Состояние руды

В математике , особенно в области алгебры , известной как теория колец , условие Оре — это условие, введенное Ойстейном Оре в связи с вопросом о расширении за пределы коммутативных колец построения поля частных или, в более общем смысле, локализации кольца. . Правое условие Оре для мультипликативного подмножества S кольца состоит в том , R что для a ∈ R и s ∈ S пересечение aS ∩ sR ≠ ∅ . (Некоммутативная) область , для которой набор ненулевых элементов удовлетворяет правому условию Оре, называется правой областью Оре . Левый регистр определяется аналогично. ^[1]

Общая идея

Цель – построить правое кольцо дробей R [ S ⁻¹] относительно мультипликативного подмножества S . Другими словами, мы хотим работать с элементами формы как ⁻¹ и имеют кольцевую структуру на множестве R [ S ⁻¹]. Проблема в том, что нет очевидной интерпретации продукта ( так как ⁻¹)( BT ⁻¹); действительно, нам нужен метод для «перемещения » ⁻¹ прошлое б . Это означает, что нам нужно иметь возможность переписать s ⁻¹б как продукт б ₁ с ₁⁻¹. ^[2] Предположим , что ⁻¹б = б ₁ с ₁⁻¹ затем умножив слева на s и справа на s ₁ , получим bs ₁ = sb ₁ . Следовательно, мы видим необходимость для данных a и s существования a ₁ и s ₁ с s ₁ ≠ 0 и таких, что as ₁ = sa ₁ .

Приложение

Поскольку хорошо известно, что каждая область целостности является подкольцом поля частных (посредством вложения) таким образом, что каждый элемент имеет вид rs ⁻¹ если s ненулевое, естественно задаться вопросом, может ли одна и та же конструкция взять некоммутативную область и сопоставить тело ( некоммутативное поле) с тем же свойством. Оказывается, иногда ответ «нет», то есть существуют области, которые не имеют аналогичного «правого тела дробей».

Для каждой правой области Оре R существует единственное (с точностью до естественного R -изоморфизма) тело D, содержащее R в качестве подкольца, такое, что каждый элемент D имеет вид rs ⁻¹ для r в R и s ненулевого в R . тело D называется кольцом правых дробей R R , а называется правым порядком в D. Такое понятия кольца левых дробей и левого порядка Аналогично определяются , причем элементы D имеют вид s ⁻¹р .

Важно помнить, что определение R как правильного порядка в D включает условие, что D должен полностью состоять из элементов вида rs. ⁻¹. Любая область, удовлетворяющая одному из условий Оре, может рассматриваться как подкольцо тела, однако это не означает автоматически, что R является левым порядком в D , поскольку возможно, что D имеет элемент, который не имеет вида s ⁻¹р . может Таким образом, R быть правым, а не левым доменом Оре. Интуитивно, условие того, что все элементы D имеют вид rs ⁻¹ говорит, что R является «большим» - подмодулем модуля D. R Фактически это условие гарантирует, что R _{является} существенным подмодулем D R _R . Наконец, есть даже пример области в теле, которая не удовлетворяет ни одному условию Оре (см. примеры ниже).

Другой естественный вопрос: «Когда подкольцо тела является правильным Оре?» Одна из характеристик состоит в том, что подкольцо R тела D является правой областью Оре тогда и только тогда, когда D — плоский левый R -модуль ( Lam 2007 , Ex. 10.20).

Другая, более сильная версия условий Оре обычно дается для случая, когда R не является областью определения, а именно, что должно существовать общее кратное

с = ау = бв

с u , v не делителями нуля . В этом случае теорема Ора гарантирует существование надкольца, называемого (правым или левым) классическим кольцом частных .

Примеры

Коммутативные домены автоматически являются доменами Оре, поскольку для ненулевых и b ab a ненулевой в aR ∩ bR . Правые нётеровы области, такие как правые области главных идеалов , также известны как правые области Оре. В более общем смысле Альфред Голди доказал, что область R является правой по Оре тогда и только тогда, когда имеет _RR конечную равномерную размерность . Верно также и то, что правые домены Безу — это правые области Оре.

Поддомен тела, который не является ни правым, ни левым. Или: если F — любое поле, и $G=\langle x,y\rangle \,$ — свободный моноид двух символов x и y , то кольцо моноида $F[G]\,$ не удовлетворяет никаким условиям Оре, но является свободным идеальным кольцом и, следовательно, действительно является подкольцом тела согласно ( Кон 1995 , Кор 4.5.9).

Мультипликативные множества

Условие Оре можно обобщить на другие мультипликативные подмножества , и оно представлено в форме учебника в ( Lam 1999 , §10) и ( Lam 2007 , §10). Подмножество S кольца R называется множеством правого знаменателя , если оно удовлетворяет следующим трем условиям для каждых a , b в R и s , t в S :

ул в S ; (Множество S . мультипликативно замкнуто )
aS ∩ sR не пусто; (Множество S перестановочно справа .)
Если sa = 0 существует некоторый u , то в S с au = 0 ; (Множество S обратимо справа .)

Если S — множество правых знаменателей, то можно построить кольцо правых дробей RS ⁻¹ аналогично коммутативному случаю. Если S считается набором регулярных элементов (те элементы a в R, что если b в R не равно нулю, то ab и ba не равны нулю), то правое условие Оре - это просто требование, чтобы S было множеством правых знаменателей. .

Многие свойства коммутативной локализации сохраняются в этой более общей ситуации. Если S — множество правых знаменателей кольца R , то левый R -модуль RS ⁻¹ плоский . Более того, если M правый R -модуль, то S -кручение, tor _S ( M ) = { m в M : ms = 0 для некоторого s в S }, является R -подмодулем, изоморфным Tor ₁ ( M , РС ⁻¹) , а модуль M ⊗ _R RS ⁻¹ естественно изоморфен модулю MS ⁻¹ состоящее из «дробей», как в коммутативном случае.

Примечания

^ Кон, премьер-министр (1991). «Глава 9.1». Алгебра . Том. 3 (2-е изд.). п. 351.
^ Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) . п. 13 . Проверено 9 мая 2012 г.

Ссылки

Кон, PM (1991), Алгебра , том. 3 (2-е изд.), Чичестер: John Wiley & Sons, стр. xii+474, ISBN 0-471-92840-2 , МР 1098018 , Збл 0719.00002
Кон, П.М. (1961), "О вложении колец в тела", Proc. Лондонская математика. Соц. , 11 : 511–530, doi : 10.1112/plms/s3-11.1.511 , МР 0136632 , Збл 0104.03203
Кон, П.М. (1995), Тела, Теория общих тел , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 57, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-43217-0 , Збл 0840.16001
Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-98428-5 , Збл 0911.16001
Лам, Цит-Юэн (2007), Упражнения с модулями и кольцами , Сборники задач по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98850-4 , МР 2278849 , Збл 1121.16001
Стенстрем, Бо (1971), Кольца и модули частных , Конспект лекций по математике, том. 237, Берлин: Springer-Verlag , стр. vii+136, doi : 10.1007/BFb0059904 , ISBN. 978-3-540-05690-4 , МР 0325663 , Збл 0229.16003

Внешние ссылки

[1] Кон, премьер-министр (1991). «Глава 9.1». Алгебра . Том. 3 (2-е изд.). п. 351.

[2] Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) . п. 13 . Проверено 9 мая 2012 г.

[1]

[2]