Псевдотензор напряжения-энергии-импульса

теории В общей относительности псевдотензор напряжения-энергии-импульса , такой как псевдотензор Ландау-Лифшица , является расширением негравитационного тензора напряжения-энергии , который включает в себя энергию-импульс гравитации. Это позволяет определить энергию-импульс системы гравитирующей материи. В частности, это позволяет совокупности материи плюс гравитационная энергия-импульс образовывать сохраняющийся ток в рамках общей теории относительности , так что полная энергия-импульс пересекает гиперповерхность (трехмерную границу) любого компактного пространства-времени гиперобъема ( 4-мерное подмногообразие) исчезает.

Некоторые люди (например, Эрвин Шредингер ^{[ нужна ссылка ]}) возражали против этого вывода на том основании, что псевдотензоры являются неподходящими объектами в общей теории относительности, но закон сохранения требует только использования 4- дивергенции псевдотензора, который в данном случае является тензором (который также обращается в нуль). Математические разработки 1980-х годов позволили понимать псевдотензоры как секции струйных пучков , тем самым обеспечив прочную теоретическую основу для концепции псевдотензоров в общей теории относительности.

Псевдотензор Ландау–Лифшица.

Псевдотензор Ландау –Лифшица напряжения-энергии-импульса , псевдотензор для гравитации, ^{[ 1 ]} в сочетании с терминами, обозначающими материю (включая фотоны и нейтрино), позволяет распространить законы сохранения энергии-импульса на общую теорию относительности .

Требования

Ландау и Лифшиц в поисках псевдотензора импульса гравитационной энергии руководствовались четырьмя требованиями: $t_{LL}^{\mu \nu }\,$ : ^{[ 1 ]}

что он должен быть построен полностью из метрического тензора , чтобы иметь чисто геометрическое или гравитационное происхождение.
чтобы он был индексно-симметричным, т.е. $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ , (для сохранения углового момента )
что при добавлении к тензору энергии-импульса материи $T^{\mu \nu }\,$ , его полная обычная 4- дивергенция ( $\partial µ$ , а не $\nabla µ$ ) исчезает, так что мы имеем сохраняющееся выражение для полного напряжения-энергии-импульса. (Это требуется для любого сохраняющегося тока .)
что он локально исчезает в инерциальной системе отсчета первого порядка, а не второго или более высокого порядка (что требует, чтобы он содержал только производные метрики). Это связано с тем, что принцип эквивалентности требует, чтобы поле гравитационных сил, символы Кристоффеля , локально исчезали в некоторых системах отсчёта. Если гравитационная энергия является функцией своего силового поля, как это обычно бывает с другими силами, то соответствующий гравитационный псевдотензор также должен локально исчезать.

Определение

Ландау и Лифшиц показали, что существует уникальная конструкция, удовлетворяющая этим требованиям, а именно: $t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }$ где:

Г ^{примечание} - тензор Эйнштейна (построенный из метрики)
г ^{примечание} является обратным тензору метрическому g _µν
g = det( g _µν ) – определитель метрического тензора. g < 0 , отсюда его вид $-g$ .
${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ являются частными производными , а не ковариантными производными .
G Ньютона — гравитационная постоянная .

Проверка

Исследуя 4 условия требования, мы видим, что первые 3 относительно легко продемонстрировать:

Поскольку тензор Эйнштейна $G^{\mu \nu }\,$ , само построено из метрики, поэтому $t_{LL}^{\mu \nu }$
Поскольку тензор Эйнштейна $G^{\mu \nu }\,$ , симметричен, поэтому $t_{LL}^{\mu \nu }$ поскольку дополнительные члены симметричны при проверке.
Псевдотензор Ландау–Лифшица построен так, что при добавлении к тензору энергии-импульса вещества $T^{\mu \nu }\,$ , его полная 4- расходимость исчезает: $\left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0$ . Это следует из сокращения тензора Эйнштейна: $G^{\mu \nu }\,$ , с тензором энергии-импульса , $T^{\mu \nu }\,$ уравнениями поля Эйнштейна ; оставшийся член алгебраически обращается в нуль из-за коммутативности частных производных, применяемых к антисимметричным индексам.
Псевдотензор Ландау-Лифшица, по-видимому, включает члены второй производной в метрике, но на самом деле явные члены второй производной в псевдотензоре сокращаются с неявными членами второй производной, содержащимися в тензоре Эйнштейна , $G^{\mu \nu }\,$ . Это более очевидно, когда псевдотензор непосредственно выражается через метрический тензор или связь Леви-Чивита ; сохраняются только члены первой производной метрики, и они исчезают, если система отсчета локально инерционна в любой выбранной точке. В результате весь псевдотензор локально обращается в нуль (опять же в любой выбранной точке) $t_{LL}^{\mu \nu }=0$ , что демонстрирует делокализацию гравитационной энергии-импульса. ^{[ 1 ]}

