Пфаффово ограничение

В динамике ограничение Пфаффа — это способ описания динамической системы в форме:

$\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

где $L$ – количество уравнений в системе ограничений.

Голономные системы всегда можно записать в форме ограничений Пфаффа.

Вывод

Дана голономная система, описываемая набором голономной связи уравнений .

$f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L$

где $\{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}$ — n обобщенных координат , описывающих систему, и где $L$ — количество уравнений в системе ограничений, мы можем дифференцировать по цепному правилу для каждого уравнения:

$\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

Путем простой замены номенклатуры приходим к:

$\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

Примеры

Маятник

Маятник

Рассмотрим маятник. Из-за того, что движение груза ограничено рукой, вектор скорости ${\overrightarrow {V}}$ веса всегда должен быть перпендикулярен вектору положения ${\overrightarrow {L}}$. Поскольку эти векторы всегда ортогональны, их скалярное произведение должно быть равно нулю. И положение, и скорость массы можно определить с помощью $x$- $y$ система координат:

${\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0$

Упрощение скалярного произведения дает:

$x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0$

Умножаем обе части на ${\text{d}}t$. Это приводит к пфаффовой форме уравнения ограничений:

$x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0$

Эта форма Пфаффа полезна, поскольку мы можем интегрировать ее для решения уравнения голономной связи системы, если оно существует. В этом случае интегрирование довольно тривиально:

$\int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2}+y^{2}+C$

Где C — константа интегрирования.

И условно можно написать:

$x^{2}+y^{2}=L^{2}$

Термин $L^{2}$ возводится в квадрат просто потому, что оно должно быть положительным числом; поскольку это физическая система, все измерения должны быть действительными числами . Действительно, $L$ - длина плеча маятника.

Робототехника

При робота планировании движения ограничение Пфаффа представляет собой набор из k линейно независимых ограничений, линейных по скорости, т. е. вида $$A(q)\,{\dot {q}}=0$$

Одним из источников ограничений Пфаффа является катание без проскальзывания колесных роботов .