Чистый спинор

В области математики , известной как теория представлений , чистые спиноры (или простые спиноры ) — это спиноры , которые аннулируются в соответствии с представлением алгебры Клиффорда максимальным изотропным подпространством векторного пространства . $V$ относительно скалярного произведения $Q$. Их представил Эли Картан. в 1930-х годах и получил дальнейшее развитие у Клода Шевалле .

Они являются ключевым ингредиентом в изучении спиновых структур и многомерных обобщений твисторной теории . введен Роджером Пенроузом в 1960-х годах. Они были применены для изучения суперсимметричной теории Янга-Миллса в 10D. суперструны , обобщенные сложные структуры и параметризация решений интегрируемых иерархий .

Алгебра Клиффорда и чистые спиноры

Рассмотрим комплексное векторное пространство $V$, с любой четной размерностью $2n$ или нечетное измерение $2n+1$и невырожденное комплексное скалярное произведение $Q$, со значениями $Q(u,v)$ на парах векторов $(u,v)$. Клиффорда Алгебра $Cl(V,Q)$ является фактором полной тензорной алгебры на $V$ идеалом, порожденным отношениями

$u\otimes v+v\otimes u=2Q(u,v),\quad \forall \ u,v\in V.$

Спиноры являются модулями алгебры Клиффорда, поэтому, в частности, существует действиеэлементы $V$ на пространстве спиноров. Комплексное подпространство $V_{\psi }^{0}\subset V$ который уничтожает заданный ненулевой спинор $\psi$ имеет размерность $m\leq n$. Если $m=n$ затем $\psi$ называется чистым спинором . В терминах расслоения спинорных модулей по орбитам спиновой группы $Spin(V,Q)$Чистые спиноры соответствуют наименьшим орбитам, которые являются шиловской границей расслоения по типам орбит спинорного представления на неприводимых спинорных (или полуспинорных) модулях.

Чистые спиноры, определенные с точностью до проективизации, называются проективными чистыми спинорами . Для $\,V\,$ четного размера $2n$, пространство проективных чистых спиноров является однородным пространством $SO(2n)/U(n)$; для $\,V\,$ нечетного измерения $2n+1$, это $SO(2n+1)/U(n)$.

Неприводимый модуль Клиффорда, спиноры, чистые спиноры и отображение Картана

Неприводимый клиффорд/спинорный модуль

Вслед за Картаном и Шевалле, мы можем просмотреть $V$ как прямая сумма

$V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\ {\text{ or }}\ V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C} ,$

где $V_{n}\subset V$ является вполне изотропным подпространством размерности $n$, и $V_{n}^{*}$ - это его двойственное пространство со скалярным произведением, определяемым как

$Q(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2}),\quad v_{1},v_{2}\in V_{n},\ w_{1},w_{2}\in V_{n}^{*},$

или

$Q(v_{1}+w_{1}+a_{1},v_{2}+w_{2}+a_{2}):=w_{2}(v_{1})+w_{1}(v_{2})+a_{1}a_{2},\quad a_{1},a_{2}\in \mathbf {C} ,$

соответственно.

Представление алгебры Клиффорда $\Gamma _{X}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_{n}))$ как эндоморфизмы неприводимого клиффордовского/спинорного модуля $\Lambda (V_{n})$, порождается линейными элементами $X\in V$, которые действуют как

$\Gamma _{v}(\psi )=v\wedge \psi \ {\text{ (wedge product) }}\ {\text{for }}v\in V_{n}\ {\text{ and }}\Gamma _{w}(\psi )=\iota (w)\psi \ {\text{ (inner product) }}{\text{for}}\ w\in V_{n}^{*},$

для любого $V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}$ или $V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C}$, и

$\Gamma _{a}\psi =(-1)^{p}a\ \psi ,\quad a\in \mathbf {C} ,\ \psi \in \Lambda ^{p}(V_{n}),$

для $V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}\oplus \mathbf {C}$, когда $\psi$ является однородным по степени $p$.

Чистые спиноры и отображение Картана

Чистый спинор $\psi$ определяется как любой элемент $\psi \in \Lambda (V_{n})$ аннулируемое максимальным изотропным подпространством $w\subset V$ относительно скалярного произведения $\,Q\,$. И наоборот, для заданного максимального изотропного подпространства можно определить аннулирующий его чистый спинор с точностью до умножения на комплексное число следующим образом.

