Трансценденты Пенлеве

В математике трансценденты Пенлеве — это решения некоторых нелинейных второго порядка обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной плоскости со свойством Пенлеве (единственными подвижными особенностями являются полюса), но которые, вообще говоря, не разрешимы в терминах элементарных функций . Они были обнаружены Эмиль Пикард ( 1889 ), Поль Пенлеве ( 1900 , 1902 ), Ричард Фукс ( 1905 ) и Бертран Гамбье ( 1910 ).

История

Трансценденты Пенлеве возникают при изучении специальных функций , которые часто возникают как решения дифференциальных уравнений, а также при изучении изомонодромных деформаций линейных дифференциальных уравнений. Одним из наиболее полезных классов специальных функций являются эллиптические функции . Они определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, особенности которых обладают свойством Пенлеве : единственными подвижными особенностями являются полюса . Это свойство редко встречается в нелинейных уравнениях. Пуанкаре и Л. Фукс показали, что любое уравнение первого порядка со свойством Пенлеве можно преобразовать в эллиптическое уравнение Вейерштрасса или уравнение Риккати , которые все можно решить явно с помощью интегрирования и ранее известных специальных функций. Эмиль Пикард отметил, что при порядках выше 1 могут возникать подвижные существенные особенности, и нашел частный случай того, что позже было названо уравнением Пенлеве VI (см. Ниже). (Для порядков больше 2 решения могут иметь движущиеся естественные границы.) Около 1900 года Поль Пенлеве изучал дифференциальные уравнения второго порядка без подвижных особенностей. Он обнаружил, что с точностью до некоторых преобразований каждое такое уравнение вида

$y^{\prime \prime }=R(y^{\prime },y,t)$

(с $R$ рациональная функция) может быть приведена в одну из пятидесяти канонических форм (перечисленных в ( Ince 1956 )). Пенлеве ( 1900 , 1902 ) обнаружил, что сорок четыре из пятидесяти уравнений сократимы в том смысле, что их можно решить в терминах ранее известных функций, и остается только шесть уравнений, требующих введения новых специальных функций для их решения. Были некоторые вычислительные ошибки, в результате чего он пропустил три уравнения, включая общую форму Пенлеве VI. Ошибки были исправлены, а классификацию завершил ученик Пенлеве Бертран Гамбье . Независимо от Пенлеве и Гамбье уравнение Пенлеве VI было найдено Рихардом Фуксом из совершенно других соображений: он изучал изомонодромные деформации линейных дифференциальных уравнений с регулярными особенностями . В течение многих лет было спорной открытой проблемой показать, что эти шесть уравнений действительно неприводимы для общих значений параметров (их иногда можно привести для специальных значений параметров; см. ниже), но это было наконец доказано Нисиока (1988) и Хироши Умемура ( 1989 ). Эти шесть нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка называются уравнениями Пенлеве, а их решения — трансцендентами Пенлеве.

Самая общая форма шестого уравнения была упущена Пенлеве, но была открыта в 1905 году Рихардом Фуксом (сыном Лазаря Фукса ) как дифференциальное уравнение, удовлетворяющее особенности фуксова уравнения второго порядка с 4 регулярными особыми точками на проективе. линия $\mathbf {P} ^{1}$ при деформациях, сохраняющих монодромию . Он был добавлен в список Пенлеве Гамбье ( 1910 ).

Шази ( 1910 , 1911 ) пытался распространить работу Пенлеве на уравнения высшего порядка, обнаружив некоторые уравнения третьего порядка со свойством Пенлеве.

