Теорема Голди

В математике является теорема Голди основным структурным результатом теории колец , доказанным Альфредом Голди в 1950-х годах. То, что сейчас называется правым кольцом Голди, представляет собой кольцо R , которое имеет конечную равномерную размерность («конечный ранг») как правый модуль над собой и удовлетворяет условию возрастающей цепи на правых аннуляторах подмножеств R .

Теорема Голди утверждает, что полупервичные правые кольца Голди — это в точности те кольца, которые имеют полупростое артиново правое классическое кольцо частных . Структура этого кольца частных тогда полностью определяется теоремой Артина-Веддерберна .

В частности, теорема Голди применима к полупервичным нётеровым справа кольцам , поскольку по определению нётеровы справа кольца имеют условие возрастающей цепи на всех правых идеалах. Этого достаточно, чтобы гарантировать, что нётерово справа кольцо является правым Голди. Обратное неверно: каждая правая область Ора является правой областью Голди, а значит, и каждая коммутативная область целостности .

Следствием теоремы Голди, опять же принадлежащей Голди, является то, что каждое полупервичное кольцо главных правых идеалов изоморфно конечной прямой сумме колец простых главных правых идеалов. Каждое простое кольцо главных правых идеалов изоморфно кольцу матриц над правой областью Оре .

доказательства

Это набросок характеристики, упомянутой во введении. Его можно найти в ( Lam 1999 , стр.324).

• Если R — полупервичное правое кольцо Голди, то оно является правым порядком в полупростом кольце:
  • Существенными правыми идеалами R регулярный являются именно те, которые содержат элемент .
  • нет ненулевых ниль-идеалов В R .
  • R — неособое справа кольцо .
  • Из предыдущих наблюдений следует, что R — правое кольцо Оре , поэтому его правое классическое кольцо частных Q ^р существует. Также из предыдущих наблюдений Q ^р является полупростым кольцом . Таким образом , R является правым порядком в Q ^р .
• Если R — правый порядок в полупростом кольце Q , то он полупервичен справа Голди:
  • Любой правильный порядок в нётеровом кольце (например, Q ) является правым Голди.
  • Любой правый порядок в нётеровом полупервичном кольце (например, Q ) сам по себе является полупервичным.
  • Таким образом, R полупервичен справа Голди.

Ссылки

• Коутиньо, СК; МакКоннелл, Джей Си (2003). «Поиски частных колец (некоммутативных нётеровых колец». American Mathematical Monthly . 110 (4): 298–313. CiteSeerX   10.1.1.296.8947 . doi : 10.2307/3647879 . JSTOR   3647879 .
• Голди, AW (1958). «Строение простых колец в условиях восходящей цепи». Учеб. Лондонская математика. Соц . 8 (4): 589–608. дои : 10.1112/plms/s3-8.4.589 .
• Голди, AW (1960). «Полупервичные кольца с максимальными условиями». Учеб. Лондонская математика. Соц . 10 : 201–220. дои : 10.1112/plms/s3-10.1.201 .
• Херштейн, Индиана (1969). Темы теории колец . Чикагские лекции по математике. Чикаго, Иллинойс: Чикагский университет. Пр. стр. 61–86 . ISBN  978-0-226-32802-7 .
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98428-5 , МР   1653294

Внешние ссылки

• Страница PlanetMath, посвященная теореме Голди
• Страница PlanetMath о кольце Голди