Тау-функция (интегрируемые системы)

Тау-функции являются важным компонентом современной математической теории интегрируемых систем и имеют многочисленные приложения во множестве других областей. Первоначально их представил Рёго Хирота. в его прямом подходе к солитонным уравнениям, основанном на их выражении в эквивалентной билинейной форме.

Термин тау-функция , или $\tau$-функция, впервые систематически использованная Микио Сато. и его ученики в конкретном контексте уравнения Кадомцева–Петвиашвили (или КП) и связанных с ним интегрируемых иерархий . Это центральный ингредиент теории солитонов . В этой ситуации при любом $\tau$-функции, удовлетворяющей системе билинейных уравнений типа Хироты (см. ниже § Билинейное соотношение вычетов Хироты для тау-функций КП ниже), соответствующие решения уравнений интегрируемой иерархии явно выражаются через нее и ее логарифмические производные с точностью до конечной заказ. Тау-функции также появляются как матричной модели статистические суммы в спектральной теории случайных матриц . и могут также служить производящими функциями в смысле комбинаторики и перечислительной геометрии , особенно в отношении пространств модулей римановых поверхностей и перечисления разветвленных накрытий , или так называемых чисел Гурвица .

Есть два понятия о $\tau$-функции, обе введены школой Сато . Первый – изоспектральный. $\tau$-функции типа Сато – Сигала – Вильсона. для интегрируемых иерархий, таких как иерархия КП, которые параметризуются линейными операторами, удовлетворяющими изоспектральной уравнениям деформации типа Лакса . Второй – изомонодромный. $\tau$-функции .

В зависимости от конкретного применения, $\tau$-функция может быть: 1) аналитической функцией конечного или бесконечного числа независимых коммутирующих переменных потока или параметров деформации; 2) дискретная функция конечного или бесконечного числа счетных переменных; 3) формальное разложение в степенной ряд по конечному или бесконечному числу переменных разложения, которое не обязательно должно иметь область сходимости, но служит производящей функцией для некоторых перечислительных инвариантов, выступающих в качестве коэффициентов ряда; 4) конечный или бесконечный (фредгольмов) определитель, элементами которого являются либо конкретные полиномиальные или квазиполиномиальные функции, либо параметрические интегралы и их производные; 5) пфаффиан кососимметричной матрицы (конечномерной или бесконечномерной) с элементами аналогично полиномиального или квазиполиномиального типа. Ниже приведены примеры всех этих типов.

В подходе Гамильтона – Якоби к системам интегрируемым по Лиувиллю гамильтоновым главная функция Гамильтона , вычисляемая на поверхностях уровня полного набора пуассоновских коммутирующих инвариантов, играет роль, аналогичную функции $\tau$-функция, служащая как производящей функцией для канонического преобразования к линеаризации канонических координат, так и, при оценке на одновременных множествах уровня полного набора пуассоновских коммутирующих инвариантов, полным решением уравнения Гамильтона – Якоби .

Тау-функции: изоспектральные и изомонодромные.

А $\tau$-функция изоспектрального типа определяется как решение билинейных уравнений Хироты (см . § Билинейное соотношение вычетов Хироты для тау-функций КП ниже), из которого однозначно восстанавливается линейный оператор, претерпевающий изоспектральную эволюцию. Геометрически в Сато и Сигал -Уилсон В смысле, это значение определителя интегрального оператора Фредгольма , интерпретируемого как ортогональная проекция элемента подходящим образом определенного (бесконечномерного) грассманова многообразия на начало координат , поскольку этот элемент развивается под действием линейного экспоненциального действия максимального абелева подгруппа полной линейной группы. Обычно она возникает как статистическая сумма в смысле статистической механики многих тел , квантовой механики или квантовой теории поля , поскольку основная мера подвергается линейной экспоненциальной деформации.

изомонодромный $\tau$-функции для линейных систем фуксового типа определены ниже в § Фуксовы изомонодромные системы. Уравнения Шлезингера . Для более общего случая линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами, включая иррегулярные особенности, они развиты в справочнике.

