Теория винта

Теория винтов представляет собой алгебраический расчет пар векторов , таких как угловая и линейная скорость , или сил и моментов , которые возникают в кинематике и динамике тел твердых .

Теория винта обеспечивает математическую формулировку геометрии линий , которая является центральной в динамике твердого тела , где линии образуют оси пространственного движения винта и линии действия сил. Пара векторов, образующих координаты Плюкера линии, определяет единичный винт, а общие винты получаются путем умножения на пару действительных чисел и сложения векторов .

Важные теоремы теории винтов включают в себя: Принцип переноса доказывает, что геометрические вычисления для точек с использованием векторов имеют параллельные геометрические вычисления для линий, полученных путем замены векторов винтами. Теорема Часля доказывает, что любое изменение между двумя положениями твердого объекта может быть выполнено с помощью одного винта. Теорема Пуансо доказывает, что вращение твердого объекта вокруг главной и малой, но не промежуточной, осей стабильно.

Теория винтов является важным инструментом в робототехнике. механическое проектирование, вычислительная геометрия и динамика многих тел . Частично это связано с взаимосвязью между винтами и двойными кватернионами , которые использовались для интерполяции движений твердого тела . На основе теории винтов также разработан эффективный подход к типовому синтезу параллельных механизмов (параллельных манипуляторов или параллельных роботов).

Основные понятия

Шаг чистого винта связывает вращение вокруг оси с перемещением вдоль этой оси.

Пространственное смещение твердого тела можно определить вращением вокруг прямой и перемещением вдоль этой же линии, называемым винтовое движение . Это известно как теорема Шаля . Шесть параметров, определяющих движение винта, представляют собой четыре независимых компонента вектора Плюккера, который определяет ось винта, вместе с углом поворота вокруг и линейным скольжением вдоль этой линии и образуют пару векторов, называемую винтом . Для сравнения, шесть параметров, определяющих пространственное смещение, также могут быть заданы тремя углами Эйлера , определяющими вращение, и тремя компонентами вектора перемещения.

Винт

Винт — это шестимерный вектор, построенный из пары трехмерных векторов, таких как силы и крутящие моменты, линейная и угловая скорость, которые возникают при исследовании пространственного движения твердого тела. Компоненты винта определяют координаты Плюккера линии в пространстве, а также величины вектора вдоль линии и момента вокруг этой линии.

Крутить

Скрутка — это винт , используемый для представления скорости твердого тела в виде угловой скорости вокруг оси и линейной скорости вдоль этой оси. Все точки тела имеют одинаковую составляющую скорости вдоль оси, однако чем больше расстояние от оси, тем больше скорость в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, геликоидальное поле, образованное векторами скорости в движущемся твердом теле, выравнивается по мере удаления точек в радиальном направлении от оси закручивания.

Точки тела, испытывающие постоянное вращательное движение, следуют по спиралям в фиксированной системе отсчета. Если это винтовое движение имеет нулевой шаг, то траектории следуют по кругу, и движение представляет собой чистое вращение. Если движение винта имеет бесконечный шаг, то все траектории представляют собой прямые линии в одном направлении.

гаечный ключ

Векторы силы и крутящего момента, возникающие при применении законов Ньютона к твердому телу, можно собрать в винт, называемый гаечным ключом . У силы есть точка приложения и линия действия, поэтому она определяет плюкеровские координаты линии в пространстве и имеет нулевой шаг. С другой стороны, крутящий момент — это чистый момент, который не привязан к линии в пространстве и представляет собой винт с бесконечным шагом. Отношение этих двух величин определяет шаг винта.

Алгебра винтов

Пусть винт — упорядоченная пара.

${\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),$

где S и V — трехмерные действительные векторы. Сумма и разность этих упорядоченных пар вычисляются покомпонентно. Винты часто называют двойными векторами .

Теперь представим упорядоченную пару действительных чисел â = ( a , b ), называемую двойственным скаляром . Пусть сложение и вычитание этих чисел происходит покомпонентно, а умножение определим как $${\hat {a}}{\hat {c}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).$$Умножение винта S = ( S , V ) на двойственный скаляр â = ( a , b ) вычисляется покомпонентно как: $${\hat {a}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).$$

Наконец, представим скалярное и векторное произведения винтов по формулам: $${\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),$$который является двойным скаляром, и $${\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).$$что такое винт. Скалярные и векторные произведения винтов удовлетворяют тождествам векторной алгебры и позволяют выполнять вычисления, которые напрямую параллельны вычислениям в алгебре векторов.