Космологическая постоянная

Когда был сформулирован псевдотензор Ландау–Лифшица, обычно предполагалось, что космологическая постоянная , $\Lambda \,$ , был равен нулю. В настоящее время это предположение вызывает подозрения , и это выражение часто приобретает $\Lambda$ срок, давая: $t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }$

Это необходимо для согласованности с уравнениями поля Эйнштейна .

Версии метрического и аффинного подключения

Ландау и Лифшиц также предоставляют два эквивалентных, но более длинных выражения для псевдотензора Ландау – Лифшица:

Метрическая тензорная версия: ^{[ 2 ]} ${\begin{aligned}(-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }-\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\beta }+{}\\&{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\left(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega }\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\sigma \omega }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }\right)_{,\beta }-{}\\&\left(g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\\&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}$
Версия аффинного подключения : ^{[ 3 ]} ${\begin{aligned}t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big [}&\left(2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho }\right)\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\left(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}$

Это определение энергии-импульса ковариантно применимо не только к преобразованиям Лоренца, но и к общим преобразованиям координат.

Псевдотензор Эйнштейна

Этот псевдотензор был первоначально разработан Альбертом Эйнштейном . ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Поль Дирак показал ^{[ 6 ]} что смешанный псевдотензор Эйнштейна ${t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\right){\sqrt {-g}}\right)$ удовлетворяет закону сохранения $\left(\left({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }\right){\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }=0.$

Очевидно, что этот псевдотензор гравитационного напряжения-энергии построен исключительно из метрического тензора и его первых производных. Следовательно, он исчезает в любом случае, когда система координат выбирается так, чтобы первые производные метрики обращались в нуль, поскольку каждый член псевдотензора квадратичен по первым производным метрики. Однако он не симметричен и поэтому не подходит в качестве основы для определения углового момента.

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с Лев Давидович Ландау и Евгений Михайлович Лифшиц , Классическая теория полей , (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7 глава 11, раздел № 96
^ Уравнение Ландау – Лифшица 96.9
^ Уравнение Ландау – Лифшица 96.8
^ Альберт Эйнштейн Принцип Гамильтона и общая теория относительности. Зона встреч прусский акад. Знать. 1916, 2, 1111-1116.
^ Альберт Эйнштейн. Теорема об энергии в общей теории относительности. (Закон сохранения энергии в общей теории относительности). Зона встреч прусский акад. Знать. 1918, 1, 448-459.
^ ПАМДирак, Общая теория относительности (1975), Princeton University Press, краткое изложение основных основ ОТО. ISBN 0-691-01146-X страницы 61–63

Ссылки

Петров, Александр (2008). «Нелинейные возмущения и законы сохранения на искривленном фоне в ОТО и других метрических теориях». В Кристиансене, Миннесота; Расмуссен, Т.К. (ред.). Классические и квантовые исследования гравитации . Нью-Йорк: Издательство Nova Science . arXiv : 0705.0019 . ISBN 978-1-61122-957-8 .

[LL-1] Jump up to: ^а ^б ^с Лев Давидович Ландау и Евгений Михайлович Лифшиц , Классическая теория полей , (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7 глава 11, раздел № 96

[2] Уравнение Ландау – Лифшица 96.9

[3] Уравнение Ландау – Лифшица 96.8

[4] Альберт Эйнштейн Принцип Гамильтона и общая теория относительности. Зона встреч прусский акад. Знать. 1916, 2, 1111-1116.

[5] Альберт Эйнштейн. Теорема об энергии в общей теории относительности. (Закон сохранения энергии в общей теории относительности). Зона встреч прусский акад. Знать. 1918, 1, 448-459.

[6] ПАМДирак, Общая теория относительности (1975), Princeton University Press, краткое изложение основных основ ОТО. ISBN 0-691-01146-X страницы 61–63

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]