Почти сложное многообразие

В математике — почти комплексное многообразие это гладкое многообразие, снабженное гладкой линейной комплексной структурой в каждом касательном пространстве . Каждое комплексное многообразие является почти комплексным многообразием, но существуют почти комплексные многообразия, которые не являются комплексными многообразиями. Почти сложные структуры имеют важные приложения в симплектической геометрии .

Эта концепция принадлежит Чарльзу Эресманну и Хайнцу Хопфу в 1940-х годах. ^[1]

Формальное определение

Пусть M — гладкое многообразие. Почти комплексная структура J на M — это линейная комплексная структура (то есть линейное отображение , квадратичное до −1) в каждом касательном пространстве многообразия, которое плавно меняется на многообразии. Другими словами, у нас есть гладкое тензорное поле J степени что (1, 1) такое, $J^{2}=-1$ если рассматривать его как векторного расслоения изоморфизм $J\colon TM\to TM$ на касательном расслоении . Многообразие, наделенное почти сложной структурой, называется почти комплексным многообразием .

Если M допускает почти сложную структуру, оно должно быть четномерным. Это можно увидеть следующим образом. Предположим, M что n -мерна и J : TM → TM — почти комплексная структура. Если Дж ² = −1 тогда (это J ) ² = (−1) ^н. Но если M — вещественное многообразие, то det J — действительное число, поэтому n должно быть четным, если M имеет почти сложную структуру. Можно показать, что оно должно быть ориентируемым также .

Простое упражнение по линейной алгебре показывает, что любое четномерное векторное пространство допускает линейную комплексную структуру. Следовательно, четномерное многообразие всегда допускает тензор (1, 1) -ранга поточечный (который представляет собой просто линейное преобразование в каждом касательном пространстве) такой, что J _p² = −1 в каждой точке p . Только когда этот локальный тензор можно соединить вместе и определить глобально, поточечная линейная комплексная структура дает почти комплексную структуру, которая затем определяется однозначно. Возможность такого исправления и, следовательно, существования почти комплексной структуры на многообразии M эквивалентна редукции структурной группы касательного расслоения от GL(2 n , R ) до GL( n , C ) . В таком случае вопрос существования является чисто алгебро-топологическим и довольно хорошо понятен.

Примеры

Для каждого целого числа n плоское пространство R ^{2 н} допускает почти сложную структуру. Пример такой почти сложной структуры: (1 ≤ i , j ≤ 2 n ): $J_{ij}=-\delta _{i,j-1}$ для странного я , $J_{ij}=\delta _{i,j+1}$ даже для меня .

Единственными сферами , которые допускают почти сложные структуры, являются S ² и С ⁶ ( Борель и Серр (1953) ). В частности, С ⁴ нельзя дать почти сложное структура (Эресманн и Хопф). В случае С ², почти сложная структура происходит от честной сложной структуры на сфере Римана . 6-сфера, S ⁶, если рассматривать его как набор мнимых октонионов с единичной нормой , наследует почти сложную структуру от умножения октонионов; вопрос о том, имеет ли он сложную структуру , известен как проблема Хопфа, в честь Хайнца Хопфа . ^[2]

Дифференциальная топология почти комплексных многообразий

Точно так же, как сложная структура в векторном пространстве V допускает разложение V ^С в V ⁺ и В. ⁻ ( собственные пространства J , соответствующие + i и − i соответственно), поэтому почти комплексная структура на M допускает разложение комплексифицированного касательного расслоения TM ^С (которое представляет собой векторное расслоение комплексифицированных касательных пространств в каждой точке) в TM ⁺ и ТМ ⁻. Раздел ТМ ⁺ называется векторным полем типа (1, 0), а сечение TM ⁻ — векторное поле типа (0, 1). Таким образом, J соответствует умножению на i на (1, 0)-векторных полях комплексифицированного касательного расслоения и умножению на - i на (0, 1)-векторных полях.

Точно так же, как мы строим дифференциальные формы из внешних степеней кокасательного расслоения , мы можем строить внешние степени комплексифицированного кокасательного расслоения (которое канонически изоморфно расслоению двойственных пространств комплексифицированного касательного расслоения). Почти сложная структура индуцирует разложение каждого пространства r -форм

\Omega ^{r}(M)^{\mathbf {C} }=\bigoplus _{p+q=r}\Omega ^{(p,q)}(M).\,

Другими словами, каждое Ω ^р( М ) ^С допускает разложение в сумму Ω ^{( п , q )}( M ), где р знак равно п + q .

Как и в любой прямой сумме , существует каноническая проекция π _{p , q} из Ω ^р( М ) ^С к Ом ^{( п , q )}. У нас также есть внешняя производная d, которая отображает Ω ^р( М ) ^С к Ом ^{р +1}( М ) ^С. Таким образом, мы можем использовать почти сложную структуру для уточнения действия внешней производной до форм определенного типа.

