Антигомоморфизм

В математике антигомоморфизм , — это тип функции заданной на множествах с умножением, меняющим порядок умножения . Антиавтоморфизм антиизоморфизм — это обратимый антигомоморфизм, т. е. множества в себя. Из биективности следует, что антиавтоморфизмы имеют обратные и что обратный антиавтоморфизму также является антиавтоморфизмом.

Определение

Неформально антигомоморфизм — это отображение, меняющее порядок умножения. Формально антигомоморфизм между структурами $X$ и $Y$ является гомоморфизмом $\phi \colon X\to Y^{\text{op}}$, где $Y^{\text{op}}$ равно $Y$ как набор, но его умножение обращено к умножению, определенному на $Y$. Обозначая (вообще говоря, некоммутативное ) умножение на $Y$ к $\cdot$, умножение на $Y^{\text{op}}$, обозначенный $*$, определяется $x*y:=y\cdot x$. Объект $Y^{\text{op}}$ называется объектом, противоположным $Y$ (соответственно противоположная группа , противоположная алгебра , противоположная категория и т. д.).

Это определение эквивалентно определению гомоморфизма $\phi \colon X^{\text{op}}\to Y$(отмена операции до или после применения карты эквивалентно). Формально отправка $X$ к $X^{\text{op}}$ и выступающий в качестве тождества на отображениях, является функтором (действительно, инволюцией ).

Примеры

В теории групп антигомоморфизм — это отображение между двумя группами, которое меняет порядок умножения. Итак, если φ : X → Y — групповой антигомоморфизм,

φ ( xy ) знак равно φ ( y ) φ ( x )

для x , y в X. всех

Карта, которая отправляет x в x ⁻¹ является примером группового антиавтоморфизма. Другим важным примером является операция транспонирования в линейной алгебре , которая преобразует векторы-строки в векторы-столбцы . Любое векторно-матричное уравнение можно транспонировать в эквивалентное уравнение, в котором порядок факторов меняется на обратный.

В случае матриц примером антиавтоморфизма является транспонированное отображение. Поскольку и инверсия, и транспонирование дают антиавтоморфизмы, их композиция является автоморфизмом. Эту инволюцию часто называют контрагредиентным отображением, и она представляет собой пример внешнего автоморфизма общей линейной группы GL( n , F ) , где F — поле, за исключением случаев, когда | Ф | знак равно 2 и n знак равно 1 или 2 , или | Ф | = 3 и n = 1 (т. е. для групп GL(1, 2) , GL(2, 2) и GL(1, 3) ).

В теории колец антигомоморфизм — это отображение между двумя кольцами, которое сохраняет сложение, но меняет порядок умножения. Итак, φ : X → Y является кольцевым антигомоморфизмом тогда и только тогда, когда:

φ (1) = 1

φ ( Икс + y ) знак равно φ ( Икс ) + φ ( y )

φ ( xy ) знак равно φ ( y ) φ ( x )

для x , y в X. всех

Для алгебр над полем K φ должна быть K - линейным отображением основного векторного пространства . Если основное поле имеет инволюцию, вместо этого можно попросить φ быть сопряженно-линейным , как в сопряженном транспонировании ниже.

Инволюции

Часто антиавтоморфизмы являются инволюциями , т. е. квадрат антиавтоморфизма является тождественным отображением ; их еще называют инволютивный антиавтоморфизм s . Например, в любой группе карта, которая переводит x в обратный x ⁻¹ является инволютивным антиавтоморфизмом.

Кольцо с инволютивным антиавтоморфизмом называется *-кольцом , и они образуют важный класс примеров .

Свойства

Если источник X или цель Y коммутативны, то антигомоморфизм — это то же самое, что и гомоморфизм .

Композиция . двух антигомоморфизмов всегда является гомоморфизмом, поскольку двукратное изменение порядка сохраняет порядок Композиция антигомоморфизма с гомоморфизмом дает другой антигомоморфизм.

См. также

• Полугруппа с инволюцией

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Антихомоморфизм» . Математический мир .