Группа 3D-вращения

В механике и геометрии группа трехмерных вращений , часто обозначаемая SO (3) , представляет собой группу всех вращений вокруг начала трехмерного . евклидова пространства $\mathbb {R} ^{3}$ под действием состав .

По определению, вращение вокруг начала координат — это преобразование, которое сохраняет начало координат, евклидово расстояние (поэтому это изометрия ) и ориентацию (т. е. направленность пространства). Объединение двух вращений приводит к еще одному вращению, каждое вращение имеет уникальное обратное вращение, а карта идентичности удовлетворяет определению вращения. Благодаря вышеуказанным свойствам (вдоль ассоциативного свойства составных вращений ) множество всех вращений представляет собой группу в составе.

Каждое нетривиальное вращение определяется его осью вращения (линией, проходящей через начало координат) и углом поворота. Вращения не являются коммутативными (например, поворот R на 90° в плоскости xy с последующим поворотом S на 90° в плоскости yz — это не то же самое, что поворот S с последующим R ), что делает группу 3D-вращения неабелевой группой . Более того, группа вращений имеет естественную структуру многообразия, для которого групповые операции гладко дифференцируемы , поэтому на самом деле это группа Ли . Он компактен и имеет размерность 3.

Вращения — это линейные преобразования $\mathbb {R} ^{3}$ , могут быть представлены матрицами на основе и, следовательно $\mathbb {R} ^{3}$ был выбран. В частности, если мы выберем ортонормированный базис $\mathbb {R} ^{3}$, каждое вращение описывается ортогональной матрицей 3 × 3 (т. е. матрицей 3 × 3 с вещественными элементами, которая при умножении на ее транспонирование дает единичную матрицу ) с определителем 1. Таким образом, группа SO(3) может быть отождествляется с группой этих матриц при матричном умножении . Эти матрицы известны как «специальные ортогональные матрицы», что объясняет обозначение SO (3).

Группа SO(3) используется для описания возможных вращательных симметрий объекта, а также возможных ориентаций объекта в пространстве. Его представления важны в физике, где они порождают элементарные частицы целого спина .

Длина и угол

Помимо сохранения длины, повороты также сохраняют углы между векторами. Это следует из того факта, что стандартное скалярное произведение двух векторов u и v можно записать исключительно через длину (см. закон косинусов ): $$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).$$

Отсюда следует, что каждое сохраняющее длину линейное преобразование в $\mathbb {R} ^{3}$ сохраняет скалярное произведение и, следовательно, угол между векторами. Вращения часто определяют как линейные преобразования, которые сохраняют внутренний продукт на $\mathbb {R} ^{3}$, что эквивалентно требованию сохранять длину. См. классическую группу для рассмотрения этого более общего подхода, где SO(3) является частным случаем.

Ортогональные матрицы и матрицы вращения

Основные статьи: Ортогональная матрица и Матрица вращения

Каждое вращение отображает ортонормированный базис $\mathbb {R} ^{3}$ к другому ортонормированному базису. Как и любое линейное преобразование конечномерных векторных пространств, вращение всегда можно представить матрицей . Пусть R — заданное вращение. По отношению к базису e ₁ , e ₂ , e ₃ стандартному $\mathbb {R} ^{3}$ столбцы R имеют вид ( R e ₁ , R e ₂ , R e ₃ ) . Поскольку стандартный базис ортонормирован и поскольку R сохраняет углы и длину, столбцы R образуют другой ортонормированный базис. Это условие ортонормированности можно выразить в виде

$R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,$

где Р ^Т обозначает транспонирование R , а I — размером 3 × 3 единичную матрицу . Матрицы, для которых выполняется это свойство, называются ортогональными . Группа всех ортогональных матриц размера 3 × 3 обозначается O(3) и состоит из всех правильных и неправильных вращений.

Помимо сохранения длины, правильное вращение должно также сохранять ориентацию. Матрица сохранит или изменит ориентацию в зависимости от того, является ли определитель матрицы положительным или отрицательным. Для ортогональной матрицы R заметим, что det R ^Т = det R подразумевает (det R ) ² = 1 , так что det R = ±1 . Подгруппа +1 ортогональных матриц с определителем называется специальной ортогональной группой и обозначается SO(3) .

Таким образом, каждое вращение может быть однозначно представлено ортогональной матрицей с единичным определителем. Более того, поскольку композиция вращений соответствует умножению матриц , группа вращений изоморфна специальной ортогональной группе SO(3) .

Неправильные вращения соответствуют ортогональным матрицам с определителем −1 и не образуют группу, поскольку произведение двух неправильных вращений является правильным вращением.

Структура группы

Группа вращения — это группа функциональной композиции (или, что то же самое, продукт линейных преобразований ). Это подгруппа общей линейной группы, состоящей из всех обратимых линейных преобразований реального трехмерного пространства. $\mathbb {R} ^{3}$.

Более того, группа вращения неабелева . То есть порядок составления ротаций имеет значение. Например, четверть оборота вокруг положительной оси X , за которой следует четверть оборота вокруг положительной оси Y, представляет собой вращение, отличное от поворота, полученного при первом вращении вокруг y , а затем вокруг x .

Ортогональная группа, состоящая из всех правильных и несобственных вращений, порождается отражениями. Каждое собственное вращение представляет собой композицию двух отражений, что является частным случаем теоремы Картана-Дьедонне .

Полная классификация конечных подгрупп

Конечные подгруппы $\mathrm {SO} (3)$ полностью засекречены .

Каждая конечная подгруппа изоморфна любому элементу одного из двух счетных семейств плоских изометрий: циклических групп $C_{n}$ или группы диэдра $D_{2n}$или к одной из трех других групп: тетраэдрической группы $\cong A_{4}$, октаэдрическая группа $\cong S_{4}$, или группа икосаэдра $\cong A_{5}$.