Билинейное соотношение вычетов Хироты для тау-функций КП

А КП ( Кадомцев–Петвиашвили ) $\tau$-функция $\tau (\mathbf {t} )$ является функцией бесконечной коллекции $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )$ переменных (называемых переменными потока КП ), которые удовлетворяют билинейному формальному уравнению вычетов

$\mathrm {res} _{z=0}\left(e^{\sum _{i=1}^{\infty }(\delta t_{i})z^{i}}\tau ({\bf {t}}-[z^{-1}])\tau ({\bf {s}}+[z^{-1}])\right)dz\equiv 0,$ ( 1 )

одинаково в $\delta t_{j}$ переменные, где $\mathrm {res} _{z=0}$ это $z^{-1}$ коэффициент в формальном разложении Лорана, полученный в результате разложения всех факторов в ряд Лорана в $z$, и

$${\bf {s}}:={\bf {t}}+(\delta t_{1},\delta t_{2},\cdots ),\quad [z^{-1}]:=(z^{-1},{\tfrac {z^{-2}}{2}},\cdots {\tfrac {z^{-j}}{j}},\cdots ).$$

Как поясняется ниже в разделе § Формальная функция Бейкера-Ахиезера и иерархия КП , каждая такая $\tau$-функция определяет множество решений уравнений иерархии КП.

Уравнение Кадомцева–Петвиашвили.

Если $\tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )$ это КП $\tau$-функция, удовлетворяющая уравнение вычетов Хироты ( 1 ), и мы определяем первые три переменные потока как

$t_{1}=x,\quad t_{2}=y,\quad t_{3}=t,$

следует, что функция

$u(x,y,t):=2{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\log \left(\tau (x,y,t,t_{4},\dots )\right)$

удовлетворяет $2$ (пространственный) $+1$ (время) размерное нелинейное уравнение в частных производных

$3u_{yy}=\left(4u_{t}-6uu_{x}-u_{xxx}\right)_{x},$ ( 2 )

известное как Кадомцева-Петвиашвили (КП) уравнение . Это уравнение играет важную роль в физике плазмы и океанских волнах на мелководье.

Беря дальнейшие логарифмические производные от $\tau (t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots )$ дает бесконечную последовательность функций, которые удовлетворяют дальнейшим системам нелинейных автономных УЧП, каждая из которых включает частные производные конечного порядка по конечному числу параметров потока КП. ${\bf {t}}=(t_{1},t_{2},\dots )$. Все вместе они известны как иерархия КП .

Формальная функция Бейкера–Ахиезера и иерархия КП

Если мы определим (формальную) функцию Бейкера-Ахиезера $\psi (z,\mathbf {t} )$по формуле Сато

$\psi (z,\mathbf {t} ):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}{\frac {\tau (\mathbf {t} -[z^{-1}])}{\tau (\mathbf {t} )}}$

и разложим его в формальный ряд по степеням переменной $z$

$\psi (z,\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}z^{i}}(1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )z^{-j}),$

это удовлетворяет бесконечной последовательности совместимых эволюционных уравнений

${\frac {\partial \psi }{\partial t_{i}}}={\mathcal {D}}_{i}\psi ,\quad i,j,=1,2,\dots ,$ ( 3 )

где ${\mathcal {D}}_{i}$ — линейный обыкновенный дифференциальный оператор степени $i$ в переменной $x:=t_{1}$, с коэффициентами, которые являются функциями переменных потока $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )$, определяемый следующим образом

${\mathcal {D}}_{i}:={\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}$

где ${\mathcal {L}}$ — формальный псевдодифференциальный оператор

${\mathcal {L}}=\partial +\sum _{j=1}^{\infty }u_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}={\mathcal {W}}\circ \partial \circ {\mathcal {W}}^{-1}$

с $\partial :={\frac {\partial }{\partial x}}$,

${\mathcal {W}}:=1+\sum _{j=1}^{\infty }w_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}$

волновой оператор и ${\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}$обозначает проекцию на часть ${\mathcal {L}}^{i}$ содержащийчисто неотрицательные степени $\partial$; т.е. часть дифференциального оператора ${\mathcal {L}}^{i}$ .

