Спектральная последовательность Бокштейна

В математике спектральная последовательность Бокштейна — это спектральная последовательность, связывающая гомологии с коэффициентами mod p и приведенную гомологию по mod p . Он назван в честь Мейера Бокштейна .

Определение

Пусть C — цепной комплекс абелевых групп без кручения , а p число — простое . Тогда мы имеем точную последовательность:

$0\longrightarrow C{\overset {p}{\longrightarrow }}C{\overset {{\text{mod}}p}{\longrightarrow }}C\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0.$

Взяв целочисленные гомологии H , мы получим точную пару «двухградуированных» абелевых групп:

$H_{*}(C){\overset {i=p}{\longrightarrow }}H_{*}(C){\overset {j}{\longrightarrow }}H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p){\overset {k}{\longrightarrow }}.$

где идет оценка: $H_{*}(C)_{s,t}=H_{s+t}(C)$ и то же самое для $H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p),\deg i=(1,-1),\deg j=(0,0),\deg k=(-1,0).$

Это дает первую страницу спектральной последовательности: мы берем $E_{s,t}^{1}=H_{s+t}(C\otimes \mathbb {Z} /p)$ с дифференциалом ${}^{1}d=j\circ k$. Производная пара указанной выше точной пары затем дает вторую страницу и так далее. Явно мы имеем $D^{r}=p^{r-1}H_{*}(C)$ это подходит именно к этой паре:

$D^{r}{\overset {i=p}{\longrightarrow }}D^{r}{\overset {{}^{r}j}{\longrightarrow }}E^{r}{\overset {k}{\longrightarrow }}$

где ${}^{r}j=({\text{mod }}p)\circ p^{-{r+1}}$ и $\deg({}^{r}j)=(-(r-1),r-1)$ (степени i , k такие же, как и раньше). Теперь, взяв $D_{n}^{r}\otimes -$ из

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {p}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0,$

мы получаем:

$0\longrightarrow \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(D_{n}^{r},\mathbb {Z} /p)\longrightarrow D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}\longrightarrow D_{n}^{r}\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0$.

Это сообщает ядру и коядру о $D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}$. Разлагая точную пару в длинную точную последовательность, получаем: для любого r ,

$0\longrightarrow (p^{r-1}H_{n}(C))\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow E_{n,0}^{r}\longrightarrow \operatorname {Tor} (p^{r-1}H_{n-1}(C),\mathbb {Z} /p)\longrightarrow 0$.

Когда $r=1$, это то же самое, что теорема об универсальных коэффициентах для гомологии.

Предположим, что абелева группа $H_{*}(C)$ конечно порождена; в частности, только конечное число циклических модулей вида $\mathbb {Z} /p^{s}$ может представлять собой прямое слагаемое $H_{*}(C)$. Сдача в аренду $r\to \infty$ мы таким образом видим $E^{\infty }$ изоморфен $({\text{free part of }}H_{*}(C))\otimes \mathbb {Z} /p$.

Ссылки

• Макклири, Джон (2001), Руководство пользователя по спектральным последовательностям , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 58 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-56759-6 , МР   1793722
• Дж. П. Мэй, Учебник по спектральным последовательностям