Ось вращения

Основная статья: Представление оси-угла

Каждое нетривиальное правильное вращение в трех измерениях фиксирует уникальное одномерное линейное подпространство $\mathbb {R} ^{3}$ которая называется осью вращения (это теорема Эйлера о вращении ). Каждое такое вращение действует как обычное двумерное вращение в плоскости, ортогональной этой оси. Поскольку каждое двумерное вращение может быть представлено углом φ , произвольное трехмерное вращение может быть задано осью вращения вместе с углом поворота вокруг этой оси. (Технически необходимо указать ориентацию оси и указать, будет ли вращение происходить по часовой стрелке или против часовой стрелки относительно этой ориентации).

Например, вращение против часовой стрелки вокруг положительной оси z на угол φ определяется выражением

$R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Учитывая единичный вектор n в $\mathbb {R} ^{3}$ и угол φ , пусть R ( φ , n ) представляет вращение против часовой стрелки вокруг оси через n (с ориентацией, определяемой n ). Затем

• R (0, n ) — тождественное преобразование для любого n
• р ( φ , п ) знак равно р (- φ , - п )
• р ( π + φ , п ) знак равно р ( π - φ , - п ).

Используя эти свойства, можно показать, что любое вращение может быть представлено уникальным углом φ в диапазоне 0 ≤ φ ≤ π и единичным вектором n таким, что

• n произвольно, если φ = 0
• n единственен, если 0 < φ < π
• n уникально с точностью до знака , если φ = π (т. е. вращения R ( π , ± n ) идентичны).

В следующем разделе это представление вращений используется для топологической идентификации SO (3) с трехмерным реальным проективным пространством.

Топология

Основная статья: Гиперсфера вращения

Группа Ли SO(3) диффеоморфна вещественному проективному пространству. $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).$

Рассмотрим твердый шар в $\mathbb {R} ^{3}$ радиуса π (т.е. все точки $\mathbb {R} ^{3}$ на расстоянии π или меньше от начала координат). Учитывая вышесказанное, для каждой точки в этом шаре существует вращение с осью, проходящей через точку и начало координат, а угол поворота равен расстоянию точки от начала координат. Тождественное вращение соответствует точке в центре шара. Вращение на угол 𝜃 между 0 и π (не считая ни того, ни другого) происходит на одной оси на одном и том же расстоянии. Поворот на углы от 0 до — π соответствует точке на той же оси и расстоянии от начала координат, но на противоположной стороне от начала координат. Единственная оставшаяся проблема заключается в том, что два вращения на π и на − π одинаковы. Так мы идентифицируем (или «склеиваем») противоположные точки на поверхности шара. После этого отождествления мы приходим к топологическому пространству, гомеоморфному группе вращений.

Действительно, шар с отождествленными точками антиподальной поверхности является гладким многообразием и это многообразие диффеоморфно группе вращений. Оно также диффеоморфно реальному трехмерному проективному пространству. $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),$ поэтому последняя также может служить топологической моделью группы вращения.

Эти идентификации показывают, что SO(3) связан , но не просто связан . Что касается последнего, то в шаре с выявленными противоположными точками поверхности рассмотрим путь, идущий от «северного полюса» прямо через внутреннюю часть вниз к южному полюсу. Это замкнутый цикл, поскольку северный и южный полюсы идентифицированы. Эту петлю нельзя сжать до точки, так как как бы она ни деформировалась, начальная и конечная точка должны оставаться противоположными, иначе петля «разорвется». С точки зрения вращений, эта петля представляет собой непрерывную последовательность вращений вокруг оси z , начиная (например) с идентичности (центра шара), через южный полюс, прыгая к северному полюсу и снова заканчивая тождественным вращением. (т. е. серия поворотов на угол φ , где φ изменяется от 0 до 2 π ).

Удивительно, но пробежав по тропе дважды, т. е. пробежав от северного полюса вниз к южному полюсу, прыгнув обратно к северному полюсу (используя тот факт, что северный и южный полюса идентифицированы), а затем снова пробежав от северного полюса вниз к южный полюс, так что φ изменяется от 0 до 4 π , дает замкнутый контур, который можно сжать до одной точки: сначала непрерывно перемещайте пути к поверхности шара, по-прежнему дважды соединяя северный полюс с южным полюсом. Затем второй путь можно отразить на противоположную сторону, вообще не меняя путь. Теперь у нас есть обычная замкнутая петля на поверхности шара, соединяющая северный полюс сам с собой по большому кругу. Этот круг без проблем можно сжать до северного полюса. и Фокус с тарелкой подобные трюки демонстрируют это на практике.

В целом можно провести тот же аргумент, и он показывает, что фундаментальная группа SO (3) является циклической группой порядка 2 (фундаментальной группой с двумя элементами). В физических приложениях нетривиальность (более одного элемента) фундаментальной группы допускает существование объектов, известных как спиноры , и является важным инструментом в разработке теоремы спин-статистики .

Универсальным накрытием SO(3) является группа Ли под названием Spin(3) . Группа Spin(3) изоморфна специальной унитарной группе SU(2); он также диффеоморфен единичной 3-сфере S ³ и может быть понят как группа версоров ( кватернионов с абсолютным значением 1). Связь между кватернионами и вращениями, обычно используемая в компьютерной графике , объясняется в кватернионах и пространственных вращениях . Карта из С. ³ на SO(3), который идентифицирует противоположные точки S ³ является сюръективным гомоморфизмом групп Ли с ядром {±1}. два к одному Топологически это отображение является покрывающим отображением . (См. трюк с тарелкой .)

Соединение между SO(3) и SU(2)

В этом разделе мы даем две различные конструкции двукратного и сюръективного гомоморфизма SU(2) на SO(3).

Использование кватернионов единичной нормы

Основная статья: Кватернионы и пространственное вращение

Группа SU(2) изоморфна кватернионам формулой заданного единичной нормы посредством отображения, $$q=a\mathbf {1} +b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k} =\alpha +\beta \mathbf {j} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{bmatrix}}=U$$ограничено ${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ где ${\textstyle q\in \mathbb {H} }$, ${\textstyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$, ${\textstyle U\in \operatorname {SU} (2)}$, и $\alpha =a+bi\in \mathbb {C}$, $\beta =c+di\in \mathbb {C}$.

