Изомонодромная деформация

В математике уравнения, управляющие изомонодромной деформацией мероморфных обыкновенных линейных систем дифференциальных уравнений , являются в достаточно точном смысле наиболее фундаментальными точными нелинейными дифференциальными уравнениями. В результате их решения и свойства лежат в основе области точной нелинейности и интегрируемых систем .

Изомонодромные деформации были впервые изучены Рихардом Фуксом , с ранними новаторскими вкладами Лазаря Фукса , Поля Пенлеве , Рене Гарнье и Людвига Шлезингера . Вдохновленный результатами статистической механики , плодотворный вклад в теорию внесли Мичио Джимбо , Тецудзи Мива и Кимио Уэно , которые изучали случаи, связанные с нерегулярными особенностями.

Фуксовы системы и уравнения Шлезингера

Фуксова система

Фуксова система — это система линейных дифференциальных уравнений

${\frac {dy}{dx}}=A(x)y=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{x-\lambda _{i}}}y$

где x принимает значения на комплексной проективной прямой $\mathbb {CP} ^{1}$, y принимает значения в $\mathbb {C} ^{n}$ и A _i — постоянные матрицы размера n × n . Решения этого уравнения имеют полиномиальный рост в пределе x = λ _i . Поместив n решений независимых столбцов в фундаментальную матрицу $Y=(y_{1},...,y_{n})$ затем ${\frac {dY}{dx}}=AY$ и можно рассматривать $Y$ как принятие значений в $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$. Для простоты предположим, что на бесконечности нет дальнейшего полюса, что равносильно условию, что $\sum _{i=1}^{n}A_{i}=0.$

Данные монодромии

Теперь зафиксируйте базовую точку b на сфере Римана вдали от полюсов . Аналитическое продолжение фундаментального решения $Y_{1}$ вокруг любого полюса λ _i и обратно к базовой точке даст новое решение $Y_{2}$ определено рядом с b . Новое и старое решения связаны матрицей M монодромии i _{следующим} образом:

$Y_{2}=Y_{1}M_{i}.$

Таким образом, существует Римана–Гильберта гомоморфизм фундаментальной группы проколотой сферы в представление монодромии:

$\pi _{1}\left(\mathbb {CP} ^{1}-\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\}\right)\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ).$

Изменение базовой точки просто приводит к (одновременному) сопряжению всех матриц монодромии. Матрицы монодромии по модулю сопряжения определяют данные монодромии фуксовой системы.

Двадцать первая проблема Гильберта

Теперь, имея данные о монодромии, можно ли найти фуксову систему, проявляющую эту монодромию? Это одна из форм двадцать первой проблемы Гильберта . Не различают координаты x и ${\hat {x}}$ которые связаны преобразованиями Мёбиуса , а также не различают калибровочно-эквивалентные фуксовы системы — это означает, что A и

$g^{-1}(x)Ag(x)-g^{-1}(x){\frac {dg(x)}{dx}}$

считаются эквивалентными для любого голоморфного калибровочного преобразования g ( x ). (Таким образом, наиболее естественно рассматривать фуксову систему геометрически как соединение с простыми полюсами на тривиальном ранга n векторном расслоении над сферой Римана).

Для общих данных монодромии ответ на двадцать первую проблему Гильберта — «да». Первое доказательство дал Иосип Племель . показал, Однако доказательство справедливо только для общих данных, и в 1989 году Андрей Болибрух что существуют определенные «вырожденные» случаи, когда ответ «нет». Здесь полностью сосредоточен общий случай.

Уравнения Шлезингера

В общем случае существует множество фуксовых систем с одинаковыми данными монодромии. Таким образом, по любой такой фуксовой системе с заданными данными монодромии изомонодромные деформации из нее можно выполнить . Поэтому приходится изучать семейства фуксовых систем, где матрицы Ai _{зависят} от положения полюсов.

В 1912 году Людвиг Шлезингер доказал, что в целом деформации, сохраняющие данные монодромии общей фуксовой системы, определяются интегрируемой голономной системой уравнений в частных производных , которая теперь носит его имя:

${\begin{aligned}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}&={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i\\{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{i}}}&=-\sum _{j\neq i}{\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}.\end{aligned}}$

Последнее уравнение часто записывается эквивалентно как $\sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.$

Это уравнения изомонодромии для фуксовых систем общего положения. Естественная интерпретация этих уравнений - это плоскость естественной связи на векторном расслоении над «пространством параметров деформации», которое состоит из возможных положений полюсов. Для нетиповых изомонодромных деформаций все еще будет интегрируемое уравнение изомонодромии, но оно уже не будет Шлезингером.

Если ограничить внимание случаем, когда A _i принимают значения в алгебре Ли ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$, интегрируемые системы Гарнье получены . Если специализироваться дальше на случае, когда полюсов всего четыре, то уравнения Шлезингера/Гарнье можно свести к знаменитому шестому уравнению Пенлеве .

