Гомоморфизм Бокштейна

В гомологической алгебре , гомоморфизм Бокштейна введенный Мейером Бокштейном ( 1942 , 1943 , 1958 ), представляет собой связующий гомоморфизм, ассоциированный с короткой точной последовательностью

$0\to P\to Q\to R\to 0$

абелевых групп , когда они вводятся как коэффициенты в цепной комплекс C , и который появляется в группах гомологий как гомоморфизм, понижающий степень на единицу,

$\beta \colon H_{i}(C,R)\to H_{i-1}(C,P).$

Точнее, C должен быть комплексом свободных или, по крайней мере , абелевых групп без кручения , а гомология - это комплексы, образованные тензорным произведением с C (должно вступить какое-то условие плоского модуля ). Построение β производится обычным рассуждением ( лемма о змее ).

Аналогичная конструкция применима и к группам когомологий , на этот раз увеличивая степень на единицу. Таким образом, мы имеем

$\beta \colon H^{i}(C,R)\to H^{i+1}(C,P).$

Гомоморфизм Бокштейна $\beta$ связанный с последовательностью коэффициентов

$0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0$

используется как один из образующих алгебры Стинрода . Этот гомоморфизм Бокштейна обладает следующими двумя свойствами:

$\beta \beta =0$,

$\beta (a\cup b)=\beta (a)\cup b+(-1)^{\dim a}a\cup \beta (b)$;

другими словами, это супердифференцирование, действующее на когомологии mod p пространства.

См. также

• Спектральная последовательность Бокштейна

Ссылки

• Бокштейн, Мейер (1942), «Универсальные системы колец ∇-гомологии», CR (Доклады) акад. наук. УРСС , Новая серия, 37 : 243–245, МР   0008701
• Бокштейн, Мейер (1943), "Полная система полей коэффициентов для ∇-гомологической размерности", ЧР (Доклады) акад. наук. УРСС , Новая серия, 38 : 187–189, МР   0009115
• Бокштейн, Мейер (1958), «О формуле универсальных коэффициентов для групп гомологии», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 247 : 396–398, MR   0103918
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-79540-1 , МР   1867354 .
• Спаниер, Эдвин Х. (1981), Алгебраическая топология. Исправленное переиздание , Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag , стр. xvi+528, ISBN.  0-387-90646-0 , МР   0666554