Пусть двойственный скаляр ẑ = ( φ , d ) определяет двойственный угол , тогда определения синуса и косинуса в бесконечной серии дают соотношения $$\sin {\hat {z}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {z}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),$$которые также являются двойными скалярами. В общем, функция двойственной переменной определяется как f (ẑ) = ( f ( φ ), df ′ ( φ )), где df ′ ( φ ) является производной f ( φ ).

Эти определения позволяют получить следующие результаты:

• Единичные винты представляют собой координаты Плюкера линии и удовлетворяют соотношению $$|{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;$$
• Пусть ẑ = ( φ , d ) — двойной угол, где φ — угол между осями S и T вокруг их общей нормали, а d — расстояние между этими осями вдоль общей нормали, тогда $${\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\cos {\hat {z}};$$
• Пусть N — единичный винт, который определяет общую нормаль к осям S и T , а ẑ = ( φ , d ) — двойной угол между этими осями, тогда $${\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=\left|{\mathsf {S}}\right|\left|{\mathsf {T}}\right|\sin {\hat {z}}{\mathsf {N}}.$$

гаечный ключ

Типичным примером винта является гаечный ключ , связанный с силой, действующей на твердое тело. Пусть P — точка приложения силы F и пусть P — вектор, помещающий эту точку в фиксированную систему отсчета. Гаечный ключ W = ( F , P × F ) — это винт. Результирующая сила и момент, полученные от всех сил Fi _i , , действующих на твердое = 1,..., n тело, представляют собой просто сумму отдельных гаечных ключей , _Wi то есть

${\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).$

Обратите внимание, что случай двух равных, но противоположных сил F и − F, действующих в точках A и B соответственно, дает результирующую

${\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).$

Это показывает, что винты вида

${\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),$

можно интерпретировать как чистые моменты.

Крутить

Чтобы определить поворот твердого тела, мы должны рассмотреть его движение, определяемое параметризованным набором пространственных смещений, D(t) = ([A(t)], d (t)), где [A] — матрица вращения, а d — вектор перемещения. Это приводит к тому, что точка p , которая зафиксирована в координатах движущегося тела, следует по кривой P (t) в фиксированной системе отсчета, заданной формулой:

$\mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).$

Скорость P равна

$\mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),$

где v — скорость начала движущейся системы отсчета, то есть d d /dt. Теперь подставим p = [ A ^Т ]( P − d ) в это уравнение, чтобы получить:

$\mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,$

где [Ω] = [d A /d t ][ A ^Т ] — матрица угловой скорости, а ω — вектор угловой скорости.

Винт

${\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!$

это поворот движущегося тела. Вектор V = v + d × ω — это скорость точки тела, соответствующей началу координат фиксированной системы отсчёта.

Есть два важных особых случая: (i) когда d постоянно, то есть v = 0, тогда поворот представляет собой чистое вращение вокруг прямой, тогда поворот

${\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),$

и (ii) когда [Ω] = 0, то есть тело не вращается, а только скользит в направлении v , тогда поворот представляет собой чистое скольжение, определяемое формулой

${\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).$

Вращающиеся соединения

Для вращательного соединения пусть ось вращения проходит через точку q и направлена ​​вдоль вектора ω , тогда скручивание соединения определяется выражением

$\xi ={\begin{Bmatrix}\omega \\q\times \omega \end{Bmatrix}}.$

Призматические соединения

Для призматического соединения пусть вектор v определяет направление скольжения, тогда поворот соединения определяется выражением

$\xi ={\begin{Bmatrix}0\\v\end{Bmatrix}}.$

Координатное преобразование винтов

Преобразования координат для винтов легко понять, если начать с преобразований координат вектора Плюккера линии, которые, в свою очередь, получаются из преобразований координат точек на линии.

Пусть смещение тела определяется формулой D = ([ A ], d ), где [ A ] — матрица вращения, а d — вектор перемещения. Рассмотрим линию в теле, определяемую двумя точками p и q , которая имеет координаты Плюкера :

${\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),$

тогда в фиксированной системе отсчета мы имеем преобразованные координаты точки P = [ A ] p + d и Q = [ A ] q + d , которые дают результат.

