Билинейная карта

В математике билинейная карта — это функция, объединяющая элементы двух векторных пространств для получения элемента третьего векторного пространства и линейная по каждому из своих аргументов. умножение матриц Примером может служить .

Определение

Векторные пространства

Позволять $V,W$ и $X$ быть тремя векторными пространствами над одним и тем же базовым полем $F$. Билинейное отображение — это функция

$$B:V\times W\to X$$

такой, что для всех $w\in W$, карта $B_{w}$

$$v\mapsto B(v,w)$$

представляет собой линейную карту из $V$ к $X,$ и для всех $v\in V$, карта $B_{v}$

$$w\mapsto B(v,w)$$

представляет собой линейную карту из $W$ к $X.$ Другими словами, когда мы фиксируем первую запись билинейной карты, позволяя изменять вторую запись, результатом является линейный оператор, и аналогично, когда мы фиксируем вторую запись.

Такая карта $B$ удовлетворяет следующим свойствам.

• Для любого $\lambda \in F$, $B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).$
• Карта $B$ является аддитивным по обеим компонентам: если $v_{1},v_{2}\in V$ и $w_{1},w_{2}\in W,$ затем $B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)$ и $B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).$

Если $V=W$ и у нас есть B ( v , w ) = B ( w , v ) для всех $v,w\in V,$ тогда мы говорим, B симметричен что . Если X — базовое поле F , то отображение называется билинейной формой , которые хорошо изучены (например: скалярное произведение , скалярное произведение и квадратичная форма ).

Модули

Определение работает без каких-либо изменений, если вместо векторных пространств над полем использовать модули над коммутативным кольцом R. F Он обобщается на n -арные функции, где собственный член является полилинейным .

Для некоммутативных колец R и S , левого R -модуля M и правого S -модуля N билинейным отображением называется отображение B : M × N → T что T является ( R , S ) -бимодулем такое , и для которого любой n из N , m ↦ B ( m , n ) является гомоморфизмом R -модуля, и для любого из M n ↦ m B ( m , n ) является гомоморфизмом S -модуля. Это удовлетворяет

B ( р ⋅ м , п ) знак равно р ⋅ B ( м , п )

B ( м , п ⋅ s ) знак равно B ( м , п ) ⋅ s

для всех m в M , n в N , r в R и s в S , а также B является аддитивным в каждом аргументе.

Свойства

Непосредственным следствием определения является то, что B ( v , w ) = 0 _X всякий раз, когда v = 0 _V или w = 0 _W . В этом можно убедиться, записав нулевой вектор 0 _V как 0 ⋅ 0 _V (и аналогично для 0 _W ) и переместив скаляр 0 «снаружи», перед B , по линейности.

Множество L ( V , W ; X ) всех билинейных отображений является линейным подпространством пространства ( векторного пространства , модуля ) всех отображений из V × W в X. т.е.

Если V , W , X конечномерны , то тоже и L ( V , W ; X ) . Для $X=F,$ то есть билинейных форм, размерность этого пространства равна dim V × dim W (в то время как пространство L ( V × W ; F ) линейных форм имеет размерность dim V + dim W ). Чтобы убедиться в этом, выберите основу для V и W ; тогда каждая билинейная карта может быть однозначно представлена ​​матрицей B ( e _i , f _j ) и наоборот. Теперь, если X — пространство более высокой размерности, мы, очевидно, имеем L ( V , W ; X ) = dim V × dim W × dim X. dim

Примеры

• Умножение матриц — это билинейное отображение M( m , n ) × M( n , p ) → M( m , p ) .
• Если векторное пространство V над действительными числами $\mathbb {R}$ содержит внутренний продукт , то внутренний продукт представляет собой билинейное отображение $V\times V\to \mathbb {R} .$
• В общем, для векторного пространства V над полем F билинейная форма на V аналогична билинейному отображению V × V → F .
• Если V — векторное пространство с двойственным пространством V ^∗ , то каноническое отображение оценки , b ( f , v ) = f ( v ) является билинейным отображением из V ^∗ × V к базовому полю.
• Пусть V и W — векторные пространства над одним и тем же базовым полем F . Если f является членом V ^∗ и член W ​ ^∗ , то b ( v , w ) = f ( v ) g ( w ) определяет билинейное отображение V × W → F .
• Перекрестное произведение в $\mathbb {R} ^{3}$ это билинейная карта $\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.$
• Позволять $B:V\times W\to X$ быть билинейным отображением, и $L:U\to W$ — линейное отображение , то ( v , u ) ↦ B ( v , Lu ) — билинейное отображение V × U. на

Непрерывность и отдельная непрерывность

Предполагать $X,Y,$ и $Z$ являются топологическими векторными пространствами и пусть $b:X\times Y\to Z$ быть билинейным отображением. Тогда b говорят, что раздельно непрерывен, если выполняются следующие два условия:

1. для всех $x\in X,$ карта $Y\to Z$ данный $y\mapsto b(x,y)$ является непрерывным;
2. для всех $y\in Y,$ карта $X\to Z$ данный $x\mapsto b(x,y)$ является непрерывным.

Многие отдельно непрерывные билинейные, которые не являются непрерывными, удовлетворяют дополнительному свойству: гипонепрерывности . Все непрерывные билинейные отображения гипонепрерывны.

Достаточные условия для непрерывности

Многие билинейные карты, встречающиеся на практике, по отдельности непрерывны, но не все из них непрерывны. Перечислим здесь достаточные условия непрерывности отдельно непрерывного билинейного отображения.

• Если X — пространство Бэра и Y метризуемо , то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение $b:X\times Y\to Z$ является непрерывным.
• Если $X,Y,{\text{ and }}Z$ являются сильными двойственными пространствами Фреше , то каждое отдельно непрерывное билинейное отображение $b:X\times Y\to Z$ является непрерывным.
• Если билинейное отображение непрерывно в точке (0, 0), то оно непрерывно всюду.

Карта состава

См. Также: Топология равномерной сходимости.

Позволять $X,Y,{\text{ and }}Z$ — локально выпуклые хаусдорфовы пространства и пусть $C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)$ быть композиционной картой, определяемой $C(u,v):=v\circ u.$ В общем, билинейное отображение $C$ не является непрерывным (какими бы топологиями ни были заданы пространства линейных отображений). Однако мы имеем следующие результаты:

Присвойте всем трем пространствам линейных отображений одну из следующих топологий:

1. дать всем трем топологию ограниченной сходимости;
2. дать всем трем топологию компактной сходимости ;
3. дать всем трем топологию поточечной сходимости .

• Если $E$ является равнонепрерывным подмножеством $L(Y;Z)$ тогда ограничение $C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)$ является непрерывным для всех трех топологий.
• Если $Y$ это бочкообразное пространство , тогда для каждой последовательности $\left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ сходящиеся к $u$ в $L(X;Y)$ и каждая последовательность $\left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ сходящиеся к $v$ в $L(Y;Z),$ последовательность $\left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ сходится к $v\circ u$ в $L(Y;Z).$

См. также

• Тензорное произведение — математические операции над векторными пространствами.
• Полуторалинейная форма - обобщение билинейной формы.
• Билинейная фильтрация — метод интерполяции функций на двумерной сетке. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Мультилинейная карта - векторная функция нескольких векторов, линейная по каждому аргументу.

Библиография

• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

Внешние ссылки

• «Билинейное отображение» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]