Список уравнений Пенлеве

Эти шесть уравнений, традиционно называемых Пенлеве I–VI, выглядят следующим образом:

• Я (Пенлеве):

  ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+t$

• II (Пенлеве):

  ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+\alpha$

• III (Пенлеве):

  ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {1}{t}}(\alpha y^{2}+\beta )+\gamma y^{3}+{\frac {\delta }{y}}$

• IV (Гамбье):

  ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+{\tfrac {3}{2}}y^{3}+4ty^{2}+2(t^{2}-\alpha )y+{\frac {\beta }{y}}$

• В (Гамбье):

  ${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {(y-1)^{2}}{t^{2}}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma {\frac {y}{t}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}\\\end{aligned}}$

• VI (Р. Фукс):

  ${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left\{\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right\}\\\end{aligned}}$

Числа $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ являются комплексными константами. Путем изменения масштаба $y$ и $t$ можно выбрать два параметра для типа III и один из параметров для типа V, поэтому эти типы действительно имеют только 2 и 3 независимых параметра.

Особенности

Особенности решений этих уравнений:

• Суть $\infty$, и
• Точка 0 для типов III, V и VI, а
• Точка 1 для типа VI, а
• Возможно, несколько подвижных столбов.

Для типа I особенности представляют собой (подвижные) двойные полюса вычета 0, и все решения имеют бесконечное число таких полюсов в комплексной плоскости. Функции с двойным полюсом в $z_{0}$ иметь расширение ряда Лорана

$(z-z_{0})^{-2}-{\frac {z_{0}}{10}}(z-z_{0})^{2}-{\frac {1}{6}}(z-z_{0})^{3}+h(z-z_{0})^{4}+{\frac {z_{0}^{2}}{300}}(z-z_{0})^{6}+\cdots$

сходящиеся в каком-то районе $z_{0}$ (где $h$ какое-то комплексное число). Расположение полюсов подробно описано (Boutroux 1913 , 1914 ). Число полюсов в шаре радиуса $R$ растет примерно как в постоянное время $R^{5/2}$.

Для типа II все особенности представляют собой (подвижные) простые полюса.

Вырождения

Первые пять уравнений Пенлеве являются вырождениями шестого уравнения. Точнее, некоторые уравнения являются вырождениями других согласно следующей схеме (см. Кларксон (2006) Гаусса , стр. 380), которая также дает соответствующие вырождения гипергеометрической функции (см. Кларксон (2006) , стр. 372)

				III Бессель
			$\nearrow$		$\searrow$
В.И. Гаусс	→	V Kummer				II Эйри	→	Я Нет
			$\searrow$		$\nearrow$
				IV Эрмит-Вебер

гамильтоновы системы

Все уравнения Пенлеве можно представить в виде гамильтоновых систем .

Пример: если мы положим

$\displaystyle q=y,\quad p=y^{\prime }+y^{2}+t/2$

то второе уравнение Пенлеве

$\displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2$

эквивалентна гамильтоновой системе

$\displaystyle q^{\prime }={\frac {\partial H}{\partial p}}=p-q^{2}-t/2$

$\displaystyle p^{\prime }=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=2pq+b$

для гамильтониана

$\displaystyle H=p(p-2q^{2}-t)/2-bq.$

Симметрии

— Преобразование Беклунда это преобразование зависимых и независимых переменных дифференциального уравнения, которое преобразует его к аналогичному уравнению. Все уравнения Пенлеви имеют дискретные группы действующих на них преобразований Беклунда, которые можно использовать для генерации новых решений из известных.

Пример типа I

Множество решений уравнения Пенлеве I типа

$y^{\prime \prime }=6y^{2}+t$

действует симметрия порядка 5 $y\to \zeta ^{3}y$, $t\to \zeta t$ где $\zeta$ является корнем пятой степени из 1. Существует два решения, инвариантных относительно этого преобразования: одно с полюсом порядка 2 в 0, а другое с нулем порядка 3 в 0.