Нерегулярные особенности

Вдохновленные появлением трансцендентов Пенлеве в корреляционных функциях в теории бозе-газов , Мичио Джимбо, Тецудзи Мива и Кимио Уэно распространили понятие изомонодромной деформации на случай нерегулярных особенностей с полюсами любого порядка при следующем предположении: старший коэффициент в каждом полюсе является общей, т. е. представляет собой диагонализуемую матрицу с простым спектром.

Исследуемая линейная система теперь имеет вид

${\frac {dY}{dx}}=AY=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{r_{i}+1}{\frac {A_{j}^{(i)}}{(x-\lambda _{i})^{j}}}Y,$

с n полюсами, с полюсом в λ _i порядка $(r_{i}+1)$. $A_{j}^{(i)}$ являются постоянными матрицами (и $A_{r_{i+1}}^{(i)}$ является общим для $i=1,\dotsc ,n$).

Расширенные данные монодромии

Помимо представления монодромии, описанного в фуксовой постановке, для сохранения расширенной данных монодромии необходимы деформации нерегулярных систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Грубо говоря, данные монодромии теперь рассматриваются как данные, склеивающие канонические решения вблизи особенностей. Если взять $x_{i}=x-\lambda _{i}$ как локальная координата вблизи полюса _i порядка λ $r_{i}+1$затем можно почленно решить голоморфное калибровочное преобразование g такое, что локально система будет выглядеть как

${\frac {d(g_{i}^{-1}Z_{i})}{dx_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {(-j)T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j+1}}}+{\frac {M^{(i)}}{x_{i}}}\right)(g_{i}^{-1}Z_{i})$

где $M^{(i)}$ и $T_{j}^{(i)}$ являются диагональными матрицами. Если бы это было действительно, это было бы чрезвычайно полезно, потому что тогда (по крайней мере локально) система разделялась на n скалярных дифференциальных уравнений, которые можно было бы легко решить, чтобы найти это (локально):

$Z_{i}=g_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).$

Однако это не работает - потому что ряд почленно решенный степенной для g , вообще говоря, не сходится.

Джимбо, Мива и Уэно показали, что этот подход, тем не менее, обеспечивает канонические решения вблизи особенностей и, следовательно, может использоваться для определения данных расширенной монодромии. Это связано с теоремой Джорджа Биркгофа. который утверждает, что для такого формального ряда существует единственная сходящаяся функция G _i такая, что в любом достаточно большом секторе полюса, G _i асимптотичен для вокруг gi _и ,

$Y=G_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).$

является истинным решением дифференциального уравнения. Таким образом, в каждом таком секторе вблизи каждого полюса появляется каноническое решение. Расширенные данные монодромии состоят из

• данные представления монодромии как для фуксового случая;
• Матрицы Стокса , соединяющие канонические решения между соседними секторами на одном полюсе;
• матрицы связей, соединяющие канонические решения между секторами на разных полюсах.

Изомонодромные деформации Джимбо-Мива-Уэно

Как и раньше, теперь рассматриваются семейства систем линейных дифференциальных уравнений с одинаковой (общей) структурой особенностей. Таким образом, можно использовать матрицы $A_{j}^{(i)}$ зависеть от параметров. Разрешается варьировать положения полюсов λ _i , но теперь, кроме того, варьируются и элементы диагональных матриц $T_{j}^{(i)}$ которые появляются в каноническом решении вблизи каждого полюса.

Джимбо, Мива и Уэно доказали, что если определить единую форму в «пространстве параметров деформации» с помощью

$\Omega =\sum _{i=1}^{n}\left(Ad\lambda _{i}-g_{i}D\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}T_{j}^{(i)}\right)g_{i}^{-1}\right)$

(где D обозначает внешнее дифференцирование по компонентам $T_{j}^{(i)}$ только)

тогда деформации мероморфной линейной системы, заданные A, изомонодромны тогда и только тогда, когда

$dA+[\Omega ,A]+{\frac {d\Omega }{dx}}=0.$

Это уравнения изомонодромии Джимбо-Мива-Уэно . Как и раньше, эти уравнения можно интерпретировать как плоскостность естественной связи в пространстве параметров деформации.

Характеристики

Уравнения изомонодромии обладают рядом свойств, обосновывающих их статус нелинейных специальных функций .

недвижимость в Пенлеве

Это, пожалуй, самое важное свойство решения уравнений изомонодромной деформации. Это означает, что все существенные особенности решений зафиксированы, хотя положения полюсов могут перемещаться. Это было доказано Бернаром Мальгранжем для случая фуксовых систем и Тецудзи Мива в общей ситуации.

Действительно, предположим, что дано уравнение в частных производных (или их систему). Тогда «обладание редукцией к уравнению изомонодромии» более или менее эквивалентно свойству Пенлеве и, следовательно, может использоваться в качестве критерия интегрируемости .

трансцендентность

В общем, решения уравнений изомонодромии не могут быть выражены через более простые функции, такие как решения линейных дифференциальных уравнений. Однако для конкретного (точнее, приводимого) выбора данных расширенной монодромии решения могут быть выражены через такие функции (или, по крайней мере, через «более простые» трансценденты изомонодромии). Исследование того, что именно означает эта трансцендентность, во многом было осуществлено благодаря изобретению «нелинейной дифференциальной теории Галуа » Хироши Умемурой и Бернаром Мальгранжем .

