Классификация маломерных вещественных алгебр Ли

В этом списке, связанном с математикой, Мубаракзянова представлена ​​классификация маломерных вещественных алгебр Ли , опубликованная на русском языке в 1963 году. Он дополняет статью об алгебре Ли в области абстрактной алгебры .

Английская версия и обзор этой классификации были опубликованы Поповичем и др. в 2003 году.

Классификация Мубаракзянова

Позволять ${\mathfrak {g}}_{n}$ быть $n$-мерная алгебра Ли над полем действительных чисел с генераторами $e_{1},\dots ,e_{n}$, $n\leq 4$. Для каждой алгебры ${\mathfrak {g}}$ мы приводим только ненулевые коммутаторы между базисными элементами.

Одномерный

• ${\mathfrak {g}}_{1}$, абелев .

Двумерный

• $2{\mathfrak {g}}_{1}$, абелев $\mathbb {R} ^{2}$;
• ${\mathfrak {g}}_{2.1}$, разрешимый ${\mathfrak {aff}}(1)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&0\end{pmatrix}}\,:\,a,b\in \mathbb {R} \right\}$,

$[e_{1},e_{2}]=e_{1}.$

Трехмерный

• $3{\mathfrak {g}}_{1}$, абелиан, Бьянки I ;
• ${\mathfrak {g}}_{2.1}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, разлагаемый растворимый, Бьянки III;
• ${\mathfrak {g}}_{3.1}$, алгебра Гейзенберга–Вейля, нильпотентная, Бьянки II,

$[e_{2},e_{3}]=e_{1};$

• ${\mathfrak {g}}_{3.2}$, разрешимая, Бьянки IV,

$[e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};$

• ${\mathfrak {g}}_{3.3}$, разрешимая, Бьянки V,

$[e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2};$

• ${\mathfrak {g}}_{3.4}$, разрешимая, Бьянки VI, алгебра Пуанкаре ${\mathfrak {p}}(1,1)$ когда $\alpha =-1$,

$[e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=\alpha e_{2},\quad -1\leq \alpha <1,\quad \alpha \neq 0;$

• ${\mathfrak {g}}_{3.5}$, разрешимая, Бьянки VII,

$[e_{1},e_{3}]=\beta e_{1}-e_{2},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\beta e_{2},\quad \beta \geq 0;$

• ${\mathfrak {g}}_{3.6}$, простой, Бьянки VIII, ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ),$

$[e_{1},e_{2}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{3},\quad [e_{1},e_{3}]=2e_{2};$

• ${\mathfrak {g}}_{3.7}$, простой, Бьянки IX, ${\mathfrak {so}}(3),$

$[e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{1}]=e_{2},\quad [e_{1},e_{2}]=e_{3}.$

Алгебра ${\mathfrak {g}}_{3.3}$ можно рассматривать как крайний случай ${\mathfrak {g}}_{3.5}$, когда $\beta \rightarrow \infty$, образующее сжатие алгебры Ли.

Над полем ${\mathbb {C} }$ алгебры ${\mathfrak {g}}_{3.5}$, ${\mathfrak {g}}_{3.7}$ изоморфны ${\mathfrak {g}}_{3.4}$ и ${\mathfrak {g}}_{3.6}$, соответственно.

Четырехмерный

• $4{\mathfrak {g}}_{1}$, абелева;
• ${\mathfrak {g}}_{2.1}\oplus 2{\mathfrak {g}}_{1}$, разложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{2}]=e_{1};$

• $2{\mathfrak {g}}_{2.1}$, разложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{2}]=e_{1}\quad [e_{3},e_{4}]=e_{3};$

• ${\mathfrak {g}}_{3.1}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, разложимый нильпотент,

$[e_{2},e_{3}]=e_{1};$

• ${\mathfrak {g}}_{3.2}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, разложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+e_{2};$

• ${\mathfrak {g}}_{3.3}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, разложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2};$

• ${\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, разложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=\alpha e_{2},\quad -1\leq \alpha <1,\quad \alpha \neq 0;$

• ${\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, разложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{3}]=\beta e_{1}-e_{2}\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1}+\beta e_{2},\quad \beta \geq 0;$

• ${\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, неразрешимая,

$[e_{1},e_{2}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{3},\quad [e_{1},e_{3}]=2e_{2};$

• ${\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, неразрешимая,

$[e_{1},e_{2}]=e_{3},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{1}]=e_{2};$

• ${\mathfrak {g}}_{4.1}$, неразложимый нильпотент,

$[e_{2},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2};$

• ${\mathfrak {g}}_{4.2}$, неразложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{4}]=\beta e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3},\quad \beta \neq 0;$

• ${\mathfrak {g}}_{4.3}$, неразложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2};$

• ${\mathfrak {g}}_{4.4}$, неразложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{4}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{1}+e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3};$

• ${\mathfrak {g}}_{4.5}$, неразложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{4}]=\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\beta e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\gamma e_{3},\quad \alpha \beta \gamma \neq 0;$

• ${\mathfrak {g}}_{4.6}$, неразложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{4}]=\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\beta e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\beta e_{3},\quad \alpha >0;$

• ${\mathfrak {g}}_{4.7}$, неразложимая разрешимая,

$[e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=2e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+e_{3};$

• ${\mathfrak {g}}_{4.8}$, неразложимая разрешимая,

$[e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=(1+\beta )e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{2},\quad [e_{3},e_{4}]=\beta e_{3},\quad -1\leq \beta \leq 1;$

• ${\mathfrak {g}}_{4.9}$, неразложимая разрешимая,

$[e_{2},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{1},e_{4}]=2\alpha e_{1},\quad [e_{2},e_{4}]=\alpha e_{2}-e_{3},\quad [e_{3},e_{4}]=e_{2}+\alpha e_{3},\quad \alpha \geq 0;$

• ${\mathfrak {g}}_{4.10}$, неразложимая разрешимая,

$[e_{1},e_{3}]=e_{1},\quad [e_{2},e_{3}]=e_{2},\quad [e_{1},e_{4}]=-e_{2},\quad [e_{2},e_{4}]=e_{1}.$

Алгебра ${\mathfrak {g}}_{4.3}$ можно рассматривать как крайний случай ${\mathfrak {g}}_{4.2}$, когда $\beta \rightarrow 0$, образующее сжатие алгебры Ли.

Над полем ${\mathbb {C} }$ алгебры ${\mathfrak {g}}_{3.5}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, ${\mathfrak {g}}_{3.7}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, ${\mathfrak {g}}_{4.6}$, ${\mathfrak {g}}_{4.9}$, ${\mathfrak {g}}_{4.10}$ изоморфны ${\mathfrak {g}}_{3.4}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, ${\mathfrak {g}}_{3.6}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$, ${\mathfrak {g}}_{4.5}$, ${\mathfrak {g}}_{4.8}$, ${2{\mathfrak {g}}}_{2.1}$, соответственно.

См. также

• Таблица групп Ли
• Группа простой лжи # Полная классификация

Ссылки

• Mubarakzyanov, G.M. (1963). "On solvable Lie algebras" . Izv. Vys. Ucheb. Zaved. Matematika (in Russian). 1 (32): 114–123. MR  0153714 . Zbl  0166.04104 .
• Попович, Р.О.; Бойко, В.М.; Нестеренко, МО; Лутфуллин, М.В.; и др. (2003). «Реализации вещественных маломерных алгебр Ли». Дж. Физ. А: Математика. Ген . 36 (26): 7337–7360. arXiv : math-ph/0301029 . Бибкод : 2003JPhA...36.7337P . дои : 10.1088/0305-4470/36/26/309 . S2CID   9800361 .