Голономные ограничения

В классической механике голономные ограничения — это отношения между переменными положения (и, возможно, временем). что можно выразить в следующей форме:

$f(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0$

где $\{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}$ — n обобщенных координат , описывающих систему (в неограниченном конфигурационном пространстве ). Например, движение частицы, вынужденной лежать на поверхности сферы, подчиняется голономному ограничению, но если частица способна упасть со сферы под действием силы тяжести, ограничение становится неголономным. В первом случае голономная связь может быть задана уравнением

$r^{2}-a^{2}=0$

где $r$ расстояние от центра сферы радиуса $a$, тогда как второй неголономный случай может быть задан формулой

$r^{2}-a^{2}\geq 0$

Ограничения, зависящие от скорости (также называемые полуголономными ограничениями) такой как

$f(u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},{\dot {u}}_{1},{\dot {u}}_{2},\ldots ,{\dot {u}}_{n},t)=0$

обычно не являются голономными.

Голономная система

В классической механике систему можно определить как голономную, если все ограничения системы голономны. Чтобы ограничение было голономным, оно должно быть выражено в виде функции :

$f(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0,\,$

т.е. голономная связь зависит только от координат $u_{j}$ и, возможно, время $t$. Оно не зависит от скоростей или какой-либо старшей производной по t . Ограничение, которое не может быть выражено в показанной выше форме, является неголономным ограничением .

Введение

Как описано выше, голономная система — это (просто говоря) система, в которой можно вывести состояние системы, зная только изменение положений компонентов системы с течением времени, но не обязательно знать скорость или то, в каком направлении. порядок перемещения компонентов относительно друг друга. Напротив, неголономная система часто представляет собой систему, в которой скорости компонентов во времени должны быть известны, чтобы иметь возможность определить изменение состояния системы, или систему, в которой движущаяся часть не может быть связана с ограничением. поверхность, реальная или воображаемая. Примерами голономных систем являются козловые краны, маятники и роботизированные руки. Примерами неголономных систем являются сегвеи , одноколесные велосипеды и автомобили.

Терминология

Конфигурационное пространство ${\overrightarrow {u}}$ перечисляет перемещения компонентов системы, по одному на каждую степень свободы . Система, которую можно описать с помощью конфигурационного пространства, называется склерономной .

${\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

Пространство событий идентично пространству конфигурации, за исключением добавления переменной. $t$ для представления изменений в системе с течением времени (при необходимости для описания системы). Система, которая должна быть описана с использованием пространства событий, а не только пространства конфигурации, называется реономической . Многие системы можно описать либо склерономически, либо реономически. Например, общее допустимое движение маятника можно описать с помощью склерономического ограничения, но движение маятника во времени должно быть описано с помощью реономического ограничения.

${\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\ldots &u_{n}&t\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

Государственное пространство ${\overrightarrow {q}}$ — это конфигурационное пространство плюс члены, описывающие скорость каждого члена в конфигурационном пространстве.

${\overrightarrow {q}}={\begin{bmatrix}{\overrightarrow {u}}\\{\overrightarrow {\dot {u}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

Пространство -время добавляет время $t$.

${\overrightarrow {q}}={\begin{bmatrix}{\overrightarrow {u}}\\{\overrightarrow {\dot {u}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}&\ldots &u_{n}&t&{\dot {u}}_{1}&\ldots &{\dot {u}}_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

Примеры

Козловой кран

Изображение козлового крана с отмеченными осями.

Как показано справа, козловой кран — это мостовой кран, который может перемещать свой крюк по трем осям, как указано стрелками. Интуитивно мы можем сделать вывод, что кран должен быть голономной системой, поскольку для данного движения его компонентов не имеет значения, в каком порядке или скорости движутся компоненты: до тех пор, пока общее смещение каждого компонента из заданного начального состояния одинаково, все части и система в целом окажутся в одном и том же состоянии. Математически мы можем доказать это следующим образом:

Мы можем определить конфигурационное пространство системы как:

${\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$

Можно сказать, что отклонение каждого компонента крана от «нулевого» положения равно $B$, $G$, и $O$, для синего, зеленого и оранжевого компонентов соответственно. Ориентация и расположение системы координат не имеют значения для того, является ли система голономной, но в этом примере компоненты движутся параллельно ее осям. Если начало системы координат находится в левом нижнем углу крана, то мы можем записать уравнение ограничения положения как:

$(x-B)+(y-G)+(z-(h-O))=0$

Где $h$ это высота крана. При желании мы можем упростить стандартную форму, в которой все константы размещаются после переменных:

$x+y+z-(B+G+h-O)=0$

Поскольку мы получили уравнение связи в голономной форме (в частности, наше уравнение связи имеет вид $f(x,y,z)=0$ где $\{x,y,z\}\in {\overrightarrow {u}}$), мы видим, что эта система должна быть голономной.