Псевдодифференциальный оператор ${\mathcal {L}}$ удовлетворяет бесконечной системе уравнений изоспектральной деформации

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t_{i}}}=[{\mathcal {D}}_{i},{\mathcal {L}}],\quad i,=1,2,\dots$ ( 4 )

и условия совместности как для системы ( 3 ), так и для ( 4 ) являются

${\frac {\partial {\mathcal {D}}_{i}}{\partial t_{j}}}-{\frac {\partial {\mathcal {D}}_{j}}{\partial t_{i}}}+[{\mathcal {D}}_{i},{\mathcal {D}}_{j}]=0,\quad i,j,=1,2,\dots$ ( 5 )

Это совместимая бесконечная система нелинейных уравнений в частных производных, известная как иерархия КП (Кадомцева-Петвиашвили) , для функций $\{u_{j}(\mathbf {t} )\}_{j\in \mathbf {N} }$, относительно множества $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )$ независимых переменных, каждая из которых содержит лишь конечное число $u_{j}$'s и производные только по трем независимым переменным $(x,t_{i},t_{j})$. Первый нетривиальный случай этих– уравнение Кадомцева-Петвиашвили ( 2 ).

Таким образом, каждый КП $\tau$-функция обеспечивает решение, по крайней мере в формальном смысле, этой бесконечной системы нелинейных уравнений в частных производных.

Изомонодромные системы. Изомонодромные тау-функции

Фуксовы изомонодромные системы. Уравнения Шлезингера

Рассмотрим переопределенную систему матричных уравнений в частных производных первого порядка

${\partial \Psi \over \partial z}-\sum _{i=1}^{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}}\Psi =0,\quad$ ( 6 )

${\partial \Psi \over \partial \alpha _{i}}+{N_{i} \over z-\alpha _{i}}\Psi =0,$ ( 7 )

где $\{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ представляют собой набор $n$ $r\times r$ бесследовые матрицы, $\{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ набор $n$ сложные параметры, $z$ комплексная переменная и $\Psi (z,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})$ является обратимым $r\times r$ матрица-функция $z$ и $\{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}$.Это необходимые и достаточные условия базового представления монодромии фундаментальной группы. $\pi _{1}({\bf {P}}^{1}\backslash \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n})$ сферы Римана, проколотой вточки $\{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ соответствующий оператору рациональной ковариантной производной

${\partial \over \partial z}-\sum _{i=1}^{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}}$

быть независимым от параметров $\{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}$; т.е. изменения этих параметров вызывают изомонодромную деформацию . Условиями совместности этой системы являются уравнения Шлезингера

${\partial N_{i} \over \partial \alpha _{j}}={[N_{i},N_{j}] \over \alpha _{i}-\alpha _{j}}\quad {\text{for }}i\neq j,\quad {\partial N_{i} \over \partial \alpha _{i}}=-\sum _{1\leq j\leq n,j\neq i}{[N_{i},N_{j}] \over \alpha _{i}-\alpha _{j}}.$ ( 8 )

изомонодромный $\tau$-функция

Определение $n$ функции

$H_{i}:={\frac {1}{2}}\sum _{1\leq j\leq n,j\neq i}{{\rm {Tr}}(N_{i}N_{j}) \over \alpha _{i}-\alpha _{j}},\quad i=1,\dots ,n,$ ( 9 )

из уравнений Шлезингера ( 8 ) следует, что дифференциальная форма

$\omega :=\sum _{i=1}^{n}H_{i}d\alpha _{i}$

на пространстве параметров замкнуто:

$d\omega =0$

и, следовательно, локально точен. Следовательно, по крайней мере локально, существует функция $\tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$параметров, определенных внутри мультипликативной константы, такой, что

$\omega =d\mathrm {ln} \tau$

Функция $\tau (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ называется изомонодромным $\tau$-функция связанное с фундаментальным решением $\Psi$ системы ( 6 ), ( 7 ).

Гамильтонова структура уравнений Шлезингера

Определение скобок Ли Пуассона на пространстве $n$-кортежи $\{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ из $r\times r$ матрицы:

$\{(N_{i})_{ab},(N_{j})_{c,d}\}=\delta _{ij}\left((N_{i})_{ad}\delta _{bc}-(N_{i})_{cb}\delta _{ad}\right)$

$1\leq i,j\leq n,\quad 1\leq a,b,c,d\leq r,$

и просмотр $n$ функции $\{H_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ определенные в ( 9 ) как функции Гамильтона на этом пространстве Пуассона, уравнения Шлезингера ( 8 )может быть выражено в гамильтоновой форме как

${\frac {\partial f(N_{1},\dots ,N_{n})}{\partial \alpha _{i}}}=\{f,H_{i}\},\quad 1\leq i\leq n$

для любой дифференцируемой функции $f(N_{1},\dots ,N_{n})$.