Пример типа II

В гамильтоновом формализме уравнения Пенлеве типа II

$\displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2$

с

$\displaystyle q=y,p=y^{\prime }+y^{2}+t/2$

два преобразования Беклунда задаются формулой

$\displaystyle (q,p,b)\to (q+b/p,p,-b)$

и

$\displaystyle (q,p,b)\to (-q,-p+2q^{2}+t,1-b).$

Оба они имеют порядок 2 и порождают бесконечную диэдральную группу преобразований Беклунда (которая на самом деле является аффинной группой Вейля преобразования $A_{1}$; см. ниже). Если $b=1/2$ тогда уравнение имеет решение $y=0$; применение преобразований Беклунда порождает бесконечное семейство рациональных функций, которые являются решениями, например: $y=1/t$, $y=2(t^{3}-2)/t(t^{3}-4)$, ...

Окамото обнаружил, что пространство параметров каждого уравнения Пенлеве можно отождествить с подалгеброй Картана полупростой алгебры Ли , так что действия аффинной группы Вейля поднимаются до преобразований Бэклунда уравнений. Алгебры Ли для $P_{I}$, $P_{II}$, $P_{III}$, $P_{IV}$, $P_{V}$, $P_{VI}$ 0, $A_{1}$, $A_{1}\oplus A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, и $D_{4}$.

Отношение к другим областям

Одной из основных причин изучения уравнений Пенлеве является их связь с инвариантностью монодромии линейных систем с регулярными особенностями при изменении местоположения полюсов. В частности, благодаря этому соотношению Рихардом Фуксом был открыт Пенлеве VI. Эта тема описана в статье об изомонодромной деформации .

Все уравнения Пенлеве являются редукциями интегрируемых уравнений в частных производных ; см. (М. Дж. Абловиц и П. А. Кларксон , 1991 ).

Все уравнения Пенлеве являются редукцией самодуальных уравнений Янга – Миллса ; см. Абловиц, Чакраварти и Халбурд ( 2003 ).

Трансценденты Пенлеве появляются в теории случайных матриц в формуле распределения Трейси-Уидома , двумерной модели Изинга , асимметричном простом процессе исключения и в двумерной квантовой гравитации.

Уравнение Пенлеве VI появляется в двумерной конформной теории поля : ему подчиняются комбинации конформных блоков в обеих точках. $c=1$ и $c=\infty$, где $c$ является центральным зарядом алгебры Вирасоро .

