Автоковариация

В теории вероятностей и статистике для случайного процесса автоковариация — это функция, которая определяет ковариацию процесса с самим собой в парах моментов времени. Автоковариация тесно связана с автокорреляцией рассматриваемого процесса.

Автоковариация случайных процессов

Определение

С обычными обозначениями $\operatorname {E}$ для оператора ожидания , если случайный процесс $\left\{X_{t}\right\}$ имеет среднюю функцию $\mu _{t}=\operatorname {E} [X_{t}]$, то автоковариация определяется выражением

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} \left[X_{t_{1}},X_{t_{2}}\right]=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}X_{t_{2}}]-\mu _{t_{1}}\mu _{t_{2}}$ ( Уравнение 1 )

где $t_{1}$ и $t_{2}$ это два момента во времени.

Определение слабостационарного процесса

Если $\left\{X_{t}\right\}$ является слабостационарным (СВС) процессом , то справедливы следующие условия:

$\mu _{t_{1}}=\mu _{t_{2}}\triangleq \mu$ для всех $t_{1},t_{2}$

и

$\operatorname {E} [|X_{t}|^{2}]<\infty$ для всех $t$

и

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1},0)\triangleq \operatorname {K} _{XX}(t_{2}-t_{1})=\operatorname {K} _{XX}(\tau ),$

где $\tau =t_{2}-t_{1}$ это время задержки или количество времени, на которое сигнал был сдвинут.

Таким образом, функция автоковариации процесса WSS определяется следующим образом:

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{t})(X_{t-\tau }-\mu _{t-\tau })]=\operatorname {E} [X_{t}X_{t-\tau }]-\mu _{t}\mu _{t-\tau }$ ( Уравнение 2 )

что эквивалентно

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{t+\tau })(X_{t}-\mu _{t})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau }X_{t}]-\mu ^{2}$.

Нормализация

) обычной практикой является В некоторых дисциплинах (например, в статистике и анализе временных рядов нормализация автоковариационной функции для получения зависящего от времени коэффициента корреляции Пирсона . Однако в других дисциплинах (например, инженерных) от нормализации обычно отказываются и термины «автокорреляция» и «автоковариация» используются как синонимы.

Определение нормированной автокорреляции случайного процесса:

$\rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}})(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}$.

Если функция $\rho _{XX}$ четко определен, его значение должно лежать в диапазоне $[-1,1]$, где 1 указывает на идеальную корреляцию, а −1 указывает на идеальную антикорреляцию .

Для процесса WSS определение следующее:

$\rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} [(X_{t}-\mu )(X_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}$.

где

$\operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}$.

Характеристики

Свойство симметрии

$\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {K} _{XX}(t_{2},t_{1})}}$

соответственно для процесса WSS:

$\operatorname {K} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {K} _{XX}(-\tau )}}$

Линейная фильтрация

Автоковариация процесса с линейной фильтрацией $\left\{Y_{t}\right\}$

$Y_{t}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}X_{t+k}\,$

является

$K_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\infty }^{\infty }a_{k}a_{l}K_{XX}(\tau +k-l).\,$

Расчет турбулентной диффузии

Автоковариация может использоваться для расчета турбулентного коэффициента диффузии . Турбулентность потока может вызывать колебания скорости в пространстве и времени. Таким образом, мы можем идентифицировать турбулентность через статистику этих колебаний. .

Разложение Рейнольдса используется для определения флуктуаций скорости. $u'(x,t)$ (предположим, что мы сейчас работаем с 1D-задачой и $U(x,t)$ это скорость вдоль $x$ направление):

$U(x,t)=\langle U(x,t)\rangle +u'(x,t),$

где $U(x,t)$ истинная скорость, а $\langle U(x,t)\rangle$ — ожидаемое значение скорости . Если мы выберем правильный $\langle U(x,t)\rangle$, все стохастические компоненты турбулентной скорости будут включены в $u'(x,t)$. Чтобы определить $\langle U(x,t)\rangle$, требуется набор измерений скорости, собранных из точек пространства, моментов времени или повторных экспериментов.

Если предположить турбулентный поток $\langle u'c'\rangle$ ( $c'=c-\langle c\rangle$, а c — член концентрации) может быть вызвано случайным блужданием, мы можем использовать законы диффузии Фика для выражения члена турбулентного потока:

$J_{{\text{turbulence}}_{x}}=\langle u'c'\rangle \approx D_{T_{x}}{\frac {\partial \langle c\rangle }{\partial x}}.$

Автоковариация скорости определяется как

$K_{XX}\equiv \langle u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\rangle$ или $K_{XX}\equiv \langle u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\rangle ,$

где $\tau$ это время задержки, и $r$ это расстояние задержки.

Турбулентная диффузия $D_{T_{x}}$ можно рассчитать, используя следующие 3 метода:

1. Если у нас есть данные о скорости вдоль лагранжевой траектории :

   $D_{T_{x}}=\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$

2. Если у нас есть данные о скорости в одном фиксированном ( эйлеровом ) месте :
   $D_{T_{x}}\approx [0.3\pm 0.1]\left[{\frac {\langle u'u'\rangle +\langle u\rangle ^{2}}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{\tau }^{\infty }u'(t_{0})u'(t_{0}+\tau )\,d\tau .$
3. Если у нас есть информация о скорости в двух фиксированных (эйлеровых) точках :
   $D_{T_{x}}\approx [0.4\pm 0.1]\left[{\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right]\int _{r}^{\infty }u'(x_{0})u'(x_{0}+r)\,dr,$
   где $r$ — это расстояние, разделяемое этими двумя фиксированными точками.

Автоковариация случайных векторов

Основная статья: Матрица автоковариации

См. также

• Авторегрессионный процесс
• Корреляция
• Перекрестная ковариация
• Взаимная корреляция
• Оценка ковариации шума (как пример применения)

Дальнейшее чтение

• Хоэл, П.Г. (1984). Математическая статистика (Пятое изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN  978-0-471-89045-4 .
• Конспекты лекций по автоковариации от WHOI