Основная сингулярность

Для основных особенностей реальных ценных функций см. Классификацию разрывов .

График функции exp (1/ z ) , сосредоточенный на основной сингулярности при z = 0 . Оттенок представляет сложный аргумент , яркости представляет собой абсолютное значение . Этот сюжет показывает, как приближается к основной сингулярности с разных направлений, дает различные поведения (в отличие от полюса, который, приближающийся с любого направления, был бы равномерно белым).

Модель, иллюстрирующая существенную сингулярность сложной функции 6 W = exp (1/(6 Z ))

В сложном анализе важной особенностью функции , является «сильная» сингулярность рядом с которой функция демонстрирует поразительное поведение.

Категория Essential Singularity представляет собой «оставшуюся часть» или группу по умолчанию изолированных сингулярностей , которые особенно неуправляют: по определению они не вписываются ни в одну из двух других категорий сингулярности, с которыми можно рассматривать в некотором смысле- съемные особенности и поляки . На практике некоторые Включите также неизолированные особенности; У них нет остатка .

Формальное описание

Рассмотрим открытое подмножество $U$ сложной плоскости $\mathbb {C}$Полем Позволять $a$ быть элементом $U$, и $f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ Голоморфная функция . Точка $a$ называется важной особенностью функции $f$ Если сингулярность не является ни шестой , ни съемной сингулярностью .

Например, функция $f(z)=e^{1/z}$ имеет важную сингулярность в $z=0$.

Альтернативные описания

Позволять $a$ быть сложным числом и предположим, что $f(z)$ не определяется на $a$ но аналитический в некотором регионе $U$ сложного плоскости, и в открытом районе каждом $a$ имеет непустые перекрестки с $U$.

Если оба $\lim _{z\to a}f(z)$ и $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ существует тогда $a$ является съемной сингулярностью обоих $f$ и ${\frac {1}{f}}$.

Если $\lim _{z\to a}f(z)$ существует, но $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ не существует (на самом деле $\lim _{z\to a}|1/f(z)|=\infty$), затем $a$ это ноль ​ $f$ и полюс ​ ${\frac {1}{f}}$.

Точно так же, если $\lim _{z\to a}f(z)$ не существует (на самом деле $\lim _{z\to a}|f(z)|=\infty$) но $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ существует тогда $a$ это столб ​ $f$ И ноль ​ ${\frac {1}{f}}$.

Если ни один $\lim _{z\to a}f(z)$ ни $\lim _{z\to a}{\frac {1}{f(z)}}$ существует тогда $a$ является важной сингулярностью обоих $f$ и ${\frac {1}{f}}$.

Другой способ охарактеризовать существенную сингулярность - это то, что Laurent серия $f$ в точке $a$ имеет бесконечно много негативных условий (т.е. основной частью серии Laurent является бесконечная сумма). Связанное определение заключается в том, что если есть точка $a$ для которого нет производного $f(z)(z-a)^{n}$ сходится к пределу как $z$ имеет тенденцию $a$, затем $a$ является важной сингулярностью $f$.

На сфере Римана с точкой бесконечности , $\infty _{\mathbb {C} }$, функция ${f(z)}$ имеет важную сингулярность в этот момент, когда и только тогда ${f(1/z)}$ имеет важную сингулярность в 0: т.е. $\lim _{z\to 0}{f(1/z)}$ ни $\lim _{z\to 0}{\frac {1}{f(1/z)}}$ существует. Функция Riemann Zeta в сфере Riemann имеет только одну важную сингулярность, в $\infty _{\mathbb {C} }$. Действительно, каждая мероморфная которая не является рациональной функцией функция в стороне , $\infty _{\mathbb {C} }$.

Поведение голоморфных функций вблизи их основных сингулярностей описывается теоремой Casorati -Wierstrass и значительно более сильной великой теоремой Пикарда . Последний говорит, что в каждом районе существенной сингулярности $a$, функция $f$ берет на себя каждую сложную ценность, за исключением, возможно, одного, бесконечно много раз. (Исключение необходимо; например, функция $\exp(1/z)$ никогда не берет на себя значение 0.)

Ссылки

• Ларс В. Альфорс; Сложный анализ , McGraw-Hill, 1979
• Раджендра Кумар Джайн, SRK Iyengar; Усовершенствованная инженерная математика . Страница 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN   1-84265-185-4

Внешние ссылки

• Основная сингулярность Стивена Вольфрама , проекта Demancation Wolfram .
• Основная сингулярность на планете математике