Основной пакет

В математике главное расслоение это математический объект, который формализует некоторые существенные особенности декартова произведения. $X\times G$ пространства $X$ с группой $G$. Как и в случае с декартовым произведением, главное расслоение $P$ оснащен

1. Действие ​ ​ $G$ на $P$, аналог $(x,g)h=(x,gh)$ для продуктового пространства .
2. Проекция на $X$. Для пространства продукта это всего лишь проекция на первый фактор, $(x,g)\mapsto x$.

Если только это не пространство продукта $X\times G$, у основного пучка отсутствует предпочтительный выбор тождественного сечения; у него нет предпочтительного аналога $x\mapsto (x,e)$. Аналогичным образом, обычно не существует проекции на $G$ обобщая проекцию на второй фактор, $X\times G\to G$ которое существует для декартова произведения. Они также могут иметь сложную топологию , которая не позволяет реализовать их как пространство продукта, даже если делается ряд произвольных выборов, пытаясь определить такую ​​структуру, определяя ее на меньших частях пространства.

Типичным примером основного пакета является пакет кадров. $F(E)$ расслоения векторного $E$, который состоит из всех упорядоченных баз векторного пространства, прикрепленных к каждой точке. Группа $G,$ в данном случае — общая линейная группа , действующая справа обычным образом : заменами базиса . Поскольку не существует естественного способа выбора упорядоченного базиса векторного пространства, в расслоении фреймов отсутствует канонический выбор единичного сечения.

Главные расслоения имеют важные приложения в топологии , дифференциальной геометрии и математической калибровочной теории . Они также нашли применение в физике , где составляют часть фундаментальной основы физических калибровочных теорий .

Формальное определение

Директор $G$- пучок, где $G$ обозначает любую топологическую группу , является расслоением $\pi :P\to X$ вместе с непрерывным правильным действием $P\times G\to P$ такой, что $G$ сохраняет волокна $P$ (т.е. если $y\in P_{x}$ затем $yg\in P_{x}$ для всех $g\in G$) и действует на них свободно и транзитивно (т.е. каждый слой является G-торсором ) так, что для каждого $x\in X$ и $y\in P_{x}$, карта $G\to P_{x}$ отправка $g$ к $yg$ является гомеоморфизмом. В частности, каждый слой расслоения гомеоморфен группе $G$ сам. Часто требуется базовое пространство $X$ быть Хаусдорфом и, возможно, паракомпактным .

Поскольку действие группы сохраняет слои $\pi :P\to X$ , то орбиты и действует транзитивно $G$-действием являются именно эти волокна и пространство орбит $P/G$ гомеоморфно базовому пространству $X$. Поскольку действие свободное и транзитивное, волокна имеют структуру G-торсоров. А $G$-торсор — пространство, гомеоморфное $G$ но не имеет групповой структуры, поскольку нет предпочтительного выбора элемента идентичности .

Эквивалентное определение принципала $G$-связка как $G$-пучок $\pi :P\to X$ с волокном $G$ где структурная группа действует на слое умножением слева. Поскольку правильное умножение на $G$ на слое коммутирует с действием структурной группы, существует инвариантное понятие правого умножения на $G$ на $P$. Волокна $\pi$ тогда стань правым $G$-торсоры для этого действия.

Приведенные выше определения относятся к произвольным топологическим пространствам. Можно также определить принципала $G$-расслоения в категории многообразий гладких . Здесь $\pi :P\to X$ должно быть гладким отображением между гладкими многообразиями, $G$ должна быть группой Ли , а соответствующее действие на $P$ должно быть гладко.

Примеры

Тривиальный комплект и разделы

Над открытым мячом $U\subset \mathbb {R} ^{n}$, или $\mathbb {R} ^{n}$, с индуцированными координатами $x_{1},\ldots ,x_{n}$, любой принципал $G$-расслоение изоморфно тривиальному расслоению

$\pi :U\times G\to U$

и гладкий участок $s\in \Gamma (\pi )$ эквивалентно задается (гладкой) функцией ${\hat {s}}:U\to G$ с

$s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G$

для некоторой гладкой функции. Например, если $G=U(2)$, группа Ли $2\times 2$ унитарные матрицы , то сечение можно построить, рассматривая четыре действительные функции

$\phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R}$

и применяя их к параметризации

$${\hat {s}}(x)=e^{i\phi (x)}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.$$Эта же процедура действительна при параметризации набора матриц, определяющих группу Ли. $G$ и учитывая набор функций из патча базового пространства $U\subset X$ к $\mathbb {R}$ и вставка их в параметризацию.

Другие примеры

Нетривиальное главное расслоение Z /2 Z над окружностью. Не существует четко определенного способа определить, какая точка соответствует +1 или -1 в каждом волокне. Это расслоение нетривиально, поскольку не существует глобально определенного сечения проекции π .