Давайте теперь определим $\mathbb {R} ^{3}$ с размахом $\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k}$. Затем можно убедиться, что если $v$ находится в $\mathbb {R} ^{3}$ и $q$ является единичным кватернионом, то $$qvq^{-1}\in \mathbb {R} ^{3}.$$

Более того, карта $v\mapsto qvq^{-1}$ представляет собой вращение $\mathbb {R} ^{3}.$ Более того, $(-q)v(-q)^{-1}$ то же самое, что $qvq^{-1}$. Это означает, что существует гомоморфизм 2:1 кватернионов единичной нормы в трехмерную группу вращения SO(3) .

Этот гомоморфизм можно определить явно: единичный кватернион q с $${\begin{aligned}q&=w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,\\1&=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2},\end{aligned}}$$отображается в матрицу вращения $$Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz-2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatrix}}.$$

Это поворот вокруг вектора ( x , y , z ) на угол 2 θ , где cos θ = w и |sin θ | знак равно ‖ ( Икс , y , z ) ‖ . Правильный знак для sin θ подразумевается, как только знаки компонентов оси фиксированы. Природа 2:1 очевидна , поскольку и , и −q Q. отображаются в один и тот же q

Использование преобразований Мёбиуса

Стереографическая проекция из сферы радиуса ⁠ 1/2 0 ⁠ , от северного полюса ( x , y , z ) = (0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) на плоскость M, заданную формулой z = − ⁠ 1/2 сечении , ⁠ координируется ( ξ . η ) , здесь показано в поперечном

Общая ссылка для этого раздела: Гельфанд, Минлос и Шапиро (1963) . Точки P на сфере

$\mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {1}{4}}\right\}$

может, за исключением северного полюса N , быть помещено во взаимно однозначную биекцию с точками S ( P ) = P' на плоскости M, определяемой z = - ⁠ 1/2 см . ⁠ , рисунок. Карта S называется стереографической проекцией .

Пусть координаты на M будут ( ξ , η ) . Линия L, проходящая через N и P, может быть параметризована как

$L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .$

Требуя, z -координата чтобы $L(t_{0})$ равно — ⁠ 1 / 2 ⁠ , находят

$t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.$

У нас есть $L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).$ Отсюда и карта

${\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\frac {x}{{\frac {1}{2}}-z}},{\frac {y}{{\frac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}$

где для дальнейшего удобства плоскость М отождествляется с комплексной плоскостью $\mathbb {C} .$

Для обратного процесса запишите L как

$L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\frac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\frac {1}{2}}\right)\right),$

и потребовать х ² + и ² + я ² = ⁠ 1 / 4 ⁠, чтобы найти s = ⁠ 1/1 ​ + х ² + ч ² ⁠ и таким образом

${\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\frac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\frac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}$

Если g ∈ SO(3) является вращением, то оно переводит точки на S в точки на S посредством своего стандартного действия Π _s ( g ) на пространстве вложения $\mathbb {R} ^{3}.$ Комбинируя это действие с S, получаем преобразование S ∘ Π _s ( g ) ∘ S ⁻¹ М ​ ,

$\zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.$

Таким образом, Π _u ( g ) является преобразованием $\mathbb {C}$ с преобразованием Π _s ( g ) связанный $\mathbb {R} ^{3}$.

Оказывается, что g ∈ SO(3), представленный таким образом как Π _u ( g ), может быть выражен как матрица Π _u ( g ) ∈ SU (2) (где обозначения переработаны, чтобы использовать то же имя для матрицы что касается трансформации $\mathbb {C}$ оно представляет). Чтобы идентифицировать эту матрицу, сначала рассмотрим поворот g _φ вокруг z оси на угол φ ,

${\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}$

Следовательно

$\zeta '={\frac {x'+iy'}{{\frac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\frac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},$

что, что неудивительно, представляет собой вращение в комплексной плоскости. Аналогичным образом, если g _θ — поворот вокруг x оси на угол θ , то

$w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},$

который после небольшой алгебры становится

$\zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.$

Эти два вращения, $g_{\phi },g_{\theta },$ соответствуют билинейным преобразованиям R таким образом , ² ≃ C ≃ M , а именно являются примерами преобразований Мёбиуса .

Общее преобразование Мёбиуса имеет вид

$\zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.$

Ротации, $g_{\phi },g_{\theta }$ сгенерировать всю SO(3) , а правила композиции преобразований Мёбиуса показывают, что любая композиция $g_{\phi },g_{\theta }$ переводится в соответствующую композицию преобразований Мёбиуса. Преобразования Мёбиуса можно представить матрицами

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,$

поскольку общий множитель α , β , γ , δ сокращается.

По той же причине матрица не определена однозначно, поскольку умножение на – I не влияет ни на определитель, ни на преобразование Мёбиуса. Законы композиции преобразований Мёбиуса следуют законам композиции соответствующих матриц. Вывод состоит в том, что каждому преобразованию Мёбиуса соответствуют две матрицы g , − g ∈ SL(2, C ) .