${\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))$

Таким образом, пространственное смещение определяет преобразование координат Плюккера линий, заданных формулой

${\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.$

Матрица [ D ] является кососимметричной матрицей, которая выполняет операцию векторного произведения, то есть [ D ] y = d × y .

Матрица 6×6, полученная в результате пространственного смещения D = ([ A ], d ), может быть собрана в двойственную матрицу

$[{\hat {A}}]=([A],[DA]),$

который воздействует на винт s = ( s . v ), чтобы получить,

${\mathsf {S}}=[{\hat {A}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).$

Двойственная матрица [ Â ] = ([ A ], [ DA ]) имеет определитель 1 и называется двойственной ортогональной матрицей .

Твисты как элементы алгебры Ли

Рассмотрим движение твердого тела, определяемое параметризованным однородным преобразованием 4x4:

${\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.$

Это обозначение не делает различия между P = ( X , Y , Z , 1) и P = ( X , Y , Z ), что, надеюсь, ясно из контекста.

Скорость этого движения определяется путем вычисления скорости траекторий точек тела:

${\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.$

Точка обозначает производную по времени, а поскольку p постоянно, ее производная равна нулю.

Подставьте обратное преобразование для p в уравнение скорости, чтобы получить скорость P , действуя на его траектории P ( t ), то есть

${\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},$

где

$[S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.$

Напомним, что [Ω] — матрица угловой скорости. Матрица [ S ] является элементом алгебры Ли se(3) группы Ли SE(3) однородных преобразований. Компоненты [ S ] являются компонентами скручивающего винта, и по этой причине [ S ] также часто называют скручиванием.

Из определения матрицы [ S ] мы можем сформулировать обыкновенное дифференциальное уравнение:

$[{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],$

и запросите движение [ T ( t )], которое имеет постоянную матрицу поворота [ S ]. Решением является матричная экспонента

$[T(t)]=e^{[S]t}.$

Эту формулировку можно обобщить так, что при наличии начальной конфигурации g (0) в SE( n ) и повороте ξ в se( n ) однородное преобразование в новое местоположение и ориентацию можно вычислить по формуле:

$g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),$

где θ представляет параметры преобразования.

Винты отражением

В геометрии преобразований элементарным понятием преобразования является отражение (математика) . При плоских преобразованиях сдвиг достигается отражением в параллельных прямых, а вращение — отражением в паре пересекающихся прямых. Чтобы произвести винтовое преобразование на основе подобных концепций, необходимо использовать плоскости в пространстве : параллельные плоскости должны быть перпендикулярны оси винта , которая является линией пересечения пересекающихся плоскостей, которые создают вращение винта. Таким образом, четыре отражения в плоскостях приводят к винтовому преобразованию. Традиция инверсной геометрии заимствует некоторые идеи проективной геометрии и дает язык преобразований, не зависящий от аналитической геометрии .

Гомография

Сочетание перемещения с вращением, вызванное винтовым смещением, можно проиллюстрировать экспоненциальным отображением .

Поскольку е ² = 0 для двойственных чисел , exp( aε ) = 1 + aε , все остальные члены экспоненциального ряда обращаются в нуль.

Пусть F = {1 + εr : r ∈ H }, ε ² = 0. что F устойчив Обратите внимание , при вращении q → p ⁻¹ qp и под переводом(1 + εr )(1 + εs ) = 1 + ε ( r + s ) для любых векторных кватернионов r и s . F — 3-плоскость в восьмимерном пространстве двойственных кватернионов . Эта 3-плоскость F представляет пространство , а гомография , ограниченная F построенная , представляет собой винтовое смещение пространства.

Пусть a — половина угла желаемого поворота вокруг оси r , а br — половина смещения на оси винта . Тогда сформулируйте z = exp(( a + bε ) r ) и z* = exp(( a − bε ) r ). Теперь гомография

$[q\ :\ 1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz\ :\ z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz\ :\ 1].$

Обратное значение для z * равно

${\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},$

итак, гомография переводит q в

$(e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).$

Теперь для любого вектора кватернионов p , p * = − p , пусть q = 1 + pε ∈ F , где выполняются требуемые поворот и сдвиг.