Сокращение $r=2$, $n=3$ дело в $P_{VI}$

Простейший нетривиальный случай уравнений Шлезингера — это когда $r=2$ и $n=3$. Применяя преобразование Мёбиуса к переменной $z$,два конечных полюса могут быть выбраны так, чтобы они находились на $0$ и $1$, а третья рассматривается как независимая переменная.Установка суммы $\sum _{i=1}^{3}N_{i}$ матриц, встречающихся в( 6 ), который является инвариантом уравнений Шлезингера, равным константе и факторизуемым по его стабилизатору при $Gl(2)$ сопряжения, получим систему, эквивалентную наиболее общему случаю $P_{VI}$ из шести трансцендентных уравнений Пенлеве множество подробных классов явных решений . , для которых известно

Нефуксовы изомонодромные системы

Для нефуксовых систем с полюсами более высокого порядка данные обобщенной монодромии включают матрицы Стокса и матрицы связи , и существуют дополнительные изомонодромные параметры деформации , связанные с локальной асимптотикой, но изомонодромные $\tau$-функции могут быть определены аналогичным образом, используя дифференциалы в расширенном пространстве параметров. Аналогично существует скобочная структура Пуассона в пространстве рациональных матриц-функций спектрального параметра $z$ и соответствующие спектрально-инвариантные гамильтонианы, порождающие изомонодромную динамику деформации.

Приняв все возможные слияния полюсов, входящих в ( 6 ), за $r=2$ и $n=3$ дело, в том числе и в $z=\infty$, и сделав соответствующие сокращения, получим все остальные случаи $P_{I}\cdots P_{V}$ , трансцендентов Пенлеве для которых многочисленные специальные решения . известны также

Фермионные представления VEV (вакуумное математическое ожидание)

Фермионное пространство Фока ${\mathcal {F}}$, представляет собой полубесконечное внешнее пространство произведений

${\mathcal {F}}=\Lambda ^{\infty /2}{\mathcal {H}}=\oplus _{n\in \mathbf {Z} }{\mathcal {F}}_{n}$

определенный в (сепарабельном) гильбертовом пространстве ${\mathcal {H}}$ с базовыми элементами $\{e_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }$ и двойные базисные элементы $\{e^{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }$ для ${\mathcal {H}}^{*}$.

Свободные фермионные операторы рождения и уничтожения $\{\psi _{j},\psi _{j}^{\dagger }\}_{j\in \mathbf {Z} }$ действуют как эндоморфизмы на ${\mathcal {F}}$ через внешнее и внутреннее умножение на базовые элементы

$\psi _{i}:=e_{i}\wedge ,\quad \psi _{i}^{\dagger }:=i_{e^{i}},\quad i\in \mathbf {Z} ,$

и удовлетворять каноническим антикоммутационным соотношениям

$[\psi _{i},\psi _{k}]_{+}=[\psi _{i}^{\dagger },\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=0,\quad [\psi _{i},\psi _{k}^{\dagger }]_{+}=\delta _{ij}.$

Они порождают стандартное фермионное представление алгебры Клиффорда. на прямую сумму ${\mathcal {H}}+{\mathcal {H}}^{*}$, соответствующий скалярному произведению

$Q(u+\mu ,w+\nu ):=\nu (u)+\mu (v),\quad u,v\in {\mathcal {H}},\ \mu ,\nu \in {\mathcal {H}}^{*}$

с пространством Фока ${\mathcal {F}}$ как неприводимый модуль.Обозначим вакуумное состояние в секторе нулевого фермионного заряда ${\mathcal {F}}_{0}$, как

$|0\rangle :=e_{-1}\wedge e_{-2}\wedge \cdots$,

что соответствует морю состояний Дирака вдоль действительной целочисленной решетки, в которой все отрицательные целые позиции заняты, а все неотрицательные пусты.

Это аннулируется следующими операторами

$\psi _{-j}|0\rangle =0,\quad \psi _{j-1}^{\dagger }|0\rangle =0,\quad j=0,1,\dots$

Двойное фермионное состояние вакуума пространства Фока, обозначаемое $\langle 0|$, аннулируется сопряженными операторами, действующими слева

$\langle 0|\psi _{-j}^{\dagger }=0,\quad \langle 0|\psi _{j-1}|0=0,\quad j=0,1,\dots$

Обычный заказ $:L_{1},\cdots L_{m}:$ продукта линейные операторы (т. е. конечные или бесконечные линейные комбинации операторов рождения и уничтожения) определяются так, что их вакуумное математическое ожидание (VEV) обращается в нуль.