Маятник

Простой маятник

Как показано справа, простой маятник представляет собой систему, состоящую из гири и веревки. Веревка прикреплена верхним концом к стержню, а нижний конец - к грузу. Поскольку строка нерастяжима, ее длина является постоянной. Эта система голономна, поскольку подчиняется голономному ограничению

${x^{2}+y^{2}}-L^{2}=0,$

где $(x,\ y)$ это положение груза и $L$ длина строки.

Твердое тело

Частицы твердого тела подчиняются голономной связи

$(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0,\,$

где $\mathbf {r} _{i}$, $\mathbf {r} _{j}$ соответственно положения частиц $P_{i}$ и $P_{j}$, и $L_{ij}$ это расстояние между ними. Если данная система голономна, то жесткое присоединение дополнительных частей к компонентам рассматриваемой системы не может сделать ее неголономной, если предположить, что степени свободы не редуцированы (другими словами, если конфигурационное пространство неизменно).

Пфаффова форма

Основная статья: ограничение Пфаффа

Рассмотрим следующую дифференциальную форму ограничения:

$\sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0$

где $A_{ij},A_{i}$ являются коэффициентами дифференциалов $du_{j},dt$ для i -го уравнения связи. Эта форма называется формой Пфаффа или дифференциальной формой .

Если дифференциальная форма интегрируема, т. е. если существует функция $f_{i}(u_{1},\ u_{2},\ u_{3},\ \ldots ,\ u_{n},\ t)=0$ удовлетворяющее равенству

$df_{i}=\sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0$

тогда это ограничение является голономным ограничением; в противном случае он неголономен. Следовательно, все голономные и некоторые неголономные ограничения можно выразить в дифференциальной форме. Примерами неголономных ограничений, которые не могут быть выражены таким образом, являются те, которые зависят от обобщенных скоростей. Если уравнение связи имеет форму Пфаффа, то, является ли ограничение голономным или неголономным, зависит от того, интегрируема ли форма Пфаффа. См . ниже универсальный тест для голономных ограничений , где описано описание теста для проверки интегрируемости (или отсутствия) ограничения пфаффовой формы.

тест на

Смотрите также: неголономная система § Математическое объяснение

Когда уравнение связи системы записано в форме ограничения Пфаффа , существует математический тест, позволяющий определить, является ли система голономной.

Для уравнения связи или $i$ наборы уравнений ограничений (обратите внимание, что переменные, представляющие время, могут быть включены, как указано выше $A_{i}\in A_{ij}$ и $\,dt\in du_{j}$ в следующем виде):

$\sum _{j}^{n}\ A_{ij}\,du_{j}=0;\,$

мы можем использовать тестовое уравнение:

$A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0$

где $$\alpha ,\beta ,\gamma =1,2,3\ldots n$$ в ${\textstyle {\binom {n}{3}}={\frac {n(n-1)(n-2)}{6}}}$ комбинации тестовых уравнений для каждого уравнения ограничения, для всех $i$ наборы уравнений ограничений.

Другими словами, систему трех переменных придется протестировать один раз с помощью одного тестового уравнения с членами $\alpha ,\beta ,\gamma$ условия $1,2,3$ в уравнении ограничения (в любом порядке), но для тестирования системы из четырех переменных тест придется выполнить до четырех раз с четырьмя разными тестовыми уравнениями, с членами $\alpha ,\beta ,\gamma$ условия $1,2,3$, $1,2,4$, $1,3,4$, и $2,3,4$ в уравнении ограничения (каждое в любом порядке) в четырех разных тестах. Для системы пяти переменных десять необходимо провести тестов на голономной системе, чтобы проверить этот факт, а для системы пяти переменных с тремя наборами уравнений ограничений - тридцать тестов (при условии упрощения, такого как замена переменной не может быть выполнено для уменьшения этого числа). По этой причине при использовании этого метода для систем с более чем тремя переменными желательно руководствоваться здравым смыслом относительно того, является ли рассматриваемая система голономной, и проводить тестирование только в том случае, если система, скорее всего, таковой не является. Кроме того, также лучше всего использовать математическую интуицию, чтобы попытаться предсказать, какой тест потерпит неудачу первым, и начать с него, сначала пропуская тесты, которые кажутся успешными.