• Прототипическим примером гладкого главного расслоения является расслоение фреймов гладкого многообразия. $M$, часто обозначаемый $FM$ или $GL(M)$. Здесь волокно над точкой $x\in M$ - это набор всех реперов (т.е. упорядоченных баз) касательного пространства. $T_{x}M$. Общая линейная группа $GL(n,\mathbb {R} )$ действует свободно и транзитивно в этих рамках. Эти волокна можно склеить естественным путем, чтобы получить принципиальную $GL(n,\mathbb {R} )$-связывать $M$.
• Вариации приведенного выше примера включают расслоение ортонормированных реперов многообразия риманова . Здесь кадры должны быть ортонормированы относительно метрики . Структурная группа является ортогональной группой. $O(n)$. Этот пример также работает для расслоений, отличных от касательного расслоения; если $E$ — любое векторное расслоение ранга $k$ над $M$, то пучок кадров $E$ является директором $GL(k,\mathbb {R} )$-пучок, иногда обозначаемый $F(E)$.
• Нормальное (регулярное) накрывающее пространство $p:C\to X$ является основным расслоением, в котором структурная группа

$G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))$

действует на волокна $p$ через действие монодромии . В частности, чехол универсальный $X$ является главным расслоением над $X$ со структурной группой $\pi _{1}(X)$ (так как универсальная крышка просто подсоединяется и таким образом $\pi _{1}(C)$ тривиально).

• Позволять $G$ быть группой Ли и пусть $H$ быть замкнутой подгруппой (не обязательно нормальной ). Затем $G$ является директором $H$-расслоение по (левому) смежному пространству $G/H$. Здесь действие $H$ на $G$ это просто правильное умножение. Слои являются левыми смежными классами $H$ (в этом случае имеется выделенный слой, содержащий единицу, естественно изоморфный $H$).
• Рассмотрим проекцию $\pi :S^{1}\to S^{1}$ данный $z\mapsto z^{2}$. Этот директор $\mathbb {Z} _{2}$-расслоение — ассоциированное расслоение ленты Мёбиуса . Помимо тривиального расслоения, это единственный принцип $\mathbb {Z} _{2}$-связывать $S^{1}$.
• Проективные пространства предоставляют еще несколько интересных примеров главных расслоений. Напомним, что $n$- сфера $S^{n}$ является двукратным накрытием реального проективного пространства $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$. Естественное действие $O(1)$ на $S^{n}$ придает ему структуру принципала $O(1)$-связывать $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}$. Так же, $S^{2n+1}$ является директором $U(1)$-объединить сложное проективное пространство $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ и $S^{4n+3}$ является директором $Sp(1)$-расслоение по кватернионному проективному пространству $\mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}$. Тогда у нас есть ряд главных расслоений для каждого положительного $n$:

${\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}$

${\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}$

${\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.$

Здесь $S(V)$ обозначает единичную сферу в $V$ (оснащен евклидовой метрикой). Для всех этих примеров $n=1$ случаях дают так называемые расслоения Хопфа .

Основные свойства

Тривиализации и сечения

Один из наиболее важных вопросов, касающихся любого расслоения, заключается в том, является ли оно тривиальным , то есть изоморфным расслоению-продукту. Для главных расслоений существует удобная характеристика тривиальности:

Предложение . Главный расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно допускает глобальное сечение .

Этого нельзя сказать о других пучках волокон. Например, векторные расслоения всегда имеют нулевое сечение, независимо от того, тривиальны они или нет, а сферические расслоения могут допускать множество глобальных сечений, не будучи тривиальными.

Тот же факт применим и к локальным тривиализациям главных расслоений. Пусть π : P → X — главное G -расслоение. U Открытое множество в X допускает существует локальное сечение локальную тривиализацию тогда и только тогда, когда на U . Учитывая локальную тривиализацию

$\Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G$

можно определить связанный локальный раздел

$s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,$

где e — тождество в G. ​И наоборот, для данного сечения s можно определить тривиализацию Φ формулой

$\Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.$

Простая транзитивность действия G на слоях P гарантирует, что это отображение является биекцией , а также гомеоморфизмом . Локальные тривиализации, определенные локальными сечениями, G - эквивариантны в следующем смысле. Если мы напишем

$\Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G$

в форме

$\Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),$

тогда карта

$\varphi :P\to G$

удовлетворяет

$\varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.$

Таким образом, эквивариантные тривиализации сохраняют G -торсорную структуру слоев. В терминах соответствующего локального сечения s отображение φ определяется выражением

$\varphi (s(x)\cdot g)=g.$

Локальная версия теоремы о сечении затем утверждает, что эквивариантные локальные тривиализации главного расслоения находятся во взаимно однозначном соответствии с локальными сечениями.

