Матрица взаимной корреляции

Матрица взаимной корреляции двух случайных векторов представляет собой матрицу, содержащую в качестве элементов взаимные корреляции всех пар элементов случайных векторов. Матрица взаимной корреляции используется в различных алгоритмах цифровой обработки сигналов.

Определение [ править ]

Для двух случайных векторов $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}$ и $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}$ , каждый из которых содержит случайные элементы которых , ожидаемое значение и дисперсия существуют, матрицу взаимной корреляции $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ определяется ^[1]^{: стр.337}

$\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]$

и имеет размеры $m\times n$ . Написано покомпонентно:

\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}

Случайные векторы $\mathbf {X}$ и $\mathbf {Y}$ не обязательно должны иметь одинаковую размерность, и любое из них может быть скалярным значением.

Пример [ править ]

Например, если $\mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}$ и $\mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}$ являются случайными векторами, то $\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }$ это $3\times 2$ матрица, чья $(i,j)$ -я запись $\operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]$ .

Сложные случайные векторы [ править ]

Если $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}$ и $\mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}$ представляют собой комплексные случайные векторы , каждый из которых содержит случайные переменные, ожидаемое значение и дисперсия которых существуют, матрицу взаимной корреляции $\mathbf {Z}$ и $\mathbf {W}$ определяется

\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]

где ${}^{\rm {H}}$ обозначает эрмитово транспонирование .

Некоррелированность [ править ]

Два случайных вектора $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}$ и $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}$ называются некоррелированными, если

\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.

Они некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица взаимной ковариации $\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }$ матрица равна нулю.

В случае двух комплексных случайных векторов $\mathbf {Z}$ и $\mathbf {W}$ они называются некоррелированными, если

\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}

и

\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.

Свойства [ править ]

Связь с матрицей перекрестной ковариации [ править ]

Взаимная корреляция связана с матрицей взаимной ковариации следующим образом:

\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}

Соответственно для сложных случайных векторов:

\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и вычислительных машин . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86470-1 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Хейс, Монсон Х., Статистическая цифровая обработка сигналов и моделирование , John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8 .
Соломон В. Голомб и Гуан Гун. Проектирование сигналов для хорошей корреляции: для беспроводной связи, криптографии и радаров . Издательство Кембриджского университета, 2005.
М. Солтаналян. Проектирование сигналов для активного зондирования и связи . Упсальские диссертации факультета науки и технологий (напечатано Elanders Sverige AB), 2014 г.

[Gubner-1] Губнер, Джон А. (2006). Вероятность и случайные процессы для инженеров-электриков и вычислительных машин . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86470-1 .

[1]