Используя эту переписку, можно написать

${\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Эти матрицы унитарны и, следовательно, Π _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C ) . В терминах углов Эйлера можно найти для общего вращения

${\begin{aligned}g(\phi ,\theta ,\psi )=g_{\phi }g_{\theta }g_{\psi }&={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \phi \cos \psi -\cos \theta \sin \phi \sin \psi &-\cos \phi \sin \psi -\cos \theta \sin \phi \cos \psi &\sin \phi \sin \theta \\\sin \phi \cos \psi +\cos \theta \cos \phi \sin \psi &-\sin \phi \sin \psi +\cos \theta \cos \phi \cos \psi &-\cos \phi \sin \theta \\\sin \psi \sin \theta &\cos \psi \sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},\end{aligned}}$ ( 1 )

у одного есть

${\begin{aligned}\Pi _{u}(g(\phi ,\theta ,\psi ))&=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\psi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\psi }{2}}}\end{pmatrix}}\\&=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi +\psi }{2}}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi -\psi }{2}}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi -\psi }{2}}}&\cos {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi +\psi }{2}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$ ( 2 )

Обратно, рассмотрим общую матрицу

$\pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).$

Сделайте замены

${\begin{aligned}\cos {\frac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\frac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\frac {\phi +\psi }{2}}&=\arg \alpha ,&{\frac {\psi -\phi }{2}}&=\arg \beta .&\end{aligned}}$

С заменами Π( g _{α , β} ) принимает форму правой части ( RHS ) ( 2 ), что соответствует под Π _u матрице в форме правой части ( 1 ) с тем же φ , θ , ψ . В терминах комплексных параметров α , β ,

$g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.$

Чтобы убедиться в этом, замените α . β элементы матрицы на правой части ( 2 ). После некоторых манипуляций матрица принимает форму правой части ( 1 ).

Из явной формы в терминах углов Эйлера ясно, что отображение

${\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\pm \Pi _{u}(g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}$

Только что описанный является гладким 2:1 и сюръективным гомоморфизмом группы . Следовательно, это явное описание универсального накрывающего пространства SO (3) из универсальной накрывающей группы SU(2) .

Алгебра Ли

С каждой группой Ли связана ее алгебра Ли — линейное пространство той же размерности, что и группа Ли, замкнутое относительно билинейного знакопеременного произведения, называемого скобкой Ли . Алгебра Ли SO(3) обозначается через ${\mathfrak {so}}(3)$ и состоит из всех кососимметричных размера 3 × 3 . матриц В этом можно убедиться, дифференцируя условие ортогональности , A ^Т А знак равно я , А € SO(3) . Скобка Ли из двух элементов ${\mathfrak {so}}(3)$ что касается алгебры Ли каждой группы матриц, заданной матричным коммутатором , [ A ₁ , A ₂ ] = A ₁ A ₂ − A ₂ A ₁ , который снова является кососимметричной матрицей. Скобка алгебры Ли отражает суть произведения группы Ли в смысле, уточненном формулой Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа .

Элементы ${\mathfrak {so}}(3)$ являются «бесконечно малыми генераторами» вращений, т. е. элементами касательного пространства многообразия SO(3) в единичном элементе. Если $R(\phi ,{\boldsymbol {n}})$ обозначает вращение против часовой стрелки на угол φ вокруг оси, заданной единичным вектором. ${\boldsymbol {n}},$ затем

$\forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.$

Это можно использовать, чтобы показать, что алгебра Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ (с коммутатором) изоморфна алгебре Ли $\mathbb {R} ^{3}$ (с векторным произведением ). При этом изоморфизме вектор Эйлера ${\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}$ соответствует линейному отображению ${\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}$ определяется ${\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.$

Более подробно, чаще всего подходящей основой для ${\mathfrak {so}}(3)$ поскольку трехмерное пространство векторное

${\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$

Коммутационные отношения этих базисных элементов таковы:

$[{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}$

которые согласуются с отношениями трех стандартных единичных векторов $\mathbb {R} ^{3}$ под перекрестным произведением.

Как было объявлено выше, любую матрицу в этой алгебре Ли можно отождествить с вектором Эйлера ${\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},$

${\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).$

Эту идентификацию иногда называют шляпной картой . Под этой идентификацией ${\mathfrak {so}}(3)$ скобка соответствует в $\mathbb {R} ^{3}$ к векторному произведению ,

$\left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.$

Матрица, отождествляемая с вектором ${\boldsymbol {u}}$ имеет свойство, которое

${\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},$

где в левой части мы имеем обычное умножение матриц. Это подразумевает ${\boldsymbol {u}}$ находится в нулевом пространстве кососимметричной матрицы, с которой он отождествляется, поскольку ${\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.$

Замечание об алгебрах Ли

Основная статья: Оператор углового момента

См. Также: Теория представлений SU (2) и отображение Йордана.

В представлениях алгебры Ли группа SO(3) компактна и проста ранга 1, поэтому она имеет единственный независимый элемент Казимира — квадратичную инвариантную функцию трех образующих, которая коммутирует со всеми ними. Форма Киллинга для группы вращения — это просто дельта Кронекера , и поэтому этот инвариант Казимира представляет собой просто сумму квадратов образующих: ${\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z},$ алгебры

$[{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]={\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]={\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]={\boldsymbol {J}}_{x}.$

То есть инвариант Казимира определяется выражением

${\boldsymbol {J}}^{2}\equiv {\boldsymbol {J}}\cdot {\boldsymbol {J}}={\boldsymbol {J}}_{x}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{y}^{2}+{\boldsymbol {J}}_{z}^{2}\propto {\boldsymbol {I}}.$

Для унитарных неприводимых представлений D ^дж , собственные значения этого инварианта вещественны и дискретны и характеризуют каждое конечномерное представление размерности. $2j+1$. То есть собственные значения этого оператора Казимира равны

${\boldsymbol {J}}^{2}=-j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1},$

где j — целое или полуцелое число и называется спином или угловым моментом .

Таким образом, генераторы 3 × 3 L, показанные выше, действуют на триплетное (спин 1) представление, а генераторы 2 × 2 ниже, t , действуют на дублетное представление ( спин-1/2 ). Взяв произведение D Кронекера ^1/2 многократно сам с собой, можно построить все высшие неприводимые представления D ^дж . То есть результирующие генераторы для систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях при сколь угодно большом j могут быть рассчитаны с использованием этих операторов спина и лестничных операторов .

Для любых унитарных неприводимых представлений D ^дж есть эквивалент, D ^{− j −1} . Все бесконечномерные неприводимые представления должны быть неунитарными, поскольку группа компактна.