$\langle 0|:L_{1},\cdots L_{m}:|0\rangle =0.$

В частности, для продукта $L_{1}L_{2}$ из пары $(L_{1},L_{2})$ линейных операторов есть

${:L_{1}L_{2}:}=L_{1}L_{2}-\langle 0|L_{1}L_{2}|0\rangle .$

Фермионный заряда оператор $C$ определяется как

$C=\sum _{i\in \mathbf {Z} }:\psi _{i}\psi _{i}^{\dagger }:$

Подпространство ${\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}$ является собственным пространством $C$состоящий из всех собственных векторов с собственным значением $n$

$C|v;n\rangle =n|v;n\rangle ,\quad \forall |v;n\rangle \in {\mathcal {F}}_{n}$.

Стандартный ортонормированный базис $\{|\lambda \rangle \}$ для сектора с нулевым фермионным зарядом ${\mathcal {F}}_{0}$ помечен целочисленными разделами $\lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})$,где $\lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{\ell (\lambda )}$представляет собой слабо убывающую последовательность $\ell (\lambda )$ положительные целые числа, которые эквивалентно могут быть представлены диаграммой Юнга , как показано здесь для разделения $(5,4,1)$.

Диаграмма Юнга разбиения (5, 4, 1)

Альтернативное обозначение раздела $\lambda$ состоит из Фробениуса Индексы $(\alpha _{1},\dots \alpha _{r}|\beta _{1},\dots \beta _{r})$, где $\alpha _{i}$обозначает длину плеча ; то есть число $\lambda _{i}-i$ коробок на диаграмме Юнга справа от $i$диагональный ящик, $\beta _{i}$ обозначает длину участка , т.е. количество ячеек диаграммы Юнга ниже $i$'-й диагональный ящик, для $i=1,\dots ,r$, где $r$ — это ранг Фробениуса , который представляет собой количество элементов вдоль главной диагонали.

Базовый элемент $|\lambda \rangle$ затем дается действием на вакуум произведениемиз $r$ пары операторов рождения и уничтожения, помеченные индексами Фробениуса

$|\lambda \rangle =(-1)^{\sum _{j=1}^{r}\beta _{j}}\prod _{k=1}^{r}{\big (}\psi _{\alpha _{k}}\psi _{-\beta _{k}-1}^{\dagger }{\big )}|0\rangle .$

Целые числа $\{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,r}$ указывают относительно моря Дирака занятые неотрицательные узлы целочисленной решетки, а $\{-\beta _{i}-1\}_{i=1,\dots ,r}$ укажите незанятые отрицательные целочисленные сайты.Соответствующая диаграмма, состоящая из бесконечного числа занятых и незанятых узлов целочисленной решетки, являющихся конечным возмущением моря Дирака, называется диаграммой Майя .

Случай нулевого (пустого) раздела $|\emptyset \rangle =|0\rangle$ дает состояние вакуума и двойственный базис $\{\langle \mu |\}$ определяется

$\langle \mu |\lambda \rangle =\delta _{\lambda ,\mu }$

Любой КП $\tau$-функция может быть выражена в виде суммы

$\tau _{w}(\mathbf {t} )=\sum _{\lambda }\pi _{\lambda }(w)s_{\lambda }(\mathbf {t} ),$ ( 10 )

где $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots ,\dots )$ – переменные потока КП, $s_{\lambda }(\mathbf {t} )$ это функция Шура соответствующий разделу $\lambda$, рассматриваемый как функция нормированных переменных суммы степеней

$t_{i}:=[\mathbf {x} ]_{i}:={\frac {1}{i}}\sum _{a=1}^{n}x_{a}^{i}\quad i=1,2,\dots$

через вспомогательную (конечную или бесконечную) последовательность переменных $\mathbf {x} :=(x_{1},\dots ,x_{N})$ и постоянные коэффициенты $\pi _{\lambda }(w)$ можно рассматривать как Плюкера координаты элемент $w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})$ бесконечномерного грассманиана, состоящего из орбиты, под действием общая линейная группа $\mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})$, подпространства ${\mathcal {H}}_{+}=\mathrm {span} \{e_{-i}\}_{i\in \mathbf {N} }\subset {\mathcal {H}}$ гильбертова пространства ${\mathcal {H}}$.

