Неровность поверхности

В математике неровностью комплексной поверхности X называется число Ходжа. $h^{0,1}=\dim H^{1}({\mathcal {O}}_{X})$, обычно обозначается q. Нерегулярность алгебраической поверхности иногда определяется как это число Ходжа, а иногда определяется как размерность многообразия Пикара , которая одинакова в характеристике 0, но может быть меньше в положительной характеристике.

Название «нерегулярность» происходит от того, что для первых детально исследованных поверхностей гладкие комплексные поверхности в P ³ , неравномерность исчезает. Неравномерность затем появилась как новый термин «коррекция», измеряющий разницу. $p_{g}-p_{a}$ геометрического рода и арифметического рода более сложных поверхностей. Поверхности иногда называют правильными или неправильными в зависимости от того, исчезает или нет неровность.

Для комплексного аналитического многообразия X общей размерности число Ходжа $h^{0,1}=\dim H^{1}({\mathcal {O}}_{X})$ называется неравномерностью $X$и обозначается q .

Сложные поверхности

Для неособых комплексных проективных (или кэлеровых ) поверхностей все следующие числа равны:

• Неравномерность;
• Размер сорта Альбанезе ;
• Размер сорта Пикард ;
• Число Ходжа $h^{0,1}=\dim H^{1}(\Omega _{X}^{0})$;
• Число Ходжа $h^{1,0}=\dim H^{0}(\Omega _{X}^{1})$;
• Разница $p_{g}-p_{a}$ геометрического рода и арифметического рода .

Для поверхностей с положительной характеристикой или для некэлеровых комплексных поверхностей приведенные выше числа не обязательно должны быть равны.

Анри Пуанкаре доказал, что для комплексных проективных поверхностей размерность многообразия Пикара равна числу Ходжа h. ^0,1 , и то же самое верно для всех компактных кэлеровых поверхностей. Нерегулярность гладких компактных кэлеровых поверхностей инвариантна относительно бимероморфных преобразований.

Для общих компактных комплексных поверхностей два числа Ходжа h ^1,0 и ч ^0,1 не обязательно должно быть равным, но h ^0,1 либо ч ^1,0 или ч ^1,0 +1 и равен h ^1,0 для компактных кэлеровых поверхностей .

Положительная характеристика

Над полями положительной характеристики связь между q (определяемым как размерность многообразия Пикара или Альбанезе) и числами Ходжа h ^0,1 и ч ^1,0 сложнее, и любые два из них могут быть разными.

Существует каноническое отображение поверхности F в ее многообразие Альбанезе A , которое индуцирует гомоморфизм из кокасательного пространства многообразия Альбанезе (размерности q ) в H. ^1,0 ( Ф ). Дзюн-Ичи Игуса обнаружил, что это инъективно, так что $q\leq h^{1,0}$, но вскоре обнаружил поверхность в характеристике 2 с $h^{1,0}=h^{0,1}=2$ и многообразие Пикара размерности 1, так что q может быть строго меньше обоих чисел Ходжа. В положительной характеристике ни одно число Ходжа не всегда ограничено другим. Серр показал, что возможно h ^1,0 исчезнуть, пока час ^0,1 положительно, а Мамфорд показал, что для поверхностей Энриквеса в характеристике 2 возможно, что h ^0,1 исчезнуть, пока ч ^1,0 является положительным.

Александр Гротендик дал полное описание связи q с $h^{0,1}$по всем характеристикам. Размерность касательного пространства к схеме Пикара (в любой точке) равна $h^{0,1}$. В характеристике 0 результат Пьера Картье показал, что все групповые схемы конечного типа неособы, поэтому размерность их касательного пространства равна их размерности. С другой стороны, в положительной характеристике групповая схема может быть несведенной в каждой точке, так что размерность будет меньше размерности любого касательного пространства, что и происходит в примере Игузы. Мамфорд показывает, что касательное пространство к многообразию Пикара является подпространством H ^0,1 аннулируется всеми операциями Бокштейна из H ^0,1 до Н ^0,2 , поэтому неровность q равна h ^0,1 тогда и только тогда, когда все эти операции Бокштейна исчезают.