В квантовой механике инвариант Казимира — это оператор «квадрата углового момента»; целые значения спина j характеризуют бозонные представления , а полуцелые значения — фермионные представления . Антиэрмитовые матрицы , использованные выше, используются в качестве операторов вращения после умножения на i , поэтому теперь они являются эрмитовыми (как и матрицы Паули). Таким образом, на этом языке

$[{\boldsymbol {J}}_{x},{\boldsymbol {J}}_{y}]=i{\boldsymbol {J}}_{z},\quad [{\boldsymbol {J}}_{z},{\boldsymbol {J}}_{x}]=i{\boldsymbol {J}}_{y},\quad [{\boldsymbol {J}}_{y},{\boldsymbol {J}}_{z}]=i{\boldsymbol {J}}_{x}.$

и, следовательно,

${\boldsymbol {J}}^{2}=j(j+1){\boldsymbol {I}}_{2j+1}.$

Явные выражения для этих D ^дж являются,

${\begin{aligned}\left({\boldsymbol {J}}_{z}^{(j)}\right)_{ba}&=(j+1-a)\delta _{b,a}\\\left({\boldsymbol {J}}_{x}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{b,a+1}+\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\left({\boldsymbol {J}}_{y}^{(j)}\right)_{ba}&={\frac {1}{2i}}\left(\delta _{b,a+1}-\delta _{b+1,a}\right){\sqrt {(j+1)(a+b-1)-ab}}\\\end{aligned}}$

где j произвольно и $1\leq a,b\leq 2j+1$.

Например, результирующие спиновые матрицы для спина 1 ( $j=1$) являются

${\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Однако обратите внимание, что они находятся в эквивалентном, но другом базисе, сферическом базисе , чем приведенный выше i L в декартовом базисе.

Для более высоких вращений, таких как вращение ⁠ 3 / 2 ⁠ ( $j={\tfrac {3}{2}}$):

${\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Для вращения ⁠ 5 / 2 ⁠ ( $j={\tfrac {5}{2}}$),

${\begin{aligned}{\boldsymbol {J}}_{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}}\\{\boldsymbol {J}}_{z}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Основная статья: Спин (физика) § Высшие спины

Изоморфизм с 𝖘𝖚(2)

Алгебры Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ и ${\mathfrak {su}}(2)$ изоморфны. Одна основа для ${\mathfrak {su}}(2)$ дается

${\boldsymbol {t}}_{1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{2}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {t}}_{3}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}-i&0\\0&i\end{bmatrix}}.$

Они связаны с матрицами Паули соотношением

${\boldsymbol {t}}_{i}\longleftrightarrow {\frac {1}{2i}}\sigma _{i}.$

Матрицы Паули соответствуют соглашению физиков для алгебр Ли. В этом соглашении элементы алгебры Ли умножаются на i , экспоненциальное отображение (ниже) определяется с дополнительным коэффициентом i в экспоненте, а структурные константы остаются прежними, но их определение приобретает коэффициент i . Аналогично, коммутационные отношения приобретают коэффициент i . Коммутационные соотношения для ${\boldsymbol {t}}_{i}$ являются

$[{\boldsymbol {t}}_{i},{\boldsymbol {t}}_{j}]=\varepsilon _{ijk}{\boldsymbol {t}}_{k},$

где ε _ijk — полностью антисимметричный символ с ε ₁₂₃ = 1 . Изоморфизм между ${\mathfrak {so}}(3)$ и ${\mathfrak {su}}(2)$ можно настроить несколькими способами. Для дальнейшего удобства ${\mathfrak {so}}(3)$ и ${\mathfrak {su}}(2)$ идентифицируются путем сопоставления

${\boldsymbol {L}}_{x}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{1},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{2},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}\longleftrightarrow {\boldsymbol {t}}_{3},$

и продолжая по линейности.

Экспоненциальная карта

Экспоненциальное отображение для SO(3) , поскольку SO(3) является матричной группой Ли, определенной с использованием стандартного матричного экспоненциального ряда,

${\begin{cases}\exp :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}$

Для любой кососимметричной матрицы A ∈ 𝖘𝖔(3 ) e ^А всегда находится в SO(3) . В доказательстве используются элементарные свойства матричной экспоненты

$\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.$

поскольку матрицы A и A ^Т коммутируют, это легко доказать с помощью условия кососимметричной матрицы. Этого недостаточно, чтобы показать, что 𝖘𝖔(3) является соответствующей алгеброй Ли для SO(3) и это должно быть доказано отдельно.

Уровень сложности доказательства зависит от того, как определяется матричная групповая алгебра Ли. Холл (2003) определяет алгебру Ли как набор матриц

$\left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},$

в этом случае это тривиально. Россманн (2002) использует для определения производные гладких сегментов кривой в SO(3) через тождество, взятое в тождестве, и в этом случае это сложнее.

При фиксированном A ≠ 0 e ^{лицом к лицу} , −∞ < t < ∞ — однопараметрическая подгруппа вдоль геодезической в ​​SO(3) . То, что это дает однопараметрическую подгруппу, следует непосредственно из свойств экспоненциального отображения.

Экспоненциальное отображение обеспечивает диффеоморфизм между окрестностью начала координат в 𝖘𝖔(3) и окрестностью единицы в SO(3) . Доказательство см. в разделе «Теорема о замкнутой подгруппе» .

Экспоненциальное отображение сюръективно . Это следует из того факта, что каждый R ∈ SO(3) , поскольку каждое вращение оставляет неподвижной ось ( теорема Эйлера о вращении ), и сопряжено с блочно-диагональной матрицей вида

$D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},$

такой, что A = BDB ⁻¹ , и это

$Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},$

вместе с тем фактом, что 𝖘𝖔(3) замкнуто относительно присоединенного действия SO (3) , а это означает, что BθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3) .

Так, например, легко проверить популярное тождество

$e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.$

Как показано выше, каждому элементу A ∈ 𝖘𝖔(3) соответствует вектор ω = θ u , где u = ( x , y , z ) — вектор единичной величины. Поскольку u находится в нулевом пространстве A , если теперь происходит поворот к новому базису через некоторую другую ортогональную матрицу O с u в качестве оси z , последний столбец и строка матрицы вращения в новом базисе будут равны нулю.