Если каждое тестовое уравнение истинно для всего набора комбинаций всех уравнений ограничений, система является голономной. Если это неверно хотя бы для одной тестовой комбинации, система неголономна.

Пример

Рассмотрим эту динамическую систему, описываемую уравнением связи в форме Пфаффа.

$(\cos \theta )dx+(\sin \theta )dy+(y\cos \theta -x\sin \theta )d\theta =0$

Конфигурационное пространство, при осмотре, ${\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}x&y&\theta \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$. Поскольку в конфигурационном пространстве всего три члена, потребуется только одно тестовое уравнение.Мы можем организовать члены уравнения ограничений как таковые, готовясь к замене:

$A_{\alpha }=\cos \theta$

$A_{\beta }=\sin \theta$

$A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta$

$u_{\alpha }=dx$

$u_{\beta }=dy$

$u_{\gamma }=d\theta$

Подставив эти члены, наше тестовое уравнение принимает вид:

$(y\cos \theta -x\sin \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}(\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial y}}(\cos \theta ){\bigg )}+(\sin \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial x}}(y\cos \theta -x\sin \theta ){\bigg )}+(\cos \theta ){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial y}}(y\cos \theta -x\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta ){\bigg )}=0$

Вычислив все частные производные, получим:

$(y\cos \theta -x\sin \theta ){\bigg (}0-0{\bigg )}+(\sin \theta ){\bigg (}-\sin \theta -(-\sin \theta ){\bigg )}+(\cos \theta ){\bigg (}\cos \theta -\cos \theta {\bigg )}=0$

Упрощая, мы находим, что:

$0=0$

Мы видим, что наше тестовое уравнение истинно, и, следовательно, система должна быть голономной.

Мы завершили наш тест, но теперь, зная, что система голономна, мы можем захотеть найти уравнение голономной связи. Мы можем попытаться найти его, интегрируя каждый член формы Пфаффа и пытаясь объединить их в одно уравнение как таковое:

$\int (\cos \theta )dx=x\cos \theta +f(y,\theta )$

$\int (\sin \theta )dy=y\sin \theta +f(x,\theta )$

$\int (y\cos \theta -x\sin \theta )d\theta =y\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)$

Легко видеть, что мы можем объединить результаты нашего интегрирования, чтобы найти уравнение голономной связи:

$y\sin \theta +x\cos \theta +C=0$

где C — константа интегрирования.

Ограничения

Для данного ограничения Пфаффа, где каждый коэффициент каждого дифференциала является константой, другими словами, ограничением в форме:

$\sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0;\;\{A_{ij},A_{i};\,j=1,2,\ldots ;\,i=1,2,\ldots \}\in \mathbb {R}$

ограничение должно быть голономным.

Мы можем доказать это следующим образом: рассмотрим систему ограничений в форме Пфаффа, где каждый коэффициент каждого дифференциала является константой, как описано непосредственно выше. Чтобы проверить, является ли данная система ограничений голономной, воспользуемся универсальным тестом . Мы видим, что в тестовом уравнении есть три члена, сумма которых должна быть равна нулю. Следовательно, если каждый из этих трех членов в каждом возможном проверочном уравнении равен нулю, то все проверочные уравнения истинны, и система является голономной. Каждый член каждого проверочного уравнения имеет форму:

$A_{3}\left({\frac {\partial A_{2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial u_{2}}}\right)$

где:

• $A_{1}$, $A_{2}$, и $A_{3}$ представляют собой некоторую комбинацию (с ${\textstyle {\binom {n}{3}}=n(n-1)(n-2)/6}$ общее количество комбинаций) из $A_{ij};\,j=1,2,\ldots$ и $A_{i}$ для данного ограничения $i$.
• $u_{1}$, $u_{2}$, и $u_{3}$ представляют собой соответствующую комбинацию $u_{j};\,j=1,2,\ldots$ и $dt$.

Кроме того, существуют $i$ наборы тестовых уравнений.

Мы видим, что по определению все $A_{n}$ являются константами. хорошо известно В математическом исчислении , что любая производная (полная или частичная) любой константы равна $0$. Следовательно, мы можем свести каждую частную производную к:

$A_{3}{\big (}0-0{\big )}$

и, следовательно, каждый член равен нулю, левая часть каждого проверочного уравнения равна нулю, каждое проверочное уравнение истинно, и система голономна.

Конфигурационные пространства двух или одной переменной

Любая система, которая может быть описана ограничением Пфаффа и имеет конфигурационное пространство или пространство состояний только из двух или одной переменной, является голономной.

