Теорема Хопкинса – Левицкого

В абстрактной алгебре , в частности в теории колец , теорема Акизуки-Хопкинса-Левицкого соединяет условие нисходящей цепи и условие возрастающей цепи в модулях над полупервичными кольцами . Кольцо R (с единицей) называется полупримарным, если R / J ( R ) полупросто и J ( R ) — нильпотентный идеал , где J ( R ) обозначает радикал Джекобсона . Теорема -модуль, то утверждает, что если R — полупримарное кольцо, а M — R три условия модуля — нетерово , артиново и «имеет композиционный ряд » — эквивалентны. Без условия полупервичности единственным истинным следствием является то, что если M имеет композиционный ряд, то M является одновременно нетеровым и артиновым.

Теорема берет свою нынешнюю форму из статьи Чарльза Хопкинса и статьи Джейкоба Левицкого , написанных в 1939 году. По этой причине ее часто цитируют как теорему Хопкинса-Левицкого . Однако Ясуо Акизуки иногда включается, поскольку он доказал результат. ^[1] для коммутативных колец несколькими годами ранее, в 1935 году.

Поскольку известно, что артиновы справа кольца полупримарны, прямым следствием теоремы является: артиново справа кольцо также нётерово справа . Аналогичное утверждение справедливо и для левых артиновых колец. В целом это не верно для артиновских модулей, поскольку существуют примеры артиновских модулей, которые не являются нётеровыми .

Другое прямое следствие состоит в том, что если R артиново справа, то R артиново слева тогда и только тогда, когда оно нётерово слева.

Эскиз доказательства

Вот доказательство следующего: пусть R — полупримарное кольцо, а M — левый R -модуль. Если M артиново или нётерово, то M имеет композиционный ряд. ^[2] ( Обратное утверждение верно для любого кольца.)

Пусть J — радикал R . Набор $F_{i}=J^{i-1}M/J^{i}M$ . модуль R - $F_{i}$ тогда можно рассматривать как $R/J$ -модуля, поскольку содержится в аннуляторе J $F_{i}$ . Каждый $F_{i}$ это полупростой $R/J$ -модуль, потому что $R/J$ является полупростым кольцом. Кроме того, поскольку J нильпотентен, только конечное число $F_{i}$ ненулевые. Если M артиново (или нётерово), то $F_{i}$ имеет конечный композиционный ряд. Собираем серию композиций из $F_{i}$ из конца в конец получаем композиционный ряд для M .

В категориях Гротендика

Существует несколько обобщений и расширений теоремы. Один касается категорий Гротендика : если G — категория Гротендика с артиновым генератором, то каждый артинов объект в G нётеров. ^[3]

См. также

Ссылки

^ Акизуки, Ясуо (1935). «Теорема о цепочке делителей и теорема о кратных» . Учеб. Физ.-матем. Соц. Япония . 17 :337-345.
^ Кон 2003 , Теорема 5.3.9.
^ Тома Албу (2010). «Семидесятилетний юбилей: теорема Хопкинса-Левицкого» . В Тома Албу (ред.). Теория колец и модулей . Спрингер. ISBN 9783034600071 .

Кон, ПМ (2003), Основная алгебра: группы, кольца и поля
Чарльз Хопкинс (1939) Кольца с условием минимальности для левых идеалов , Ann. математики. (2) 40, страницы 712–730.
Т. Лам (2001) Первый курс по некоммутативным кольцам , Springer-Verlag. стр. 55 ISBN 0-387-95183-0
Якоб Левицкий (1939) О кольцах, удовлетворяющих условию минимума правых идеалов , Compositio Mathematica, т. 7, стр. 214–222.

[1] Акизуки, Ясуо (1935). «Теорема о цепочке делителей и теорема о кратных» . Учеб. Физ.-матем. Соц. Япония . 17 :337-345.

[2] Кон 2003 , Теорема 5.3.9.

[3] Тома Албу (2010). «Семидесятилетний юбилей: теорема Хопкинса-Левицкого» . В Тома Албу (ред.). Теория колец и модулей . Спрингер. ISBN 9783034600071 .

[1]

[2]

[3]