Таким образом, из формулы для экспоненты мы заранее знаем, что exp( OAO ^Т ) должен оставить вас фиксированным. Математически невозможно дать прямую формулу для такого базиса как функции от u , потому что его существование нарушило бы теорему о волосатом клубке ; но возможно прямое возведение в степень и дает

${\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u\cdot L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&={\boldsymbol {I}}+2cs({\boldsymbol {u\cdot L}})+2s^{2}({\boldsymbol {u\cdot L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}2\left(x^{2}-1\right)s^{2}+1&2xys^{2}-2zcs&2xzs^{2}+2ycs\\2xys^{2}+2zcs&2\left(y^{2}-1\right)s^{2}+1&2yzs^{2}-2xcs\\2xzs^{2}-2ycs&2yzs^{2}+2xcs&2\left(z^{2}-1\right)s^{2}+1\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

где ${\textstyle c=\cos {\frac {\theta }{2}}}$ и ${\textstyle s=\sin {\frac {\theta }{2}}}$. Это воспринимается как матрица вращения вокруг оси u на угол θ : ср. Формула вращения Родригеса .

Логарифмическая карта

Учитывая R ∈ SO(3) , пусть $A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)$ обозначим антисимметричную часть и пусть ${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$ Тогда логарифм R определяется выражением

$\log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.$

Это видно при рассмотрении формы смешанной симметрии формулы Родригеса:

$e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,$

где первый и последний члены в правой части симметричны.

Равномерная случайная выборка

$SO(3)$ дважды покрыта группой единичных кватернионов, изоморфной 3-сфере. Поскольку мера Хаара на единичных кватернионах представляет собой всего лишь трехмерную меру в четырех измерениях, мера Хаара на $SO(3)$ это всего лишь дальнейшее развитие трехмерной меры.

Следовательно, генерация равномерно случайного вращения в $\mathbb {R} ^{3}$ эквивалентно созданию равномерно случайной точки на 3-сфере. Это может быть достигнуто с помощью следующих $$({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))$$

где $u_{1},u_{2},u_{3}$ представляют собой равномерно случайные выборки $[0,1]$.

Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

Основная статья: формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа

Предположим, что X и Y в алгебре Ли заданы. Их экспоненты exp( X ) и exp( Y ) представляют собой матрицы вращения, которые можно умножать. Поскольку экспоненциальное отображение является сюръекцией, для некоторого Z в алгебре Ли exp( Z ) = exp( X ) exp( Y ) , и можно предварительно записать

$Z=C(X,Y),$

для C некоторое выражение в X и Y . Когда exp( X ) и exp( Y ) коммутируют, тогда Z = X + Y , имитируя поведение комплексного возведения в степень.

Общий случай дается более сложной формулой БЧХ , представляющей собой разложение в ряд вложенных скобок Ли. Для матриц скобка Ли — это та же операция, что и коммутатор , отслеживающий отсутствие коммутативности при умножении. Это общее расширение разворачивается следующим образом:

$Z=C(X,Y)=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .$

Бесконечное разложение в формуле БЧХ для SO(3) сводится к компактной форме:

$Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],$

для подходящих коэффициентов тригонометрической функции ( α , β , γ ) .

показывать

Тригонометрические коэффициенты

The (α, β, γ) are given by

$\alpha =\phi \cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\gamma ,\qquad \beta =\theta \cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\gamma ,\qquad \gamma ={\frac {\sin ^{-1}d}{d}}{\frac {c}{\theta \phi }},$

where

${\begin{aligned}c&={\frac {1}{2}}\sin \theta \sin \phi -2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}\cos(\angle (u,v)),\quad a=c\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right),\quad b=c\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right),\\d&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\angle (u,v))+c^{2}\sin ^{2}(\angle (u,v))}},\end{aligned}}$

for

$\theta =\|X\|,\quad \phi =\|Y\|,\quad \angle (u,v)=\cos ^{-1}{\frac {\langle X,Y\rangle }{\|X\|\|Y\|}}.$

The inner product is the Hilbert–Schmidt inner product and the norm is the associated norm. Under the hat-isomorphism,

$\langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} X^{\mathrm {T} }Y,$

which explains the factors for θ and φ. This drops out in the expression for the angle.

See also: Rotation formalisms in three dimensions § Rodrigues parameters and Gibbs representation

Этот составной генератор вращения имеет смысл записать как

$\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,$

чтобы подчеркнуть, что это тождество алгебры Ли .

Приведенное выше тождество справедливо для всех точных представлений 𝖘𝖔 (3) . Ядро . гомоморфизма алгебры Ли является идеалом , но 𝖘𝖔(3) , будучи простым , не имеет нетривиальных идеалов, и, следовательно, все нетривиальные представления являются точными Это справедливо, в частности, в дублетном или спинорном представлении. Таким образом, та же явная формула в более простом виде следует через матрицы Паули, ср. вывод 2×2 для SU(2) .

показывать

Случай SU(2)

The Pauli vector version of the same BCH formula is the somewhat simpler group composition law of SU(2),

$e^{ia'\left({\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}e^{ib'\left({\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}=\exp \left({\frac {c'}{\sin c'}}\sin a'\sin b'\left(\left(i\cot b'{\hat {u}}+i\cot a'{\hat {v}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}+{\frac {1}{2}}\left[i{\hat {u}}\cdot {\vec {\sigma }},i{\hat {v}}\cdot {\vec {\sigma }}\right]\right)\right),$

where

$\cos c'=\cos a'\cos b'-{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}\sin a'\sin b',$

the spherical law of cosines. (Note a', b', c' are angles, not the a, b, c above.)