Ссылки

• Абловиц, М. (2001) [1994], «Уравнения типа Пенлеве» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Абловиц, MJ; Кларксон, П.А. (1991), Солитоны, нелинейные эволюционные уравнения и обратное рассеяние , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 149, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-38730-9 , МР   1149378
• Абловиц, MJ; Чакраварти, С.; Р.Г., Хальбурд (2003), «Интегрируемые системы и редукция самодуальных уравнений Янга – Миллса», Журнал математической физики , 44 (8): 3147–3173, Бибкод : 2003JMP....44.3147A , doi : 10.1063 /1.1586967 , S2CID   121180295
• Чази, Ж. (1910), “О дифференциальных уравнениях, общий интеграл которых имеет подвижный существенный разрез”, Ч. Р. Акад. наук. , 150 , Париж: 456–458
• Шази, Жан (1911), «О дифференциальных уравнениях третьего и высшего порядка, общий интеграл которых имеет фиксированные критические точки», Acta Math. , 33 : 317–385, doi : 10.1007/BF02393131
• Кларксон, П.А. (2006), «Уравнения Пенлеве — нелинейные специальные функции», Ортогональные полиномы и специальные функции , Конспекты лекций по математике, том. 1883, Берлин: Springer, стр. 331–411 , номер документа : 10.1007/978-3-540-36716-1_7 , ISBN.  978-3-540-31062-4 , МР   2243533
• Кларксон, Пенсильвания (2010), «Трансценденты Пенлеве» , в Олвере, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Роберт М.М. Конте: Справочник Пенлеве , Springer, ISBN 978-9400796270, (2014).
• Роберт М.М. Конте: Справочник Пенлеве , Springer; 2-е изд., ISBN 978-3030533397, (2022 г.).
• Дэвис, Гарольд Т. (1962), Введение в нелинейные интегральные и дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: Дувр, ISBN  0-486-60971-5 См. раздел 7.3, главу 8 и приложения.
• Фокас, Афанассиос С .; Его, Александр Р.; Капаев Андрей А.; Новокшенов Виктор Юрьевич. (2006), Трансценденты Пенлеве: подход Римана – Гильберта , Математические обзоры и монографии, том. 128, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3651-4 , МР   2264522
• Фукс, Ричард (1905), «О некоторых линейных дифференциальных уравнениях второго порядка», Comptes Rendus , 141 : 555–558.
• Гамбье, Б. (1910), «О дифференциальных уравнениях второго порядка и первой степени, общий интеграл которых имеет фиксированные критические точки» , Acta Math. , 33 :1–55, номер документа : 10.1007/BF02393211 .
• Громак Валерий Иванович; Лайне, Ильпо; Шимомура, Шун (2002), Дифференциальные уравнения Пенлеве в комплексной плоскости , Исследования де Грюйтера по математике, том. 28, Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания, ISBN  978-3-11-017379-6 , г-н   1960811
• Инс, Эдвард Л. (1956), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Дувр, ISBN  0-486-60349-0
• Мартин А. Гест, Клаус Хертлинг: Пенлеве III: пример геометрии мероморфных соединений , Springer, LNM, том 2198, ISBN 9783319665269, (2017).
• Александр Р. Итс, Виктор Ю. Новокшенов: Метод изомонодромной деформации в теории уравнений Пенлеве , Springer, LNM 1191, ISBN 9783540398233, (1986).
• Ивасаки, Кацунори; Кимура, Хиронобу; Шимомура, Сюн; Ёсида, Масааки (1991), От Гаусса до Пенлеве , Аспекты математики, E16, Брауншвейг: Фридр. Вьюег и Сон, ISBN  978-3-528-06355-9 , МР   1118604
• (1988), «Заметка о трансцендентности первого Nagoya , 109 : Кейджи , Нисиока , Mathematical   63–67. Journal Пенлеве »   трансцендента
• Ноуми, Масатоши (2004), Уравнения Пенлеве через симметрию , Переводы математических монографий, том. 223, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-3221-9 , МР   2044201
• Ноуми, Масатоши; Ямада, Ясухико (2004), «Симметрии в уравнениях Пенлеве», SugakuExhibitions , 17 (2): 203–218, ISSN   0898-9583 , MR   1816984
• Пенлеве, П. (1900), «Память о дифференциальных уравнениях, общий интеграл которых равномерен» (PDF) , Bull. Соц. Математика. Пт , 28 : 201–261, doi : 10.24033/bsmf.633.
• Пенлеве, П. (1902), “О дифференциальных уравнениях второго и высшего порядка, общий интеграл которых равномерен”, Acta Math. , 25 :1–85, doi : 10.1007/BF02419020
• Пикард, Э. (1889), «Мемуары по теории алгебраических функций двух переменных» (PDF) , J. Math. Чистое приложение. , 5 : 135–319
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Пенлеве» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Трейси, Крейг; Видом, Гарольд (2011), «Функции Пенлеве в статистической физике», Публикации Научно-исследовательского института математических наук , 47 : 361–374, arXiv : 0912.2362 , doi : 10.2977/PRIMS/38 , S2CID   3460621
• Умемура, Хироши (1989), «О неприводимости дифференциальных уравнений Пенлеве», Sugaku Expositions , 2 (2): 231–252, MR   0944888
• Умемура, Хироши (1998), «Уравнения Пенлеве и классические функции», Sugaku Expositions , 11 (1): 77–100, ISSN   0898-9583 , MR   1365704

Внешние ссылки

• Кларксон, П.А. Трансценденты Пенлеве NIST , глава 32 цифровой библиотеки математических функций
• Джоши, Налини Что это за штука, называемая Пенлеве?
• Такасаки, Канехиса Пенлеве. Уравнения
• Вайсштейн, Эрик В. «Трансценденты Пенлеве» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Собственность Пенлеве» . Математический мир .