\partial =\pi _{p+1,q}\circ d

{\overline {\partial }}=\pi _{p,q+1}\circ d

так что $\partial$ — это отображение, которое увеличивает голоморфную часть типа на единицу (преобразует формы типа ( p , q ) в формы типа ( p +1, q )), и ${\overline {\partial }}$ — отображение, увеличивающее антиголоморфную часть типа на единицу. Эти операторы называются операторами Дольбо .

Поскольку сумма всех проекций должна быть тождественным отображением , заметим, что внешнюю производную можно записать

d=\sum _{r+s=p+q+1}\pi _{r,s}\circ d=\partial +{\overline {\partial }}+\cdots .

Интегрируемые почти сложные структуры

Каждое комплексное многообразие само по себе является почти комплексным многообразием. В локальных голоморфных координатах $z^{\mu }=x^{\mu }+iy^{\mu }$ можно определить карты

J{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}={\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial y^{\mu }}}=-{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}

(точно так же, как вращение π/2 против часовой стрелки) или

J{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}=i{\frac {\partial }{\partial z^{\mu }}}\qquad J{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}=-i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{\mu }}}.

Легко проверить, что это отображение определяет почти сложную структуру. Таким образом, любая комплексная структура на многообразии дает почти сложную структуру, о которой говорят, что она «индуцирована» сложной структурой, а о комплексной структуре говорят, что она «совместима» с почти комплексной структурой.

Обратный вопрос: подразумевает ли почти сложная структура существование сложной структуры, гораздо менее тривиален и вообще неверен. На произвольном почти комплексном многообразии всегда можно найти координаты, для которых почти комплексная структура принимает указанный выше канонический вид в любой заданной точке p . Однако в общем случае невозможно найти координаты, чтобы J принимал канонический вид во всей окрестности точки p . Такие координаты, если они существуют, называются «локальными голоморфными координатами для J». Если M допускает локальные голоморфные координаты для J вокруг каждой точки, то они соединяются вместе, образуя голоморфный атлас для M, придающий ему сложную структуру, которая, кроме того, индуцирует J . Тогда J называют « интегрируемым ». Если J индуцируется сложной структурой, то он индуцируется единственной комплексной структурой.

Учитывая любое линейное отображение A на каждом касательном пространстве M ; т. е. A — тензорное поле ранга (1, 1), то тензор Нийенхейса — это тензорное поле ранга (1,2), заданное формулой

N_{A}(X,Y)=-A^{2}[X,Y]+A([AX,Y]+[X,AY])-[AX,AY].\,

или, в обычном случае почти комплексной структуры A=J такой, что $J^{2}=-Id$ ,

N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J([JX,Y]+[X,JY])-[JX,JY].\,

Отдельные выражения справа зависят от выбора гладких векторных полей X и Y , но левая часть фактически зависит только от поточечных значений X и Y , поэтому NA _{является} тензором. Это также ясно из формулы компонента

-(N_{A})_{ij}^{k}=A_{i}^{m}\partial _{m}A_{j}^{k}-A_{j}^{m}\partial _{m}A_{i}^{k}-A_{m}^{k}(\partial _{i}A_{j}^{m}-\partial _{j}A_{i}^{m}).

В терминах скобки Фрелихера–Нийенхейса , которая обобщает скобку Ли векторных полей, тензор Нийенхейса составляет _NA всего лишь половину [ A , A ].

Теорема Ньюлендера-Ниренберга утверждает, что почти комплексная структура J интегрируема тогда и только тогда, когда N _J = 0. Как обсуждалось выше, совместимая комплексная структура уникальна. Поскольку существование интегрируемой почти комплексной структуры эквивалентно существованию сложной структуры, это иногда принимают за определение сложной структуры.

Существует несколько других критериев, эквивалентных обращению в нуль тензора Нийенхейса и, следовательно, дающих методы проверки интегрируемости почти сложной структуры (и фактически каждый из них можно найти в литературе):

Скобка Ли любых двух (1, 0)-векторных полей снова имеет тип (1, 0).
$d=\partial +{\bar {\partial }}$
${\bar {\partial }}^{2}=0.$

Любое из этих условий предполагает существование единственной совместимой комплексной структуры.

Существование почти сложной структуры является топологическим вопросом, и на него относительно легко ответить, как обсуждалось выше. С другой стороны, существование интегрируемой почти сложной структуры — гораздо более сложный аналитический вопрос. Например, до сих пор неизвестно, является ли S ⁶ допускает интегрируемую, почти сложную структуру, несмотря на долгую историю совершенно непроверенных утверждений. Вопросы плавности важны. Для вещественно-аналитического J теорема Ньюлендера-Ниренберга следует из теоремы Фробениуса ; для С ^∞ (и менее гладкий) J , требуется анализ (с использованием более сложных методов по мере ослабления гипотезы регулярности).