This is manifestly of the same format as above,

$Z=\alpha 'X+\beta 'Y+\gamma '[X,Y],$

with

$X=ia'{\hat {u}}\cdot \mathbf {\sigma } ,\quad Y=ib'{\hat {v}}\cdot \mathbf {\sigma } \in {\mathfrak {su}}(2),$

so that

${\begin{aligned}\alpha '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}\cos b'\\\beta '&={\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin b'}{b'}}\cos a'\\\gamma '&={\frac {1}{2}}{\frac {c'}{\sin c'}}{\frac {\sin a'}{a'}}{\frac {\sin b'}{b'}}.\end{aligned}}$

For uniform normalization of the generators in the Lie algebra involved, express the Pauli matrices in terms of t-matrices, σ → 2i t, so that

$a'\mapsto -{\frac {\theta }{2}},\quad b'\mapsto -{\frac {\phi }{2}}.$

To verify then these are the same coefficients as above, compute the ratios of the coefficients,

${\begin{aligned}{\frac {\alpha '}{\gamma '}}&=\theta \cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {\alpha }{\gamma }}\\{\frac {\beta '}{\gamma '}}&=\phi \cot {\frac {\phi }{2}}&={\frac {\beta }{\gamma }}.\end{aligned}}$

Finally, γ = γ' given the identity d = sin 2c'.

Для общего случая n × n можно использовать Ref.

показывать

Случай кватерниона

The quaternion formulation of the composition of two rotations R_B and R_A also yields directly the rotation axis and angle of the composite rotation R_C = R_BR_A.

Let the quaternion associated with a spatial rotation R is constructed from its rotation axis S and the rotation angle φ this axis. The associated quaternion is given by,

$S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .$

Then the composition of the rotation R_R with R_A is the rotation R_C = R_BR_A with rotation axis and angle defined by the product of the quaternions

$A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{ and }}\quad B=\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} ,$

that is

$C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \right).$

Expand this product to obtain

$\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} \right).$

Divide both sides of this equation by the identity, which is the law of cosines on a sphere,

$\cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,$

and compute

$\tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.$

This is Rodrigues' formula for the axis of a composite rotation defined in terms of the axes of the two rotations. He derived this formula in 1840 (see page 408).

The three rotation axes A, B, and C form a spherical triangle and the dihedral angles between the planes formed by the sides of this triangle are defined by the rotation angles.

Бесконечно малые вращения

Этот раздел представляет собой отрывок из бесконечно малой матрицы вращения . [ редактировать ]

Матрица бесконечно малого вращения или матрица дифференциального вращения — это матрица, представляющая бесконечно малое вращение .

Хотя матрица вращения является ортогональной матрицей $R^{\mathsf {T}}=R^{-1}$ представляющий собой элемент $SO(n)$ ( специальная ортогональная группа ), дифференциал вращения представляет собой кососимметричную матрицу $A^{\mathsf {T}}=-A$ в касательном пространстве ${\mathfrak {so}}(n)$ ( специальная ортогональная алгебра Ли ), которая сама по себе не является матрицей вращения.

Бесконечно малая матрица вращения имеет вид

$I+d\theta \,A,$

где $I$ - единичная матрица, $d\theta$ исчезающе мало и $A\in {\mathfrak {so}}(n).$

Например, если $A=L_{x},$ представляющее бесконечно малое трехмерное вращение вокруг оси x , базовый элемент ${\mathfrak {so}}(3),$

$dL_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.$

Правила вычисления бесконечно малых матриц вращения такие же, как обычно, за исключением того, что бесконечно малые матрицы второго порядка обычно отбрасываются. Согласно этим правилам, эти матрицы не удовлетворяют всем тем же свойствам, что и обычные матрицы конечного вращения при обычном подходе к бесконечно малым числам. Оказывается, порядок применения бесконечно малых вращений не имеет значения .

Реализации вращений

Основная статья: Формализмы вращения в трех измерениях

См. также: Диаграммы SO(3).

Мы видели, что существует множество способов представления вращения:

• как ортогональные матрицы с определителем 1,
• по оси и углу поворота
• в кватернионов алгебре с версорами и отображением 3-сферы S ³ → SO(3) (см. кватернионы и пространственные вращения )
• в геометрической алгебре как ротор
• как последовательность трех вращений вокруг трех неподвижных осей; см . углы Эйлера .

Сферические гармоники

Основная статья: Сферические гармоники

См. также: Представления SO (3).

Группа SO(3) трехмерных евклидовых вращений имеет бесконечномерное представление в гильбертовом пространстве.

$L^{2}\left(\mathbf {S} ^{2}\right)=\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{\ell },\ell \in \mathbb {N} ^{+},-\ell \leq m\leq \ell \right\},$

где $Y_{m}^{\ell }$ являются сферическими гармониками . Его элементы представляют собой интегрируемые с квадратом комплексные функции. на сфере. Внутренний продукт в этом пространстве определяется выражением

$\langle f,g\rangle =\int _{\mathbf {S} ^{2}}{\overline {f}}g\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\overline {f}}g\sin \theta \,d\theta \,d\phi .$ ( Ч1 )

Если f — произвольная интегрируемая с квадратом функция, определенная на единичной сфере S ² , то это можно выразить как

$|f\rangle =\sum _{\ell =1}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{m=\ell }\left|Y_{m}^{\ell }\right\rangle \left\langle Y_{m}^{\ell }|f\right\rangle ,\qquad f(\theta ,\phi )=\sum _{\ell =1}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{m=\ell }f_{\ell m}Y_{m}^{\ell }(\theta ,\phi ),$ ( Н2 )

где коэффициенты расширения определяются выражением

$f_{\ell m}=\left\langle Y_{m}^{\ell },f\right\rangle =\int _{\mathbf {S} ^{2}}{\overline {Y_{m}^{\ell }}}f\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\overline {Y_{m}^{\ell }}}(\theta ,\phi )f(\theta ,\phi )\sin \theta \,d\theta \,d\phi .$ ( Н3 )

