Точная пара

В математике точная пара , согласно Уильяму С. Мэсси ( 1952 ), является общим источником спектральных последовательностей . Это особенно распространено в алгебраической топологии ; например, спектральную последовательность Серра можно построить, сначала построив точную пару.

Определение точной пары и построение из нее спектральной последовательности (что является непосредственным) см. в разделе Спектральная последовательность § Спектральная последовательность точной пары . Базовый пример см. в разделе Спектральная последовательность Бокштейна . В настоящей статье представлены дополнительные материалы.

Точная пара отфильтрованного комплекса

Пусть R — кольцо, которое фиксируется на протяжении всего обсуждения. если R Обратите внимание , $\mathbb {Z}$ , то модули над R — это то же самое, что и абелевы группы .

Каждый фильтрованный цепной комплекс модулей определяет точную пару, которая, в свою очередь, определяет спектральную последовательность следующим образом. Пусть C — цепной комплекс, градуированный целыми числами, и предположим, что ему задана возрастающая фильтрация: для каждого целого числа p существует включение комплексов:

F_{p-1}C\subset F_{p}C.

В результате фильтрации можно сформировать ассоциированный градуированный комплекс :

\operatorname {gr} C=\bigoplus _{-\infty }^{\infty }F_{p}C/F_{p-1}C,

которая имеет двойную оценку и является нулевой страницей спектральной последовательности:

E_{p,q}^{0}=(\operatorname {gr} C)_{p,q}=(F_{p}C/F_{p-1}C)_{p+q}.

Чтобы получить первую страницу, для каждого фиксированного p мы смотрим на короткую точную последовательность комплексов:

0\to F_{p-1}C\to F_{p}C\to (\operatorname {gr} C)_{p}\to 0

из которого мы получаем длинную точную последовательность гомологий: ( p все еще фиксировано)

\cdots \to H_{n}(F_{p-1}C){\overset {i}{\to }}H_{n}(F_{p}C){\overset {j}{\to }}H_{n}(\operatorname {gr} (C)_{p}){\overset {k}{\to }}H_{n-1}(F_{p-1}C)\to \cdots

С обозначением $D_{p,q}=H_{p+q}(F_{p}C),\,E_{p,q}^{1}=H_{p+q}(\operatorname {gr} (C)_{p})$ , выше написано:

\cdots \to D_{p-1,q+1}{\overset {i}{\to }}D_{p,q}{\overset {j}{\to }}E_{p,q}^{1}{\overset {k}{\to }}D_{p-1,q}\to \cdots ,

что является точной парой и $E^{1}$ представляет собой комплекс с дифференциалом $d=j\circ k$ . Производная пара этой точной пары дает вторую страницу, и мы повторяем ее. В итоге получаются комплексы $E_{*,*}^{r}$ с дифференциалом d :

E_{p,q}^{r}{\overset {k}{\to }}D_{p-1,q}^{r}{\overset {{}^{r}j}{\to }}E_{p-r,q+r-1}^{r}.

Следующая лемма дает более явную формулу спектральной последовательности; в частности, это показывает, что спектральная последовательность, построенная выше, совпадает с более традиционной прямой конструкцией, ^[1] в котором в качестве определения используется приведенная ниже формула (см. Спектральная последовательность # Спектральная последовательность фильтрованного комплекса ).

Лемма — Пусть $A_{p}^{r}=\{c\in F_{p}C\mid d(c)\in F_{p-r}C\}$ , который наследует $\mathbb {Z}$ -оценка от $F_{p}C$ . Тогда для каждого р

E_{p,*}^{r}\simeq {A_{p}^{r} \over d(A_{p+r-1}^{r-1})+A_{p-1}^{r-1}}.

Эскиз доказательства: ^[2]^[3] Вспоминая $d=j\circ k$ , это легко увидеть:

Z^{r}=k^{-1}(\operatorname {im} i^{r}),\,B^{r}=j(\operatorname {ker} i^{r}),

где они рассматриваются как подкомплексы $E^{1}$ .