Мы можем доказать это следующим образом: рассмотрим динамическую систему с конфигурационным пространством или пространством состояний, описываемым как:

${\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

если система описывается пространством состояний, мы просто говорим, что $u_{2}$ равно нашей переменной времени $t$. Эта система будет описана в пфаффовой форме:

$A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}=0$

с $i$ наборы ограничений. Система будет протестирована с помощью универсального теста. Однако универсальный тест требует трех переменных в конфигурации или пространстве состояний. Чтобы учесть это, мы просто добавляем фиктивную переменную $\lambda$ в конфигурацию или пространство состояний, чтобы сформировать:

${\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\lambda \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

Поскольку фиктивная переменная $\lambda$ по определению не является мерой чего-либо в системе, его коэффициент в форме Пфаффа должен быть равен $0$. Таким образом, мы пересматриваем нашу форму Пфаффа:

$A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0d\lambda =0$

Теперь мы можем использовать тест как таковой для заданного ограничения. $i$ если существует набор ограничений:

$(0){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}(A_{i2})-{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}(A_{i1}){\bigg )}+(A_{i2}){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(A_{i1})-{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}(0){\bigg )}+(A_{i1}){\bigg (}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \lambda }}(A_{i2}){\bigg )}=0$

Осознав это: ${\frac {\partial }{\partial \lambda }}(f(u_{1},u_{2}))=0$ потому что фиктивная переменная $\lambda$ не может появляться в коэффициентах, используемых для описания системы, мы видим, что тестовое уравнение должно быть истинным для всех наборов уравнений ограничений и, следовательно, система должна быть голономной. Аналогичное доказательство можно провести с одной фактической переменной в конфигурации или пространстве состояний и двумя фиктивными переменными, чтобы подтвердить, что системы с одной степенью свободы, описываемые в форме Пфаффа, также всегда голономны.

В заключение мы понимаем, что, хотя можно моделировать неголономные системы в форме Пфаффа, любая система, моделируемая в форме Пфаффа, с двумя или меньшим количеством степеней свободы (количество степеней свободы равно количеству членов в конфигурационном пространстве ) должно быть голономным.

Важное примечание: поймите, что уравнение теста не удалось, потому что фиктивная переменная и, следовательно, фиктивный дифференциал, включенный в тест, будет отличать все, что является функцией фактической конфигурации или переменных пространства состояний, от $0$. Наличие системы с конфигурацией или пространством состояний:

${\overrightarrow {u}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }$

и набор ограничений, где одно или несколько ограничений имеют форму Пфаффа:

$A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0du_{3}=0$

не гарантирует , что система голономна, поскольку даже если один дифференциал имеет коэффициент $0$, в конфигурации или пространстве состояний по-прежнему описаны три степени свободы.

Преобразование в независимые обобщенные координаты

Уравнения голономных связей могут помочь нам легко удалить некоторые зависимые переменные в нашей системе. Например, если мы хотим удалить $x_{d}$, который является параметром в уравнении ограничений $f_{i}$, мы можем преобразовать уравнение в следующий вид, если предположить, что это возможно:

$x_{d}=g_{i}(x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \dots ,\ x_{d-1},\ x_{d+1},\ \dots ,\ x_{N},\ t),\,$

и заменить $x_{d}$ в каждом уравнении системы с использованием указанной выше функции. Это всегда можно сделать для общих физических систем при условии, что производная $f_{i}$ непрерывно, то по теореме о неявной функции решение $g_{i}$, гарантировано в некотором открытом множестве. Таким образом, можно удалить все вхождения зависимой переменной. $x_{d}$.

Предположим, что физическая система имеет $N$ степени свободы. Сейчас, $h$ На систему накладываются голономные ограничения. Тогда число степеней свободы уменьшается до $m=N-h$. Мы можем использовать $m$ независимые обобщенные координаты ( $q_{j}$), чтобы полностью описать движение системы. Уравнение преобразования можно выразить следующим образом:

$x_{i}=x_{i}(q_{1},\ q_{2},\ \ldots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad i=1,\ 2,\ \ldots N.\,$

Классификация физических систем

Чтобы изучать классическую физику строго и методично, нам необходимо классифицировать системы. Основываясь на предыдущем обсуждении, мы можем разделить физические системы на голономные и неголономные системы . Одним из условий применимости многих теорем и уравнений является то, что система должна быть голономной. Например, если физическая система является голономной системой и моногенной системой , то принцип Гамильтона является необходимым и достаточным условием корректности уравнения Лагранжа .

См. также

• неголономная система
• Goryachev–Chaplygin top
• Пфаффово ограничение
• Уравнение Удвадии–Калабы