времени, часто это удобно .

Когда мы выбрали такие координаты, времяподобный вектор Киллинга для нашей системы $\xi ^{a}$ становится скалярным кратным единичного вектора координаты-времени $u^{a},$ т.е. $\xi ^{a}=Ku^{a}.$ В этом случае мы можем переписать нашу формулу как

m=\int _{V}\left(2T_{00}-Tg_{00}\right)KdV

Потому что $u^{a}$ по определению является единичным вектором, K — это просто длина $\xi ^{b}$ , т.е. К = ${\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}$ .

Оценка фактора «красного смещения» K на основе наших знаний о компонентах $\xi ^{a}$ , мы видим, что K = ${\sqrt {g_{tt}}}$ .

Если бы мы выбрали наши пространственные координаты так, чтобы у нас была локальная Минковского метрика $g_{ab}=\eta _{ab}$ мы знаем это

g_{00}=-1,T=-T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}

При таком выборе координат мы можем записать наш интеграл Комара как

m=\int _{V}{\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}\left(T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}\right)dV

Хотя мы не можем выбрать систему координат, чтобы сделать искривленное пространство-время глобальным Минковским, приведенная выше формула дает некоторое представление о значении формулы массы Комара. По сути, и энергия, и давление способствуют формированию массы Комара. Кроме того, вклад локальной энергии и массы в массу системы умножается на локальный фактор «красного смещения». $K={\sqrt {g_{tt}}}={\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}$

Масса Комара как поверхностный интеграл - общая стационарная метрика

Мы также хотим дать общий результат для выражения массы Комара в виде поверхностного интеграла.

Формула массы Комара через метрику и ее вектор Киллинга имеет вид (Wald, 1984, стр. 289, формула 11.2.9)

m=-{\frac {1}{8\pi }}\int _{S}\epsilon _{abcd}\nabla ^{c}\xi ^{d}

где $\epsilon _{abcd}$ являются символами Леви-Чивита и $\xi ^{d}$ — вектор Киллинга нашей стационарной метрики , нормированный так, что $\xi ^{a}\xi _{a}=-1$ на бесконечности.

Приведенный выше поверхностный интеграл интерпретируется как «естественный» интеграл двух форм по многообразию.

Как упоминалось ранее, если ни один из метрических коэффициентов $g_{ab}$ являются функциями времени, $\xi ^{a}=\left(1,0,0,0\right)$

См. также

Примечания

^ Комар, Артур (15 февраля 1963 г.). «Положительно-определенная плотность энергии и глобальные последствия для общей теории относительности». Физический обзор . 129 (4). Американское физическое общество (APS): 1873–1876. Бибкод : 1963PhRv..129.1873K . дои : 10.1103/physrev.129.1873 . ISSN 0031-899X .

Ссылки

Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-87033-2 .
Миснер, Торн, Уиллер (1973). Гравитация . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[1] Комар, Артур (15 февраля 1963 г.). «Положительно-определенная плотность энергии и глобальные последствия для общей теории относительности». Физический обзор . 129 (4). Американское физическое общество (APS): 1873–1876. Бибкод : 1963PhRv..129.1873K . дои : 10.1103/physrev.129.1873 . ISSN 0031-899X .

[1]