Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)

В математике дает теорема Фробениуса необходимые и достаточные условия для нахождения максимального множества независимых решений переопределенной системы однородных линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка . В современных геометрических терминах для данного семейства векторных полей теорема дает необходимые и достаточные условия интегрируемости для существования слоения на максимальные целочисленные многообразия, касательные расслоения которых натянуты на данные векторные поля. Теорема обобщает теорему существования обыкновенных дифференциальных уравнений, гарантирующую, что одно векторное поле всегда порождает интегральные кривые ; Фробениус дает условия совместности, при которых интегральные кривые r векторных полей сцепляются с координатными сетками на r -мерных целочисленных многообразиях. Теорема является основой дифференциальной топологии и исчисления на многообразиях .

Контактная геометрия изучает 1-формы, максимально нарушающие условия теоремы Фробениуса. Пример показан справа.

Введение

Единая версия

Предположим, нам нужно найти траекторию частицы в подмножестве трехмерного пространства, но мы не знаем ее формулы траектории. Вместо этого мы знаем только, что его траектория удовлетворяет $adx+bdy+cdz=0$ , где $a,b,c$ являются гладкими функциями $(x,y,z)$ . Таким образом, наша единственная уверенность состоит в том, что если в какой-то момент времени частица находится в месте $(x_{0},y_{0},z_{0})$ , то его скорость в этот момент ограничена внутри плоскости уравнением $a(x_{0},y_{0},z_{0})[x-x_{0}]+b(x_{0},y_{0},z_{0})[y-y_{0}]+c(x_{0},y_{0},z_{0})[z-z_{0}]=0$

Другими словами, мы можем нарисовать «локальную плоскость» в каждой точке трехмерного пространства и знаем, что траектория частицы всегда должна касаться локальной плоскости.

Если у нас есть два уравнения ${\begin{cases}adx+bdy+cdz=0\\a'dx+b'dy+c'dz=0\end{cases}}$ тогда мы можем нарисовать две локальные плоскости в каждой точке, и их пересечение обычно представляет собой линию, что позволяет нам однозначно найти кривую, начинающуюся в любой точке. Другими словами, с помощью двух 1-форм мы можем расслоить область на кривые.

Если у нас есть только одно уравнение $adx+bdy+cdz=0$ , тогда мы сможем расслоить $\mathbb {R} ^{3}$ на поверхности, и в этом случае мы можем быть уверены, что кривая, начинающаяся на определенной поверхности, должна иметь ограничения на блуждание внутри этой поверхности. В противном случае кривая, начинающаяся в любой точке, может оказаться в любой другой точке. $\mathbb {R} ^{3}$ .

Можно представить, что мы начинаем с облака маленьких плоскостей и сшиваем их вместе, чтобы сформировать полноценную поверхность. Основная опасность заключается в том, что если мы будем стегать маленькие плоскости по две за раз, мы можем пойти по циклу и вернуться к тому, с чего начали, но с небольшим сдвигом. Если это произойдет, то мы получим не двухмерную поверхность, а трехмерную каплю. Пример показан на схеме справа.

Если одноформа интегрируема, то петли точно замыкаются сами на себя, и каждая поверхность будет двумерной. Теорема Фробениуса утверждает, что это происходит именно тогда, когда $\omega \wedge d\omega =0$ по всему домену, где $\omega :=adx+bdy+cdz$ . Обозначения определены в статье об одноформах .

Разработав аксиоматическую термодинамику, Каратеодори доказал, что если $\omega$ является интегрируемой одной формой на открытом подмножестве $\mathbb {R} ^{n}$ , затем $\omega =fdg$ для некоторых скалярных функций $f,g$ на подмножестве. В аксиоматической термодинамике это обычно называют теоремой Каратеодори. ^[1]^[2] Это можно доказать интуитивно, построив сначала маленькие плоскости согласно $\omega$ , сшиваем их вместе в слоение, а затем присваиваем каждой поверхности в слоении скалярную метку. Теперь по каждому пункту $p$ , определять $g(p)$ быть скалярной меткой поверхности, содержащей точку $p$ .