Существуют также совершенно специальные решения, которые являются алгебраическими . Исследование таких алгебраических решений предполагает изучение топологии пространства параметров деформации (и, в частности, группы классов его отображений ); для случая простых полюсов это сводится к изучению действия групп кос . В особенно важном случае шестого уравнения Пенлеве заметный вклад внесли Борис Дубровин и Марта Маццокко , который недавно был распространен на более крупные классы данных монодромии Филипом Боалчем .

Рациональные решения часто связаны со специальными полиномами. Иногда, как в случае с шестым уравнением Пенлеве, это известные ортогональные многочлены , но появляются новые классы многочленов с чрезвычайно интересным распределением нулей и свойствами переплетения. Исследование таких полиномов в основном проводилось Питером Кларксоном и его сотрудниками.

Симплектическая структура

Уравнения изомонодромии можно переписать, используя гамильтоновы формулировки. Эту точку зрения активно развивал Кадзуо Окамото в серии статей по уравнениям Пенлеве в 1980-х годах.

Их также можно рассматривать как естественное расширение симплектической структуры Атьи-Ботта на пространствах плоских связностей на римановых поверхностях в мир мероморфной геометрии - точка зрения, которую придерживается Филип Боалч. Действительно, если зафиксировать положения полюсов, можно даже получить полные гиперкелеровые многообразия ; результат доказан Оливье Бикаром и Филипом Боалчем.

Существует другое описание в терминах отображений моментов (центральных расширений) петлевых алгебр — точка зрения, предложенная Джоном Харнадом и расширенная на случай общей структуры сингулярностей Ником Вудхаусом . Эта последняя точка зрения тесно связана с любопытным преобразованием Лапласа между уравнениями изомонодромии с различной полюсной структурой и рангом основных уравнений.

Твисторная структура

Уравнения изомонодромии возникают как (общие) полномерные сокращения (обобщенных) антиавтодуальных уравнений Янга – Миллса . Поэтому с помощью преобразования Пенроуза-Уорда их можно интерпретировать в терминах голоморфных векторных расслоений на комплексных многообразиях, называемых твисторными пространствами . Это позволяет использовать мощные методы алгебраической геометрии при изучении свойств трансцендентов. Этого подхода придерживались Найджел Хитчин , Лайонел Мейсон и Ник Вудхаус .

Соединения Гаусса-Манина

Рассматривая данные, связанные с семействами римановых поверхностей, разветвленных по особенностям, можно рассматривать уравнения изомонодромии как неоднородные связности Гаусса–Манина . Это приводит к альтернативному описанию уравнений изомонодромии в терминах абелевых функций - подходу, известному Фуксу и Пенлеве, но утраченному до повторного открытия Юрием Маниным в 1996 году.

Асимптотика

Конкретные трансценденты можно охарактеризовать своим асимптотическим поведением. Изучение такого поведения восходит к заре изомонодромии в работах Пьера Бутру и других.

Приложения

Их универсальность как некоторых из простейших нелинейных интегрируемых систем означает, что уравнения изомонодромии имеют разнообразный диапазон приложений. Вероятно, наибольшее практическое значение имеет теория случайных матриц . Здесь статистические свойства собственных значений больших случайных матриц описываются конкретными трансцендентами.

Первоначальным толчком к возрождению интереса к изомонодромии в 1970-х годах стало появление трансцендентов в корреляционных функциях в бозе-газах .

Они обеспечивают производящие функции для пространств модулей двумерных топологических квантовых теорий поля и поэтому полезны при изучении квантовых когомологий и инвариантов Громова – Виттена .

Уравнения изомонодромии «высшего порядка» недавно были использованы для объяснения механизма и свойств универсальности образования ударной волны для бездисперсионного предела уравнения Кортевега – де Фриза .

Они являются естественным сокращением уравнения Эрнста и тем самым обеспечивают решения уравнений поля Эйнштейна общей теории относительности; они также приводят к другим (совершенно отличным) решениям уравнений Эйнштейна в терминах тэта-функций .

Они возникли в недавних работах по зеркальной симметрии — как в геометрической программе Ленглендса , так и в работах над пространствами модулей условий устойчивости производных категорий .

Обобщения

Уравнения изомонодромии обобщены для мероморфных связностей на общей римановой поверхности .

Их также можно легко адаптировать для принятия значений в любой группе Ли , заменив диагональные матрицы максимальным тором и других подобных модификаций.

Существует растущая область изучения дискретных версий уравнений изомонодромии.

Ссылки

Источники

• Его, Александр Р.; Новокшенов Виктор Юрьевич. (1986), Метод изомонодромной деформации в теории уравнений Пенлеве , Конспект лекций по математике, вып. 1191, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16483-8 , МР   0851569
• Саббах, Клод (2007), Изомонодромные деформации и многообразия Фробениуса , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-1-84800-053-7 , ISBN   978-2-7598-0047-6 МР 1933784