Действие группы Лоренца ограничивается действием SO(3) и выражается как

$(\Pi (R)f)(\theta (x),\phi (x))=\sum _{\ell =1}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{m=\ell }\sum _{m'=-\ell }^{m'=\ell }D_{mm'}^{(\ell )}(R)f_{\ell m'}Y_{m}^{\ell }\left(\theta \left(R^{-1}x\right),\phi \left(R^{-1}x\right)\right),\qquad R\in \operatorname {SO} (3),\quad x\in \mathbf {S} ^{2}.$ ( Н4 )

Это действие унитарно, то есть

$\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle =\langle f,g\rangle \qquad \forall f,g\in \mathbf {S} ^{2},\quad \forall R\in \operatorname {SO} (3).$ ( Н5 )

Д ​ ^{( ℓ )} можно получить у Д. ^{( м , н )} из вышеизложенного с использованием разложения Клебша – Гордана , но их легче напрямую выразить как экспоненту нечетномерного su (2) -представления (3-мерное - это в точности 𝖘𝖔(3) ). В этом случае пространство L ² ( С ² ) аккуратно разлагается в бесконечную прямую сумму неприводимых нечетных конечномерных представлений V _{2 i + 1} , i = 0, 1, ... согласно

$L^{2}\left(\mathbf {S} ^{2}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }V_{2i+1}\equiv \bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {span} \left\{Y_{m}^{2i+1}\right\}.$ ( Н6 )

Это характерно для бесконечномерных унитарных представлений SO(3) . Если П — бесконечномерное унитарное представление на сепарабельном гильбертово пространство, то оно распадается в прямую сумму конечномерных унитарных представлений. Таким образом, такое представление никогда не является неприводимым. Все неприводимые конечномерные представления (Π, V ) можно сделать унитарными путем соответствующего выбора скалярного произведения:

$\langle f,g\rangle _{U}\equiv \int _{\operatorname {SO} (3)}\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \,dg={\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\langle \Pi (R)f,\Pi (R)g\rangle \sin \theta \,d\phi \,d\theta \,d\psi ,\quad f,g\in V,$

где интеграл представляет собой уникальный инвариантный интеграл по SO(3), нормированный на 1 , здесь выраженный с использованием параметризации углов Эйлера . Внутренний продукт внутри интеграла — это любой внутренний продукт на V .

Обобщения

Группа вращения вполне естественным образом обобщается на n -мерное евклидово пространство : $\mathbb {R} ^{n}$ со своей стандартной евклидовой структурой. Группа всех собственных и несобственных вращений в n измерениях называется ортогональной группой O( n ), а подгруппа собственных вращений называется специальной ортогональной группой SO( n ), которая является группой Ли размерности n ( n - 1) . )/2 .

В специальной теории относительности человек работает в 4-мерном векторном пространстве, известном как пространство Минковского, а не в 3-мерном евклидовом пространстве. В отличие от евклидова пространства, пространство Минковского имеет внутренний продукт с неопределенной сигнатурой . Однако все же можно определить обобщенные вращения , сохраняющие этот внутренний продукт. Такие обобщенные вращения известны как преобразования Лоренца , а группа всех таких преобразований называется группой Лоренца .

Группу вращения SO(3) можно описать как подгруппу E ⁺ (3) , евклидова группа прямых изометрий евклидовой $\mathbb {R} ^{3}.$ Эта большая группа представляет собой группу всех движений твердого тела : каждое из них представляет собой комбинацию вращения вокруг произвольной оси и перемещения, или, другими словами, комбинацию элемента SO(3) и произвольного перемещения.

В общем, группа вращения объекта — это группа симметрии внутри группы прямых изометрий; другими словами, пересечение полной группы симметрии и группы прямых изометрий. Для киральных объектов это то же самое, что и группа полной симметрии.

См. также

• Ортогональная группа
• Угловой момент
• Координатное вращение
• Графики SO(3)
• Представления SO (3)
• углы Эйлера
• Формула вращения Родригеса
• Бесконечно малое вращение
• Группа контактов
• Кватернионы и пространственные вращения
• Твердое тело
• Сферические гармоники
• Плоскость вращения
• Группа лжи
• матрица Паули
• Трюк с тарелкой
• Оператор трехмерного вращения

Библиография

• Боас, Мэри Л. (2006), Математические методы в физических науках (3-е изд.), John Wiley & sons, стр. 120, 127, 129, 155 и 535, ISBN  978-0471198260
• Куртрайт, ТЛ ; Фэрли, Д.Б. ; Зачос, К.К. (2014), «Компактная формула для вращений как полиномов спиновой матрицы», SIGMA , 10 : 084, arXiv : 1402.3541 , Bibcode : 2014SIGMA..10..084C , doi : 10.3842/SIGMA.2014.084 , S2CID   187769 42
• Энгё, Кент (2001), «О формуле BCH в 𝖘𝖔(3)», BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi : 10.1023/A:1021979515229 , ISSN   0006-3835 , S2CID   126053191 [1 ]
• Гельфанд, ИМ ; Минлос, РА ; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения , Нью-Йорк: Pergamon Press.
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П .; Сафко, Джон Л. (2002), Классическая механика (третье изд.), Аддисон Уэсли , ISBN  978-0-201-65702-9
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666
• Холл, Брайан С. (2003). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0-387-40122-9 .
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Dover Publications, ISBN  978-0-486-47189-1
• Джоши, AW (2007), Элементы теории групп для физиков , New Age International, стр. 111 и далее, ISBN  978-81-224-0975-8
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN  0-19-859683-9
• ван дер Варден, Б.Л. (1952), Теория групп и квантовая механика , Springer Publishing, ISBN  978-3642658624 (перевод оригинального издания 1932 года «Метод теории групп в квантовой механике »).
• Варадараджан, В.С. (1984). Группы Ли, алгебры Ли и их представления . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90969-1 .
• Вельтман, М .; 'т Хоофт, Г .; де Вит, Б. (2007). «Группы Ли в физике (онлайн-лекция)» (PDF) . Проверено 24 октября 2016 г. .