Сейчас, $dg$ представляет собой одноформу, имеющую точно такие же плоскости, как $\omega$ . Однако он везде имеет «равную толщину», а $\omega$ может иметь «неравномерную толщину». Это можно исправить скалярным масштабированием: $f$ , давая $\omega =fdg$ . Это показано справа.

Несколько единых форм

В наиболее элементарной форме теорема обращается к задаче нахождения максимального набора независимых решений регулярной системы линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка . Позволять

\left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}

быть набором $C 1$ функции, с $r < n$ и такие, что матрица $(f я k)$ имеет ранг r при вычислении в любой точке $R н$ . Рассмотрим следующую систему уравнений в частных производных для $C 2$ функция $u : R н \to Р$ :

(1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{1}\cdot \nabla u=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{2}\cdot \nabla u=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{r}\cdot \nabla u=0\end{cases}}

Ищем условия существования набора решений $u 1, ..., u n - r$ таких, что градиенты $\nabla u 1, ..., \nabla u n - r$ независимы линейно .

Теорема Фробениуса утверждает, что эта задача допускает решение локально. ^[3] тогда и только тогда, когда операторы $L k$ удовлетворяют определенному условию интегрируемости, известному как инволютивность . В частности, они должны удовлетворять соотношениям вида

L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)

для $1 \leq i, j \leq r$ и всех $C 2$ функции u , а для некоторых коэффициентов c ^к_ij ( x ), которым разрешено зависеть от x . Другими словами, коммутаторы $[L i, L j]$ должны лежать в линейной оболочке L $k в$ каждой точке. Условие инволютивности является обобщением коммутативности частных производных. Фактически стратегия доказательства теоремы Фробениуса состоит в том, чтобы сформировать линейные комбинации между операторами $L i$ так, чтобы результирующие операторы коммутировали, а затем показать, что существует система координат $y i,$ для которой это в точности частные производные с относительно $y 1, ..., y r$ .

От анализа к геометрии

Несмотря на то, что система переопределена, обычно существует бесконечно много решений. Например, система дифференциальных уравнений

{\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}

явно допускает несколько решений. Тем не менее, эти решения все еще имеют достаточную структуру, чтобы их можно было полностью описать. Первое наблюдение состоит в том, что даже если 1 _и f 2 _— два разных решения, поверхности уровня f f ₁ и f ₂ должны перекрываться. Фактически все поверхности уровня этой системы являются плоскостями в $R. 3$ вида $x - y + z = C$ , где $C$ — константа. Второе наблюдение состоит в том, что, как только поверхности уровня известны, все решения могут быть заданы через произвольную функцию. Поскольку значение решения f на поверхности уровня постоянно по определению, определите функцию C ( t ) по формуле:

f(x,y,z)=C(t){\text{ whenever }}x-y+z=t.

функция $C (t)$ И наоборот, если задана , то каждая функция f , заданная этим выражением, является решением исходного уравнения. Таким образом, из-за существования семейства поверхностей уровня решения исходного уравнения находятся во взаимно однозначном соответствии с произвольными функциями одной переменной.

Теорема Фробениуса позволяет установить аналогичное такое соответствие и для более общего случая решений задачи (1). Предположим, что $u 1, ..., un -r$ — решения задачи (1), удовлетворяющие условию независимости на градиентах. Рассмотрим наборы уровней ^[4] ( $как функции u 1, ..., un -r)$ со значениями в $R н-р$ . Если $v 1, ..., v n-r$ — еще один такой набор решений, можно показать (используя некоторую линейную алгебру и теорему о среднем значении ), что он имеет то же самое семейство множеств уровня, но, возможно, с другим выбором констант за каждый комплект. Таким образом, хотя независимые решения уравнения (1) не единственны, уравнение (1) тем не менее определяет единственное семейство множеств уровня. Как и в примере, общие решения u уравнения (1) находятся во взаимно однозначном соответствии с (непрерывно дифференцируемыми) функциями на семействе множеств уровня. ^[5]

Множества уровня, соответствующие максимальным независимым множествам решений уравнения (1), называются интегральными многообразиями , поскольку функции на совокупности всех интегральных многообразий в некотором смысле соответствуют константам интегрирования . Если известна одна из этих констант интегрирования, то известно и соответствующее решение.

