Риманово неравенство Пенроуза

В математической общей теории относительности , неравенство Пенроуза впервые выдвинутое сэром Роджером Пенроузом , оценивает массу пространства-времени через общую площадь его черных дыр и является обобщением теоремы о положительной массе . Риманово неравенство Пенроуза представляет собой важный частный случай. В частности, если ( M , g ) — асимптотически плоское риманово 3-многообразие с неотрицательной скалярной кривизной и массой ADM m , а A — площадь самой внешней минимальной поверхности (возможно, с несколькими связными компонентами ), то риманово неравенство Пенроуза утверждает

$m\geq {\sqrt {\frac {A}{16\pi }}}.$

Это чисто геометрический факт, и он соответствует случаю полного трехмерного пространственноподобного полностью подмногообразия геодезического . (3 + 1)-мерного пространства-времени. Такое подмногообразие часто называют симметричным по времени исходным набором данных для пространства-времени. Условие ( M , g ) иметь неотрицательную скалярную кривизну эквивалентно подчинению пространства-времени доминирующему энергетическому условию .

Это неравенство было впервые доказано Герхардом Хейскеном и Томом Ильманеном в 1997 году в случае, когда A — площадь наибольшего компонента самой внешней минимальной поверхности. механизм слабо определенного обратного потока средней кривизны Их доказательство опиралось на разработанный ими . В 1999 году Хьюберт Брэй дал первое полное доказательство вышеуказанного неравенства, используя конформный поток метрик. Обе статьи были опубликованы в 2001 году.

Физическая мотивация

Первоначальный физический аргумент, который привел Пенроуза к предположению о таком неравенстве, основывался на теореме площади Хокинга и гипотезе космической цензуры .

Случай равенства

И доказательства Брея, и Хейскена-Ильманена риманова неравенства Пенроуза утверждают, что при этих гипотезах, если

$m={\sqrt {\frac {A}{16\pi }}},$

тогда рассматриваемое многообразие изометрично срезу пространства-времени Шварцшильда вне его самой внешней минимальной поверхности, которая представляет собой сферу радиуса Шварцшильда .

Гипотеза Пенроуза

В более общем плане Пенроуз предположил, что приведенное выше неравенство должно выполняться для пространственноподобных подмногообразий пространства-времени, которые не обязательно симметричны во времени. В этом случае неотрицательная скалярная кривизна заменяется условием доминирующей энергии , и одна из возможностей состоит в том, чтобы заменить условие минимальной поверхности условием кажущегося горизонта . Доказательство такого неравенства остается открытой проблемой общей теории относительности, называемой гипотезой Пенроуза.

В популярной культуре

• В 6-м эпизоде ​​8-го сезона телевизионного ситкома «Теория большого взрыва » доктор Шелдон Купер утверждает, что находится в процессе решения гипотезы Пенроуза, и в то же время сочиняет свою речь на вручении Нобелевской премии.

Ссылки

• Брей, Х. (2001). «Доказательство риманова неравенства Пенроуза с помощью теоремы о положительной массе» . Журнал дифференциальной геометрии . 59 (2): 177–267. Бибкод : 2001JDGeo..59..177B . дои : 10.4310/jdg/1090349428 . МР   1908823 .
• Брей, Х.; Хрушель, П. (2003). «Неравенство Пенроуза». arXiv : gr-qc/0312047 .
• Хейскен, Г.; Ильманен, Т. (1997). «Риманово неравенство Пенроуза» . Уведомления о международных математических исследованиях . 1997 (20): 1045–1058. дои : 10.1155/S1073792897000664 . ISSN   1073-7928 . МР   1486695 .
• Хейскен, Г.; Ильманен, Т. (2001). «Обратный поток средней кривизны и риманово неравенство Пенроуза» . Журнал дифференциальной геометрии . 59 (3): 353–437. дои : 10.4310/jdg/1090349447 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5581-4 . МР   1916951 .