Мы напишем планку для $F_{p}C\to F_{p}C/F_{p-1}C$ . Теперь, если $[{\overline {x}}]\in Z_{p,q}^{r-1}\subset E_{p,q}^{1}$ , затем $k([{\overline {x}}])=i^{r-1}([y])$ для некоторых $[y]\in D_{p-r,q+r-1}=H_{p+q-1}(F_{p}C)$ . С другой стороны, запоминание k является связующим гомоморфизмом, $k([{\overline {x}}])=[d(x)]$ где x – представитель, проживающий в $(F_{p}C)_{p+q}$ . Таким образом, мы можем написать: $d(x)-i^{r-1}(y)=d(x')$ для некоторых $x'\in F_{p-1}C$ . Следовательно, $[{\overline {x}}]\in Z_{p}^{r}\Leftrightarrow x\in A_{p}^{r}$ модуль $F_{p-1}C$ , уступая $Z_{p}^{r}\simeq (A_{p}^{r}+F_{p-1}C)/F_{p-1}C$ .

Далее отметим, что класс в $\operatorname {ker} (i^{r-1}:H_{p+q}(F_{p}C)\to H_{p+q}(F_{p+r-1}C))$ представлен циклом x таким, что $x\in d(F_{p+r-1}C)$ . Следовательно, поскольку j индуцируется ${\overline {\cdot }}$ , $B_{p}^{r-1}=j(\operatorname {ker} i^{r-1})\simeq (d(A_{p+r-1}^{r-1})+F_{p-1}C)/F_{p-1}C$ .

Делаем вывод: поскольку $A_{p}^{r}\cap F_{p-1}C=A_{p-1}^{r-1}$ ,

E_{p,*}^{r}={Z_{p}^{r-1} \over B_{p}^{r-1}}\simeq {A_{p}^{r}+F_{p-1}C \over d(A_{p+r-1}^{r-1})+F_{p-1}C}\simeq {A_{p}^{r} \over d(A_{p+r-1}^{r-1})+A_{p-1}^{r-1}}.\qquad \square

Теорема — Если $C=\cup _{p}F_{p}C$ и для каждого n существует целое число $s(n)$ такой, что $F_{s(n)}C_{n}=0$ , то спектральная последовательность E ^р сходится к $H_{*}(C)$ ; то есть, $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(C)/F_{p-1}H_{p+q}(C)$ .

Доказательство: см. последнюю часть мая. $\square$

Точная пара двойного комплекса

Двойной комплекс определяет две точные пары; отсюда две спектральные последовательности следующим образом. (Некоторые авторы называют две спектральные последовательности горизонтальной и вертикальной.) Пусть $K^{p,q}$ быть двойным комплексом. ^[4] С обозначением $G^{p}=\bigoplus _{i\geq p}K^{i,*}$ , для каждого с фиксированным p мы имеем точную последовательность коцепных комплексов:

0\to G^{p+1}\to G^{p}\to K^{p,*}\to 0.

Взятие его когомологий дает точную пару:

\cdots \to D^{p,q}{\overset {j}{\to }}E_{1}^{p,q}{\overset {k}{\to }}\cdots

По симметрии, то есть поменяв местами первый и второй индексы, получается и другая точная пара.

Пример: спектральная последовательность Серра

Спектральная последовательность Серра возникает из расслоения :

F\to E\to B.

Для прозрачности мы рассматриваем только случай, когда пространства представляют собой -комплексы , F связно CW а B односвязно , ; общий случай предполагает больше технических деталей (а именно, системы локальных коэффициентов ).

Примечания

^ Weibel 1994 , Строительство 5.4.6.
^ Мэй , Доказательство (7.3)
^ Вейбель 1994 , Теорема 5.9.4.
^ Мы предпочитаем здесь когомологические обозначения, поскольку приложения часто относятся к алгебраической геометрии.

Ссылки

Мэй, Дж. Питер , Учебник по спектральным последовательностям (PDF)
Мэсси, Уильям С. (1952), «Точные пары в алгебраической топологии. I, II», Анналы математики , вторая серия, 56 : 363–396, doi : 10.2307/1969805 , MR 0052770 .
Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 38, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9781139644136 , ISBN 0-521-43500-5 , МР 1269324

[1] Weibel 1994 , Строительство 5.4.6.

[2] Мэй , Доказательство (7.3)

[3] Вейбель 1994 , Теорема 5.9.4.

[4] Мы предпочитаем здесь когомологические обозначения, поскольку приложения часто относятся к алгебраической геометрии.

[1]

[2]

[3]

[4]