Обозначим грассманиан максимальной изотропности ( $n$-мерные) подпространства $V$ как $\mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)$. Картана Карта

$\mathbf {Ca} :\mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)\rightarrow \mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))$

определяется для любого элемента $w\in \mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)$, с основой $(X_{1},\dots ,X_{n})$, иметь ценность

$\mathbf {Ca} (w):=\mathrm {Im} (\Gamma _{X_{1}}\cdots \Gamma _{X_{n}});$

то есть образ $\Lambda (V_{n})$ под эндоморфизмом, образованным произведением эндоморфизмов представления Клиффорда $\{\Gamma _{X_{i}}\in \mathrm {End} (\Lambda (V_{n}))\}_{i=1,\dots ,n}$, не зависящий от выбора базиса $(X_{1},\cdots ,X_{n})$.Это $1$-мерное подпространство в силу условий изотропии

$Q(X_{i},X_{j})=0,\quad 1\leq i,j\leq n,$

которые подразумевают

$\Gamma _{X_{i}}\Gamma _{X_{j}}+\Gamma _{X_{j}}\Gamma _{X_{i}}=0,\quad 1\leq i,j\leq n,$

и, следовательно, $\mathbf {Ca} (w)$ определяет элемент проективизации $\mathbf {P} (\Lambda (V_{n}))$ неприводимого модуля Клиффорда $\Lambda (V_{n})$.Из условий изотропии следует, что если проективный класс $[\psi ]$ спинора $\psi \in \Lambda (V_{n})$ есть на изображении $\mathbf {Ca} (w)$ и $X\in w$, затем

$\Gamma _{X}(\psi )=0.$

Итак, любой спинор $\psi$ с $[\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)$ аннулируется согласно представлению Клиффорда всеми элементами $w$. И наоборот, если $\psi$ уничтожается $\Gamma _{X}$ для всех $X\in w$, затем $[\psi ]\in \mathbf {Ca} (w)$.

Если $V=V_{n}\oplus V_{n}^{*}$ четномерен, в изотропном грассманиане имеются две связные компоненты $\mathbf {Gr} _{n}^{0}(V,Q)$, которые отображаются под $\mathbf {Ca}$, в два полуспинорных подпространства $\Lambda ^{+}(V_{n}),\Lambda ^{-}(V_{n})$ в разложении в прямую сумму

$\Lambda (V_{n})=\Lambda ^{+}(V_{n})\oplus \Lambda ^{-}(V_{n}),$

где $\Lambda ^{+}(V_{n})$ и $\Lambda ^{-}(V_{n})$ состоят соответственно из элементов четной и нечетной степени $\Lambda ^{(}V_{n})$ .

Картановские отношения

Определите набор билинейных форм $\{\beta _{m}\}_{m=0,\dots 2n}$ на спинорном модуле $\Lambda (V_{n})$, со значениями в $\Lambda ^{m}(V^{*})\sim \Lambda ^{m}(V)$ (которые изоморфны через скалярное произведение $Q$), к

$\beta _{m}(\psi ,\phi )(X_{1},\dots ,X_{m}):=\beta _{0}(\psi ,\Gamma _{X_{1}}\cdots \Gamma _{X_{m}}\phi ),\quad {\text{for }}\psi ,\phi \in \Lambda (V_{n}),\ X_{1},\dots ,X_{m}\in V,$

где для однородных элементов $\psi \in \Lambda ^{p}(V_{n})$, $\phi \in \Lambda ^{q}(V_{n})$ и объемная форма $\Omega$ на $\Lambda (V_{n})$,

$\beta _{0}(\psi ,\phi )\,\Omega ={\begin{cases}\psi \wedge \phi \quad {\text{if }}p+q=n\\0\quad {\text{otherwise. }}\end{cases}}$

Как показал Картан, чистые спиноры $\psi \in \Lambda (V_{n})$ однозначно определяются тем, что они удовлетворяют следующему набору однородных квадратных уравнений , известных как соотношения Картана :

$\beta _{m}(\psi ,\psi )=0\quad \forall \ m\equiv n\mod (4),\quad 0\leq m<n$

на стандартном неприводимом спинорном модуле.

