Двойственность (электрические схемы)

В электротехнике электрические термины объединяются в пары, называемые дуалами . Двойное отношение формируется путем замены напряжения и тока в выражении. Получаемое таким образом двойственное выражение имеет одну и ту же форму, и причина, по которой двойственное утверждение всегда является действительным, можно проследить до двойственности электричества и магнетизма .

Вот неполный список электрических дуальностей:

• напряжение – ток
• параллельно – последовательно (цепи)
• сопротивление – проводимость
• деление напряжения – деление тока
• импеданс – адмиттанс
• емкость – индуктивность
• реактивное сопротивление – сопротивление
• короткое замыкание – разрыв цепи
• Действующий закон Кирхгофа – закон напряжения Кирхгофа . КВЛ и КСЛ
• Теорема Тевенена – теорема Нортона

История

Использование двойственности в теории цепей связано с Александром Расселом, опубликовавшим свои идеи в 1904 году.

Примеры

Конститутивные отношения

• Резистор и проводник (закон Ома)
  $$v=iR\iff i=vG\,$$
• Конденсатор и катушка индуктивности – дифференциальная форма
  $$i_{C}=C{\frac {d}{dt}}v_{C}\iff v_{L}=L{\frac {d}{dt}}i_{L}$$
• Конденсатор и катушка индуктивности – цельная форма
  $$v_{C}(t)=V_{0}+{1 \over C}\int _{0}^{t}i_{C}(\tau )\,d\tau \iff i_{L}(t)=I_{0}+{1 \over L}\int _{0}^{t}v_{L}(\tau )\,d\tau$$

Деление напряжения — деление тока

$$v_{R_{1}}=v{\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}\iff i_{G_{1}}=i{\frac {G_{1}}{G_{1}+G_{2}}}$$

Импеданс и адмиттанс

• Резистор и проводник
  $$Z_{R}=R\iff Y_{G}=G$$
  $$Z_{G}={1 \over G}\iff Y_{R}={1 \over R}$$
• Конденсатор и индуктор
  $$Z_{C}={1 \over Cs}\iff Y_{L}={1 \over Ls}$$
  $$Z_{L}=Ls\iff Y_{c}=Cs$$

См. также

• Двойственность (электричество и магнетизм)
• Двойственность (машиностроение)
• Двойной импеданс
• Двойной график
• Механико-электрические аналогии
• Список дуальностей

Ссылки

• Тернер, Руфус П., Теория и практика транзисторов , Gernsback Library, Inc, Нью-Йорк, 1954, Глава 6.