это соответствует соответствием Бозе-Ферми элементу разложимому В соответствии с

$|\tau _{w}\rangle =\sum _{\lambda }\pi _{\lambda }(w)|\lambda \rangle$

пространства Фока ${\mathcal {F}}_{0}$ который с точностью до проективизации является образом грассманова элемента $w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})$ под Карта Плюкера

${\mathcal {Pl}}:\mathrm {span} (w_{1},w_{2},\dots )\longrightarrow [w_{1}\wedge w_{2}\wedge \cdots ]=[|\tau _{w}\rangle ],$

где $(w_{1},w_{2},\dots )$ является основой подпространства $w\subset {\mathcal {H}}$ и $[\cdots ]$ означает проективизациюэлемент ${\mathcal {F}}$.

Координаты Плюкера $\{\pi _{\lambda }(w)\}$ удовлетворяют бесконечному набору билинейныхотношения, отношения Плюккера , определяющие образ вложения Плюккера в проективизацию $\mathbf {P} ({\mathcal {F}})$ фермионного пространства Фока,которые эквивалентны билинейному соотношению вычетов Хироты ( 1 ).

Если $w=g({\mathcal {H}}_{+})$ для элемента группы $g\in \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})$с фермионным представлением ${\hat {g}}$, тогда $\tau$-функция $\tau _{w}(\mathbf {t} )$ может быть выражено как среднее значение фермионного вакуумного состояния (VEV):

$\tau _{w}(\mathbf {t} )=\langle 0|{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} ){\hat {g}}|0\rangle ,$

где

$\Gamma _{+}=\{{\hat {\gamma }}_{+}(\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}J_{i}}\}\subset \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})$

является абелевой подгруппой группы $\mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})$ который генерирует потоки КП, и

$J_{i}:=\sum _{j\in \mathbf {Z} }\psi _{j}\psi _{j+i}^{\dagger },\quad i=1,2\dots$

являются «текущими» компонентами.

Примеры решений уравнений иерархии КП

Функции Шура

Как видно из уравнения ( 9 ), каждый KP $\tau$-функцию можно представить (по крайней мере формально) как линейную комбинацию функций Шура , в которой коэффициенты $\pi _{\lambda }(w)$ удовлетворять билинейному набору отношений Плакера, соответствующему элементу $w$ бесконечного (или конечного) грассманова многообразия. Фактически, простейший класс (полиномиальных) тау-функций состоит из функций Шура $s_{\lambda }(\mathbf {t} )$ сами по себе, которые соответствуют специальному элементу многообразия Грассмана, образ которого при отображении Плюккера есть $|\lambda >$.

Многосолитонные решения

Если мы выберем $3N$ комплексные константы $\{\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k}\}_{k=1,\dots ,N}$с $\alpha _{k},\beta _{k}$все отчетливо, $\gamma _{k}\neq 0$и определим функции

$y_{k}({\bf {t}}):=e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\alpha _{k}^{i}}+\gamma _{k}e^{\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\beta _{k}^{i}}\quad k=1,\dots ,N,$

мы приходим к формуле определителя Вронского

$\tau _{{\vec {\alpha }},{\vec {\beta }},{\vec {\gamma }}}^{(N)}({\bf {t}}):={\begin{vmatrix}y_{1}({\bf {t}})&y_{2}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}({\bf {t}})\\y_{1}'({\bf {t}})&y_{2}'({\bf {t}})&\cdots &y_{N}'({\bf {t}})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(N-1)}({\bf {t}})&y_{2}^{(N-1)}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}^{(N-1)}({\bf {t}})\\\end{vmatrix}},$

что дает общее $N$-солитон $\tau$-функция.

Решения тета-функции, связанные с алгебраическими кривыми

Позволять $X$ — компактная риманова поверхность рода $g$ и зафиксируем канонический базис гомологии $a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}$из $H_{1}(X,\mathbf {Z} )$ с номерами перекрестков

$a_{i}\circ a_{j}=b_{i}\circ b_{j}=0,\quad a_{i}\circ b_{j}=\delta _{ij},\quad 1\leq i,j\leq g.$

Позволять $\{\omega _{i}\}_{i=1,\dots ,g}$ быть основой пространства $H^{1}(X)$ голоморфных дифференциалов, удовлетворяющих стандартным условиям нормировки