Учитывая эквивариантную локальную тривиализацию { U _i }, {Φ _i }) P ( , у нас есть локальные сечения s _i на каждом U _i . должны быть связаны действием структурной группы G. При перекрытиях они Фактически связь обеспечивается функциями перехода

$t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.$

Склей локальные тривиализации вместе с помощью этих функций перехода, можно восстановить исходный главный расслоение. Это пример теоремы о построении расслоения .Для любого x ∈ U _i ∩ U _j имеем

$s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).$

Характеристика гладких главных расслоений

Если $\pi :P\to X$ является гладким принципалом $G$- тогда свяжите $G$ действует свободно и надлежащим образом на $P$ так что орбитальное пространство $P/G$ диффеоморфно базовому пространству $X$. Оказывается, эти свойства полностью характеризуют гладкие главные расслоения. То есть, если $P$ представляет собой гладкое многообразие, $G$ группа Лия и $\mu :P\times G\to P$ тогда плавное, свободное и правильное действие

• $P/G$ представляет собой гладкое многообразие,
• естественная проекция $\pi :P\to P/G$ плавное погружение и
• $P$ является гладким принципалом $G$-связывать $P/G$.

Использование понятия

Сокращение структурной группы

См. также: Сокращение структурной группы.

Учитывая подгруппу H группы G, можно рассмотреть расслоение $P/H$ слои которого гомеоморфны смежному пространству $G/H$. Если новый пучок допускает глобальное сечение, то говорят, что сечение представляет собой редукцию структурной группы из $G$ к $H$ . Причина такого названия в том, что (послойный) обратный образ значений этого раздела образует подгруппу $P$ это главный $H$-пучок. Если $H$ это личность, то часть $P$ само по себе является сведением структурной группы к тождеству. Редукции структурной группы вообще не существует.

Многие топологические вопросы о структуре многообразия или структуре расслоений над ним, связанные с главным $G$-расслоение можно перефразировать как вопросы о допустимости сокращения структурной группы (от $G$ к $H$). Например:

Комплект рамок ${\mathcal {F}}(E)$ ленты Мёбиуса $E$ является нетривиальным принципалом $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$- связать по кругу.

• А $2n$-мерное реальное многообразие допускает почти сложную структуру, если расслоение фреймов на многообразии, слои которого $GL(2n,\mathbb {R} )$, можно свести к группе $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )$.
• Ан $n$-мерное реальное многообразие допускает $k$-поле плоскости, если связку кадров можно свести к группе структур $\mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$.
• Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда его расслоение реперов можно свести к специальной ортогональной группе $\mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$.
• Многообразие имеет спиновую структуру тогда и только тогда, когда его расслоение реперов можно дополнительно сократить из $\mathrm {SO} (n)$ к $\mathrm {Spin} (n)$ группа Spin , которая отображается в $\mathrm {SO} (n)$ в качестве двойной крышки.

Также обратите внимание: $n$-мерное многообразие допускает $n$ векторные поля, линейно независимые в каждой точке, тогда и только тогда, когда его расслоение реперов допускает глобальное сечение. В этом случае многообразие называется распараллеливаемым .

Связанные векторные расслоения и рамки

См. также: Комплект рамок.

Если $P$ является директором $G$-связка и $V$ является линейным представлением $G$, то можно построить векторное расслоение $E=P\times _{G}V$ с волокном $V$, как частное произведения $P$× $V$ диагональным действием $G$. Это частный случай связанной конструкции расслоения , и $E$ называется ассоциированным векторным расслоением $P$. Если представление $G$ на $V$ верен что , так $G$ является подгруппой полной линейной группы GL( $V$), затем $E$ это $G$-связка и $P$ обеспечивает сокращение структурной группы связки кадров $E$ от $GL(V)$ к $G$. В этом смысле главные расслоения дают абстрактную формулировку теории расслоений фреймов.

Классификация основных пакетов

Основная статья: Классификация пространства

Любая топологическая группа G допускает классифицирующее пространство BG : фактор-фактор по действию G некоторого слабо стягиваемого пространства, например топологического пространства с исчезающими гомотопическими группами . Классифицирующее пространство обладает тем свойством, что любое главное расслоение G над паракомпактным многообразием B изоморфно образу главного расслоения EG → BG . На самом деле верно большее, поскольку набор классов изоморфизма главных расслоений G над базой B отождествляется с набором гомотопических классов отображений B → BG .

См. также

• Связанный пакет
• Векторный пакет
• G-структура
• Сокращение структурной группы
• Калибровочная теория
• Подключение (основной пакет)
• G-волокно

Источники

• Бликер, Дэвид (1981). Калибровочная теория и вариационные принципы . Издательство Аддисон-Уэсли. ISBN  0-486-44546-1 .
• Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ ((4-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  3-540-25907-4 .
• Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-94087-8 .
• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-94732-9 .
• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-00548-6 .