Кватернионное многообразие

В дифференциальной геометрии кватернионное многообразие является кватернионным аналогом комплексного многообразия . Это определение более сложное и техническое, чем определение для комплексных многообразий, отчасти из-за некоммутативности кватернионов, а отчасти из-за отсутствия подходящего исчисления голоморфных функций для кватернионов. Наиболее краткое определение использует язык G -структур на многообразии . В частности, кватернионное n- многообразие можно определить как гладкое многообразие действительной размерности 4 n, снабженное $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }$ -структура. Более наивные, но простые определения приводят к недостатку примеров и исключают такие пространства, как кватернионное проективное пространство , которое, очевидно, следует рассматривать как кватернионные многообразия.

Ранняя история

Марселя Бергера 1955 года Статья ^[1] по классификации римановых групп голономии впервые поднял вопрос о существовании несимметричных многообразий с голономией Sp( n )·Sp(1). Интересные результаты были доказаны в середине 1960-х годов в новаторской работе Эдмонда Бонана. ^[2] и Крайнес ^[3] которые независимо доказали, что любое такое многообразие допускает параллельную 4-форму $\Omega$ .Опубликован долгожданный аналог сильной теоремы Лефшеца ^[4] в 1982 году: $\Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.$

Определения

Расширенная кватернионная общая линейная группа

Если мы рассмотрим кватернионное векторное пространство $\mathbb {H} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{4n}$ как право $\mathbb {H}$ -модуль , мы можем определить алгебру правого $\mathbb {H}$ -линейные отображения с алгеброй $n\times n$ кватернионные матрицы, действующие на $\mathbb {H} ^{n}$ слева . Обратимое право $\mathbb {H}$ -линейные карты тогда образуют подгруппу $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )$ из $\operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )$ . Мы можем усилить эту группу с помощью группы $\mathbb {H} ^{\times }$ ненулевых кватернионов, действующих скалярным умножением на $\mathbb {H} ^{n}$ справа . Поскольку это скалярное умножение $\mathbb {R}$ -линейный (но не $\mathbb {H}$ -линейно) у нас есть еще одно вложение $\mathbb {H} ^{\times }$ в $\operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )$ . Группа $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }$ затем определяется как произведение этих подгрупп в $\operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )$ . Поскольку пересечение подгрупп $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )$ и $\mathbb {H} ^{\times }$ в $\operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )$ это их общий центр $\mathbb {R} ^{\times }$ (группа скалярных матриц с ненулевыми вещественными коэффициентами) имеем изоморфизм

\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }\cong (\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\times \mathbb {H} ^{\times })/\mathbb {R} ^{\times }.

Почти кватернионная структура

Почти кватернионная структура на гладком многообразии $M$ это просто $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }$ -структура на $M$ . Эквивалентно, его можно определить как подпучок $H$ расслоения эндоморфизмов $\operatorname {End} (TM)$ так, что каждое волокно $H_{x}$ изоморфна (как вещественная алгебра ) алгебре кватернионов $\mathbb {H}$ . Подпакет $H$ называется расслоением почти кватернионной структуры . Многообразие, снабженное почти кватернионной структурой, называется почти кватернионным многообразием .

Пакет кватернионных структур $H$ естественным образом допускает метрику расслоения, исходящую из структуры кватернионной алгебры, и с этой метрикой $H$ распадается в ортогональную прямую сумму векторных расслоений $H=L\oplus E$ где $L$ — тривиальное линейное расслоение через тождественный оператор, а $E$ представляет собой векторное расслоение ранга 3, соответствующее чисто мнимым кватернионам. Ни пакеты $H$ или $E$ обязательно тривиальны.

Пучок единичных сфер $Z=S(E)$ внутри $E$ соответствует чистым единичным мнимым кватернионам. Это эндоморфизмы касательных пространств, квадратурные к −1. Пакет $Z$ называется твисторным пространством многообразия $M$ , а его свойства более подробно описаны ниже. Местные разделы $Z$ являются (локально определенными) почти сложными структурами . Существует район $U$ каждой точки $x$ в почти кватернионном многообразии $M$ с целой 2-сферой почти сложных структур, определенных на $U$ . Всегда можно найти $I,J,K\in \Gamma (Z|_{U})$ такой, что

I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1

Однако обратите внимание, что ни один из этих операторов не может быть расширен на все $M$ . То есть комплект $Z$ может не допускать глобальных сечений (например, это относится к кватернионному проективному пространству $\mathbb {HP} ^{n}$ ). Это резко контрастирует с ситуацией для комплексных многообразий, которые всегда имеют глобально определенную почти комплексную структуру.