$\oint _{a_{i}}\omega _{j}=\delta _{ij},\quad \oint _{b_{j}}\omega _{j}=B_{ij},$

где $B$ – Римана матрица периодов . Матрица $B$ принадлежит верхнему полупространству Зигеля

$\mathbf {S} _{g}=\left\{B\in \mathrm {Mat} _{g\times g}(\mathbf {C} )\ \colon \ B^{T}=B,\ {\text{Im}}(B){\text{ is positive definite}}\right\}.$

Риман ​ $\theta$ функция включена $\mathbf {C} ^{g}$ соответствующий матрице периодов $B$ определяется как

$\theta (Z|B):=\sum _{N\in \mathbb {Z} ^{g}}e^{i\pi (N,BN)+2i\pi (N,Z)}.$

Выберите точку $p_{\infty }\in X$, локальный параметр $\zeta$ в районе $p_{\infty }$ с $\zeta (p_{\infty })=0$ и положительный делитель степени $g$

${\mathcal {D}}:=\sum _{i=1}^{g}p_{i},\quad p_{i}\in X.$

Для любого положительного целого числа $k\in \mathbf {N} ^{+}$ позволять $\Omega _{k}$ – единственный мероморфный дифференциал второго рода, характеризующийся следующими условиями:

• Единственная особенность $\Omega _{k}$ это полюс порядка $k+1$ в $p=p_{\infty }$ с исчезающим остатком.
• Расширение $\Omega _{k}$ вокруг $p=p_{\infty }$ является

  $\Omega _{k}=d(\zeta ^{-k})+\sum _{j=1}^{\infty }Q_{ij}\zeta ^{j}d\zeta$.

• $\Omega _{k}$ нормируется так, чтобы иметь исчезающее значение $a$-циклы:

  $\oint _{a_{i}}\Omega _{j}=0.$

Обозначим через $\mathbf {U} _{k}\in \mathbf {C} ^{g}$ вектор $b$-циклы $\Omega _{k}$:

$(\mathbf {U} _{k})_{j}:=\oint _{b_{j}}\Omega _{k}.$

Обозначим образ ${\mathcal {D}}$ под Абеля картой ${\mathcal {A}}:{\mathcal {S}}^{g}(X)\to \mathbf {C} ^{g}$

$\mathbf {E} :={\mathcal {A}}({\mathcal {D}})\in \mathbf {C} ^{g},\quad \mathbf {E} _{j}={\mathcal {A}}_{j}({\mathcal {D}}):=\sum _{j=1}^{g}\int _{p_{0}}^{p_{i}}\omega _{j}$

с произвольной базовой точкой $p_{0}$.

Тогда это КП $\tau$-функция:

$\tau _{(X,{\mathcal {D}},p_{\infty },\zeta )}(\mathbf {t} ):=e^{-{1 \over 2}\sum _{ij}Q_{ij}t_{i}t_{j}}\theta \left(\mathbf {E} +\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}\mathbf {U} _{k}{\Big |}B\right)$.

Функции разделения матричной модели как КП $\tau$-функции

Позволять $d\mu _{0}(M)$ — мера Лебега на $N^{2}$ пространственное пространство ${\mathbf {H} }^{N\times N}$ из $N\times N$ комплексные эрмитовые матрицы.Позволять $\rho (M)$ — инвариантная к сопряжению интегрируемая функция плотности

$\rho (UMU^{\dagger })=\rho (M),\quad U\in U(N).$

Определите семейство мер деформации

$d\mu _{N,\rho }(\mathbf {t} ):=e^{{\text{ Tr }}(\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}M^{i})}\rho (M)d\mu _{0}(M)$

для маленьких $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\cdots )$ и пусть

$\tau _{N,\rho }({\bf {t}}):=\int _{{\mathbf {H} }^{N\times N}}d\mu _{N,\rho }({\bf {t}}).$

быть статистической суммой для этой случайной матричной модели . Затем $\tau _{N,\rho }(\mathbf {t} )$ удовлетворяет билинейному уравнению вычетов Хироты ( 1 ) и, следовательно, является $\tau$-функция иерархии КП.