Они определяют образ подмногообразия максимальных изотропных подпространств векторного пространства $V,$ относительно скалярного произведения $Q$, при отображении Картана , определяющем вложение грассманиана изотропных подпространств $V$ в проективизации спинорного модуля (или полуспинорного модуля в четномерном случае), реализуя их как проективные многообразия.

Таким образом, всего существует

$\sum _{0\leq m\leq n-1 \atop m\equiv n,{\text{ mod }}4}{{\text{dim}}(V) \choose m}$

Соотношения Картана, означающие исчезновение билинейных форм. $\beta _{m}$ со значениями во внешних пространствах $\,\Lambda ^{m}(V)\,$ для $m\equiv n,{\text{ mod }}4$, соответствующий этим кососимметричным элементам алгебры Клиффорда. Однако поскольку размерность грассманиана максимальных изотропных подпространств $\,V\,$ является $\,{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)\,$ когда $\,V\,$ имеет четную размерность $2n$ и $\,{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)\,$ когда $\,V\,$ имеет нечетное измерение $2n+1$, а отображение Картана является вложением его компонент связности в проективизацию полуспинорных модулей, когда $\,V\,$ имеет четную размерность, а в неприводимом спинорном модуле, если он имеет нечетную размерность, количество независимых квадратичных ограничений составляет всего

$2^{n-1}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n-1)-1$

в $\,2n\,$ размерный случай и

$2^{n}-{\tfrac {1}{2}}\,n(n+1)-1$

в $\,2n+1\,$ размерный корпус.

В шести измерениях или меньше все спиноры чистые. В 7 или 8 измерениях существует единственное чисто спинорное ограничение. В 10 измерениях есть 10 ограничений.

$\psi \;\Gamma _{\mu }\,\psi =0~,\quad \mu =1,\dots ,10,$

где $\,\Gamma _{\mu }\,$ являются гамма-матрицами , которые представляют векторы в $\,\mathbb {C} ^{10}\,$ порождающие алгебру Клиффорда. Однако только $5$ из них независимы, поэтому разнообразие проективизированных чистых спиноров для $V=\mathbb {C} ^{10}$ является $10$ (сложный) размерный.

Применение чистых спиноров

Суперсимметричная теория Янга Миллса

Для $d=10$ размерный, $N=1$ суперсимметричная теория Янга-Миллса , соответствие суперабитвистора , состоит из эквивалентности уравнений суперсимметричного поля и исчезновения суперкривизны вдоль супернулевых линий , имеющих размерность $(1|16)$, где $16$ Грассмановы размерности соответствуют чистому спинору. Уменьшение размерностей дает соответствующие результаты для $d=6$, $N=2$ и $d=4$, $N=3$ или $4$.

Теория струн и обобщенные многообразия Калаби-Яу

Чистые спиноры были введены в квантование струн Натаном Берковицем. Найджел Хитчин введены обобщенные многообразия Калаби–Яу , где обобщенная комплексная структура определяется чистым спинором. Эти пространства описывают геометрию компактификаций потока в теории струн.

Интегрируемые системы

В подходе к интегрируемым иерархиям, развитом Сато , и его ученики, уравнения иерархии рассматриваются как условия совместности коммутирующих потоков на бесконечномерном грассманиане . При (бесконечномерном) отображении Картана проективные чистые спиноры эквивалентны элементам бесконечномерного грассманиана, состоящего из максимальных изотропных подпространств гильбертова пространства при подходящим образом определенном комплексном скалярном произведении. Поэтому они служат модулями для решений интегрируемой иерархии БКП: параметризация связанного BKP $\tau$-functions , генерирующие функции для потоков. В соответствии с соответствием карты Картана они могут быть выражены как бесконечномерные фредгольмовы пфаффианы .

Библиография

• Картан, Эли (1981) [1966]. Теория спиноров . Dover Publications (переиздание). Париж, Франция: Герман (1966). ISBN  978-0-486-64070-9 .
• Шевалле, Клод (1996) [1954]. Алгебраическая теория спиноров и алгебры Клиффорда (переиздание). Издательство Колумбийского университета (1954); Спрингер (1996). ISBN  978-3-540-57063-9 .
• Чарльтон, Филип. Геометрия чистых спиноров с приложениями , Кандидатская диссертация (1997).