Безкрутильный модуль

В абстрактной алгебре модуль , M над кольцом R называется без кручения если его можно вложить в некоторое прямое произведение R. ^я. Эквивалентно, M не имеет кручения, если каждый ненулевой элемент M имеет ненулевой образ при некотором R -линейном функционале f :

f\in M^{\ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M,R),\quad f(m)\neq 0.

Это понятие было введено Хайманом Бассом . ^{[ нужна ссылка ]}

Свойства и примеры

Модуль не имеет кручения тогда и только тогда, когда каноническое отображение в свой двойник двойной

M\to M^{\ast \ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M^{\ast },R),\quad m\mapsto (f\mapsto f(m)),m\in M,f\in M^{\ast },

является инъективным . Если это отображение биективно, то модуль называется рефлексивным . По этой причине некрутильные модули еще называют полурефлексивными .

Унитарный свободный модуль не имеет кручения. В более общем смысле, прямая сумма модулей без кручения не имеет кручения.
Свободный модуль рефлексивен, если он конечно порожден , а для некоторых колец существуют также бесконечно порожденные свободные модули, являющиеся рефлексивными. Например, прямая сумма счетного числа копий целых чисел представляет собой рефлексивный модуль над целыми числами, см., например. ^[1]

Субмодуль безкрутильного модуля является безкрученным. В частности, любой проективный модуль над R не имеет кручения; любой левый идеал кольца R является левым модулем без кручения, и аналогично для правых идеалов.
Любой модуль без кручения над областью является модулем без кручения , но обратное неверно, поскольку Q -модуль без кручения — Z , который не является без кручения.
Если R — коммутативное кольцо , являющееся областью целостности , а M — конечно порожденный модуль без кручения, то M можно вложить в R ^н, и, следовательно, M не имеет кручения.
Предположим, что N — правый R -модуль, тогда его двойственный N ^∗ имеет структуру левого R -модуля. Оказывается, что любой левый R возникающий таким образом -модуль не имеет кручения (аналогично любой правый R -модуль, двойственный левому R -модулю, не имеет кручения).
В дедекиндовой области конечно порожденный модуль рефлексивен тогда и только тогда, когда он не имеет кручения. ^[2]
Пусть R — нётерово кольцо , а M рефлексивный конечно порождённый модуль над R. — Затем $M\otimes _{R}S$ рефлексивным модулем над S если S плоско , над R. является ^[3]

Связь с полунаследственными кольцами

Стивен Чейз доказал следующую характеристику полунаследственных колец в связи с модулями без кручения:

Для любого кольца R следующие условия эквивалентны: ^[4]

R полунаследственный слева.
Все правые R -модули без кручения плоские .
Кольцо R слева когерентно и удовлетворяет любому из четырех условий, которые, как известно, эквивалентны:
- Все правые идеалы R плоские.
- Все левые идеалы R плоские.
- Подмодули всех правых плоских R -модулей плоские.
- Подмодули всех левых плоских R -модулей плоские.

(Смешение левых и правых прилагательных в утверждении не является ошибкой.)

См. также

Примечание

^ Эклоф, ПК; Меклер, А.Х. (2002). Почти бесплатные модули — Теоретико-множественные методы . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 65. дои : 10.1016/s0924-6509(02)x8001-5 . ISBN 9780444504920 . S2CID 116961421 .
^ Доказательство: если M рефлексивно, он не имеет кручения, поэтому является подмодулем конечно порожденного проективного модуля и, следовательно, проективен (полунаследственное условие). И наоборот, над дедекиндовой областью конечно порожденный модуль без кручения проективен, а проективный модуль рефлексивен (существование двойственного базиса ).
^ Бурбаки 1998 , с. Глава VII, § 4, н. 2. Предложение 8.
^ Лам 1999 , стр. 146.

Ссылки

Глава VII Бурбаки, Николя (1998), Коммутативная алгебра (2-е изд.), Springer Verlag , ISBN 3-540-64239-0
Лам, Цит Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для аспирантов по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5 , МР 1653294

[1] Эклоф, ПК; Меклер, А.Х. (2002). Почти бесплатные модули — Теоретико-множественные методы . Математическая библиотека Северной Голландии. Том. 65. дои : 10.1016/s0924-6509(02)x8001-5 . ISBN 9780444504920 . S2CID 116961421 .

[2] Доказательство: если M рефлексивно, он не имеет кручения, поэтому является подмодулем конечно порожденного проективного модуля и, следовательно, проективен (полунаследственное условие). И наоборот, над дедекиндовой областью конечно порожденный модуль без кручения проективен, а проективный модуль рефлексивен (существование двойственного базиса ).

[3] Бурбаки 1998 , с. Глава VII, § 4, н. 2. Предложение 8.

[FOOTNOTELam1999p_146-4] Лам 1999 , стр. 146.

[1]

[2]

[3]

[4]