Очевидно, единиц кольца группа двойственных кватернионов является группой Ли . Подгруппа имеет алгебру Ли, параметрами ar и bs , где a , b ∈ R и r , s ∈ H. порожденную Эти шесть параметров образуют подгруппу единиц — сферу единиц. Конечно, сюда входят F и 3- версоров сфера .

Работа сил, действующих на твердое тело

Рассмотрим совокупность сил F ₁ , F ₂ ... F _n, действующих на точки X ₁ , X ₂ ... X _n в твердом теле. Траектории X _i , i = 1,..., n определяются движением твердого тела с вращением [ A ( t )] и перемещением d ( t ) опорной точки в теле, определяемым формулой

$\mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,$

где x _i — координаты движущегося тела.

Скорость каждой точки X _i равна

$\mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,$

где ω — вектор угловой скорости, а v — производная от d ( t ).

Работа сил на перемещение δ r _i = v _i δt каждой точки определяется выражением

$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.$

Определите скорости каждой точки через поворот движущегося тела, чтобы получить

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.$

Разверните это уравнение и соберите коэффициенты ω и v, чтобы получить

${\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}$

Введем поворот движущегося тела и действующий на него рывок, заданный формулой

${\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),$

тогда работа принимает форму

$\delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.$

Матрица 6×6 [Π] используется для упрощения расчета работы с помощью винтов, так что

$\delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,$

где

$[\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},$

и [I] — единичная матрица 3×3.

Ответные винты

Если виртуальная работа ключа при скручивании равна нулю, то силы и крутящий момент ключа являются силами ограничения относительно скручивания. Говорят, что гаечный ключ и поворот действуют взаимно, то есть, если

$\delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,$

тогда винты W и T взаимны.

Твисты в робототехнике

При исследовании робототехнических систем компоненты скручивания часто переставляются, чтобы исключить необходимость использования матрицы 6×6 [Π] при расчете работы. В этом случае поворот определяется как

${\check {\mathsf {T}}}=(\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} ,{\vec {\omega }}),$

поэтому расчет работы принимает вид

$\delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t.$

В этом случае, если

$\delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t=0,$

ключ W обратен повороту T. тогда

История

Математическая основа была разработана сэром Робертом Ставеллом Боллом году для применения в кинематике и статике механизмов в 1876 (механике твердого тела).

Феликс Кляйн рассматривал теорию винтов как применение эллиптической геометрии и своей Эрлангенской программы . Он также разработал эллиптическую геометрию и новый взгляд на евклидову геометрию с помощью метрики Кэли-Клейна . Использование симметричной матрицы для коники и метрики фон Штаудта , примененной к винтам, было описано Харви Липкиным. Среди других выдающихся авторов — Юлиус Плюкер , У. К. Клиффорд , Ф. М. Диментберг , Кеннет Х. Хант , Дж. Р. Филлипс.

Идея гомографии в геометрии преобразований была выдвинута Софусом Ли более века назад. Еще раньше Уильям Роуэн Гамильтон представил версорную форму единичных кватернионов как exp( ar )= cos a + r sin a . Идея также содержится в формуле Эйлера, параметризующей единичный круг в комплексной плоскости .

Уильям Кингдон Клиффорд инициировал использование двойных кватернионов для кинематики , за ним последовали Александр Котельников , Эдуард Стью ( Geometrie der Dynamen ) и Вильгельм Блашке . Однако точка зрения Софуса Ли повторилась. В 1940 году Джулиан Кулидж описал использование двойных кватернионов для винтовых смещений на странице 261 книги « История геометрических методов» . Он отмечает вклад Артура Бухгейма в 1885 году . Кулидж основывал свое описание просто на инструментах, которые Гамильтон использовал для реальных кватернионов.

См. также

• Винтовая ось
• В уравнениях Ньютона-Эйлера винты используются для описания движений и нагрузки твердого тела.
• Твист (математика)
• Твист (рациональная тригонометрия)

Внешние ссылки

• Джо Руни Уильям Кингдон Клиффорд , факультет дизайна и инноваций, Открытый университет, Лондон.
• Заметки Рави Банавара о робототехнике, геометрии и управлении