Кватернионная структура

на Кватернионная структура гладком многообразии $M$ представляет собой почти кватернионную структуру $Q$ допускающая без кручения аффинную связность $\nabla$ сохранение $Q$ . Такое соединение никогда не является уникальным и не считается частью кватернионной структуры. — Кватернионное многообразие это гладкое многообразие. $M$ вместе с кватернионной структурой на $M$ .

Особые случаи и дополнительные структуры

Гиперкомплексные многообразия

Гиперкомплексное многообразие — это кватернионное многообразие с многообразием без кручения. $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )$ -структура. Сокращение структурной группы до $\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )$ возможно тогда и только тогда, когда расслоение почти кватернионной структуры $H\subset \operatorname {End} (TM)$ тривиален (т.е. изоморфен $M\times \mathbb {H}$ ). Почти гиперкомплексная структура соответствует глобальной системе координат $H$ , или, что то же самое, тройка почти сложных структур $I,J$ , и $K$ такой, что

I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1

Гиперкомплексная структура — это почти гиперкомплексная структура, в которой каждая из $I,J$ , и $K$ интегрируемы.

Кватернионные кэлеровы многообразия

Кватернионное кэлерово многообразие — это кватернионное многообразие с пространством без кручения. $\operatorname {Sp} (n)\cdot \operatorname {Sp} (1)$ -структура.

Гиперкэлеровы многообразия

Гиперкелерово многообразие — это кватернионное многообразие с пространством без кручения. $\operatorname {Sp} (n)$ -структура. Гиперкелерово многообразие одновременно является гиперкомплексным многообразием и кватернионным кэлеровым многообразием.

Твисторное пространство

Учитывая кватернион $n$ -многообразие $M$ , единичное 2-сферное подрасслоение $Z=S(E)$ соответствующие чистым единичным мнимым кватернионам (или почти комплексным структурам), называется пространством твисторным $M$ . Оказывается, когда $n\geq 2$ , существует естественная комплексная структура на $Z$ такая, что слои проекции $Z\to M$ изоморфны $\mathbb {CP} ^{1}$ . Когда $n=1$ , пространство $Z$ допускает естественную почти комплексную структуру , но эта структура интегрируема только в том случае, если многообразие самодвойственно . Оказывается, кватернионная геометрия на $M$ можно полностью восстановить по голоморфным данным о $Z$ .

Теория твисторного пространства дает метод перевода задач о кватернионных многообразиях в задачи о комплексных многообразиях, которые гораздо лучше понятны и поддаются методам алгебраической геометрии . К сожалению, твисторное пространство кватернионного многообразия может быть довольно сложным даже для таких простых пространств, как $\mathbb {H} ^{n}$ .

Ссылки

Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Берлин: Springer Verlag. ISBN 3-540-15279-2 .
Джойс, Доминик (2000). Компактные многообразия со специальной голономией . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850601-5 .

^ Бергер, Марсель (1955). «О группах голономии аффинно-связных многообразий и римановых многообразий» (PDF) . Бык. Соц. Математика. Франция . 83 : 279–330. дои : 10.24033/bsmf.1464 .
^ Бонан, Эдмонд (1965). «Почти четверичная структура на дифференцируемом многообразии». Известия Академии наук . 261 :5445–8.
^ Крейнс, Вивиан Йо (1966). «Топология кватернионных многообразий» (PDF) . Труды Американского математического общества . 122 (2): 357–367. дои : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR 1994553 .
^ Бонан, Эдмонд (1982). «О внешней алгебре кватернионного почти эрмитова многообразия». Известия Академии наук . 295 : 115–118.

[1] Бергер, Марсель (1955). «О группах голономии аффинно-связных многообразий и римановых многообразий» (PDF) . Бык. Соц. Математика. Франция . 83 : 279–330. дои : 10.24033/bsmf.1464 .

[2] Бонан, Эдмонд (1965). «Почти четверичная структура на дифференцируемом многообразии». Известия Академии наук . 261 :5445–8.

[3] Крейнс, Вивиан Йо (1966). «Топология кватернионных многообразий» (PDF) . Труды Американского математического общества . 122 (2): 357–367. дои : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR 1994553 .

[4] Бонан, Эдмонд (1982). «О внешней алгебре кватернионного почти эрмитова многообразия». Известия Академии наук . 295 : 115–118.

[1]

[2]

[3]

[4]