Совместимые тройки

Предположим, что снабжено симплектической формой ω , римановой метрикой g и почти комплексной структурой J. M Поскольку ω и g невырождены ω , каждое из них индуцирует изоморфизм расслоения TM → T*M , где первое отображение, обозначаемое φ _ω , задается внутренним произведением φ _ω ( u ) = u ₌ ω i ( u , •) и другой, обозначаемый , _φg определяется аналогичной операцией для g . Если это понимать, три структуры ( g , ω , J ) образуют совместимую тройку , когда каждая структура может быть определена двумя другими следующим образом:

г ( ты , v ) знак равно ω ( ты , Jv )
ω( ты , v ) знак равно г ( U , v )
J ( ты ) знак равно ( φ _г ) ⁻¹( ж _ω ( ты )).

В каждом из этих уравнений две структуры в правой части называются совместимыми, если соответствующая конструкция дает структуру заданного типа. Например, ω и J совместимы тогда и только тогда, когда ω (•, J •) является римановой метрикой. Расслоение на М, сечениями которого являются почти комплексные структуры, совместимые с со, имеет сжимаемые слои : комплексные структуры на касательных слоях, совместимые с ограничением на симплектические формы.

Используя элементарные свойства симплектической формы ω , можно показать, что совместимая почти комплексная структура J является почти кэлеровой структурой для римановой метрики ω ( u , Jv ). Кроме того, если J интегрируемо, то ( M , ω , J ) — кэлерово многообразие .

Эти тройки связаны со свойством унитарной группы 2 из 3 .

Обобщенная почти сложная структура

Найджел Хитчин ввел понятие обобщенной почти комплексной структуры на многообразии M , которое было развито в докторских диссертациях его студентов Марко Гуалтьери и Хиля Кавальканти . Обычная почти комплексная структура представляет собой выбор полумерного подпространства каждого слоя комплексифицированного касательного расслоения TM . Обобщенная почти комплексная структура — это выбор полумерного изотропного подпространства каждого слоя прямой суммы комплексифицированного касательного и кокасательного расслоений . В обоих случаях требуется, чтобы прямая сумма подрасслоения и его комплексно-сопряженного числа давала исходный расслоение.

Почти комплексная структура интегрируется в комплексную структуру, если полумерное подпространство замкнуто скобкой Ли . Обобщенная почти комплексная структура интегрируется в обобщенную комплексную структуру, если подпространство замкнуто относительно скобки Куранта . Если, кроме того, это полумерное пространство является аннулятором нигде не исчезающего чистого спинора , то M является обобщенным многообразием Калаби–Яу .

См. также

Почти кватернионное многообразие - концепция в геометрии.
Класс Черна - Характеристические классы векторных расслоений
Кронштейн Фрелихера – Ниенхейса
Многообразие Кэлера - Многообразие с римановой, комплексной и симплектической структурой.
Многообразие Пуассона - Математическая структура в дифференциальной геометрии
Коллектор Ризза
Симплектическое многообразие - тип многообразия в дифференциальной геометрии.

Ссылки

^ Ван де Вен, А. (июнь 1966 г.). «О числах Чженя некоторых комплексных и почти комплексных многообразий» . Труды Национальной академии наук . 55 (6): 1624–1627. Бибкод : 1966PNAS...55.1624V . дои : 10.1073/pnas.55.6.1624 . ПМК 224368 . ПМИД 16578639 .
^ Агрикола, Илька ; Баццони, Джованни; Герчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . дои : 10.1016/j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 .

Ньюлендер, август; Ниренберг, Луи (1957). «Комплексные аналитические координаты в почти комплексных многообразиях». Анналы математики . Вторая серия. 65 (3): 391–404. дои : 10.2307/1970051 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970051 . МР 0088770 .
Каннас да Силва, Ана (2001). Лекции по симплектической геометрии . Спрингер. ISBN 3-540-42195-5 . Информация о совместимых тройках, кэлеровых и эрмитовых многообразиях и т. д.
Уэллс, Раймонд О. (1980). Дифференциальный анализ на комплексных многообразиях . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0 . Краткий раздел, который знакомит со стандартным базовым материалом.
Рубей, Елена (2014). Алгебраическая геометрия, краткий словарь . Берлин/Бостон: Уолтер Де Грюйтер. ISBN 978-3-11-031622-3 .
Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1953). «Группы лжи и уменьшенные полномочия Стинрода». Американский журнал математики . 75 (3): 409–448. дои : 10.2307/2372495 . JSTOR 2372495 . МР 0058213 .

[1] Ван де Вен, А. (июнь 1966 г.). «О числах Чженя некоторых комплексных и почти комплексных многообразий» . Труды Национальной академии наук . 55 (6): 1624–1627. Бибкод : 1966PNAS...55.1624V . дои : 10.1073/pnas.55.6.1624 . ПМК 224368 . ПМИД 16578639 .

[2] Агрикола, Илька ; Баццони, Джованни; Герчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . дои : 10.1016/j.difgeo.2017.10.014 . S2CID 119297359 .

[1]

[2]