$\tau$-функции гипергеометрического типа. Производящая функция чисел Гурвица

Позволять $\{r_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }$ быть (дважды) бесконечной последовательностью комплексных чисел.Для любого целочисленного раздела $\lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})$ определить содержания продукта коэффициент

$r_{\lambda }:=\prod _{(i,j)\in \lambda }r_{j-i}$,

где произведение находится по всем парам $(i,j)$ натуральных чисел, соответствующих клеткам диаграммы Юнга разбиения $\lambda$, рассматриваемые как позиции матричных элементов соответствующих $\ell (\lambda )\times \lambda _{1}$ матрица.Тогда для каждой пары бесконечных последовательностей $\mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )$ и $\mathbf {s} =(s_{1},s_{2},\dots )$ комплексных переменных, рассматриваемых как (нормализованные) суммы степеней $\mathbf {t} =[\mathbf {x} ],\ \mathbf {s} =[\mathbf {y} ]$бесконечной последовательности вспомогательных переменных

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots )$ и $\mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\dots )$,

определяется:

$t_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{j},\quad s_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{j=1}^{\infty }y_{a}^{j}$,

функция

$\tau ^{r}(\mathbf {t} ,\mathbf {s} ):=\sum _{\lambda }r_{\lambda }s_{\lambda }(\mathbf {t} )s_{\lambda }(\mathbf {s} )$ ( 11 )

это двойной КП $\tau$-функция, как в $\mathbf {t}$ и $\mathbf {s}$ переменные, известные как $\tau$-функция гипергеометрического типа .

В частности, выбирая

$r_{j}=r_{j}^{\beta }:=e^{j\beta }$

для некоторого небольшого параметра $\beta$, обозначая соответствующий коэффициент продукта контента как $r_{\lambda }^{\beta }$и настройка

$\mathbf {s} =(1,0,\dots )=:\mathbf {t} _{0}$,

полученный $\tau$-функция может быть эквивалентно расширена как

$\tau ^{r^{\beta }}(\mathbf {t} ,\mathbf {t} _{0})=\sum _{\lambda }\sum _{d=0}^{\infty }{\frac {\beta ^{d}}{d!}}H_{d}(\lambda )p_{\lambda }(\mathbf {t} ),$ ( 12 )

где $\{H_{d}(\lambda )\}$ — простые числа Гурвица , которые ${\frac {1}{n!}}$ раз количество способов, которыми элемент $k_{\lambda }\in {\mathcal {S}}_{n}$ симметрической группы ${\mathcal {S}}_{n}$ в $n=|\lambda |$ элементы с длинами циклов, равными частям разбиения $\lambda$, можно факторизовать как произведение $d$ $2$-циклы

$k_{\lambda }=(a_{1}b_{1})\dots (a_{d}b_{d})$,

и

$p_{\lambda }(\mathbf {t} )=\prod _{i=1}^{\ell (\lambda )}p_{\lambda _{i}}(\mathbf {t} ),\ {\text{with}}\ p_{i}(\mathbf {t} ):=\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{i}=it_{i}$

– симметричная функция суммы степеней. Таким образом, уравнение ( 12 ) показывает, что (формальный) гипергеометрический КП $\tau$-функция ( 11 ), соответствующая коэффициентам произведения содержания $r_{\lambda }^{\beta }$ является производящей функцией в комбинаторном смысле для простых чисел Гурвица.

Библиография

• Дики, Л.А. (2003), Солитонные уравнения и гамильтоновы системы , Серия расширенных исследований по математической физике, том. 26, World Scientific Publishing Co., Inc., Ривер-Эдж, Нью-Джерси, 2-е изд., doi : 10.1142/5108 , ISBN  9789810202156
• Харнад, Дж . ; Балог, Ф. (2021), Тау-функции и их приложения , Кембриджские монографии по математической физике, издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, doi : 10.1017/9781108610902 , ISBN  9781108610902 , S2CID   222379146
• Хирота, Р. (2004), Нагаи, Ацуши; Ниммо, Джон; Гилсон, Клэр (ред.), «Прямой метод в теории солитонов», Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания , Cambridge Tracts in Mathematics, 155 , doi : 10.1017/CBO9780511543043 , ISBN  9780511543043
• Джимбо, М .; Мива, Т. (1999), Солитоны: дифференциальные уравнения, симметрии и бесконечномерные алгебры , Кембриджские трактаты по математике, том. 135, Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, ISBN  9780521561617
• Кодама, Ю. (2017), КП Солитоны и грассманианы: комбинаторика и геометрия двумерных волновых моделей , Springer Briefs in Mathematical Physics, vol. 22, Бибкод : 2017ksgc.book.....K , doi : 10.1007/978-981-10-4094-8 , ISBN  978-981-10-4094-8