Теорема Фробениуса в современном языке

Теорему Фробениуса можно более экономно переформулировать на современном языке. Первоначальная версия теоремы Фробениуса была сформулирована в терминах систем Пфаффа , которые сегодня можно перевести на язык дифференциальных форм . Альтернативная формулировка, которая несколько более интуитивна, использует векторные поля .

Формулировка с использованием векторных полей

В формулировке векторного поля теорема утверждает, что интегрируемо ( или инволютивно подрасслоение касательного расслоения многообразия ) тогда и только тогда, когда оно возникает из регулярного слоения . В этом контексте теорема Фробениуса связывает интегрируемость со слоением; Для формулировки теоремы оба понятия должны быть четко определены.

Начнем с того, что отметим, что произвольное гладкое векторное поле $X$ на коллекторе $M$ определяет семейство кривых , его целочисленные кривые $u:I\to M$ (для интервалов $I$ ). Это решения ${\dot {u}}(t)=X_{u(t)}$ , представляющая собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , разрешимость которой гарантируется теоремой Пикара–Линделефа . Если векторное поле $X$ нигде не равен нулю, то оно определяет одномерное подрасслоение касательного расслоения $M$ , а интегральные кривые образуют регулярное слоение $M$ . Таким образом, одномерные подрасслоения всегда интегрируемы.

Если размерность подрасслоения больше единицы, необходимо наложить условие.Говорят, что подрасслоение $E\subset TM$ касательного расслоения $TM$ интегрируема ) , (или инволютивна если для любых двух векторных полей $X$ и $Y$ принимая значения в $E$ , скобка Лия $[X,Y]$ принимает значения в $E$ также. Это понятие интегрируемости необходимо определять только локально; то есть существование векторных полей $X$ и $Y$ и их интегрируемость необходимо определять только на подмножествах $M$ .

Существует несколько определений слоения . Здесь мы используем следующее:

Определение. p класс -мерный, C ^р Слоением n -мерного многообразия M называется разложение M в объединение непересекающихся связных подмногообразий { L _α } _{αε A} , называемых слоями слоения, со следующим свойством: каждая точка в M имеет окрестность U и система локального, класс С ^р координаты х =( х ¹, ⋅⋅⋅, х ^н) : U → R ^н такие, что для каждого листа L _α компоненты U ∩ L _α описываются уравнениями x ^{р +1}= константа, ⋅⋅⋅, х ^н= константа. Слоение обозначается ${\mathcal {F}}$ знак равно { L _α } _{αε А} . ^[6]

Тривиально, слоение любое $M$ определяет интегрируемое подрасслоение, поскольку если $p\in M$ и $N\subset M$ является листом слоения, проходящим через $p$ затем $E_{p}=T_{p}N$ является интегрируемым. Теорема Фробениуса утверждает, что верно и обратное:

Учитывая приведенные выше определения, теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение $E$ интегрируемо тогда и только тогда, когда подрасслоение $E$ возникает в результате регулярного слоения $M$ .

Формулировка дифференциальных форм

Пусть U — открытое множество в многообразии $M$ , $Ω 1 (U)$ — пространство гладких дифференцируемых -форм на U , а F — подмодуль Ω $11 (U)$ ранга r U ранг постоянен по значению над , причем . Теорема Фробениуса утверждает, что тогда и интегрируема только тогда, когда для каждого $p$ из $U$ слой F F _p порождается r точными дифференциальными формами .

Геометрически теорема утверждает, что интегрируемый модуль $1$ -форм ранга r коразмерности r — это то же самое, что слоение . Соответствие определению в терминах векторных полей, данному во введении, следует из тесной связи дифференциальных форм с производными Ли . Теорема Фробениуса — один из основных инструментов изучения векторных полей и слоений.

Таким образом, существуют две формы теоремы: одна, которая оперирует распределениями , то есть гладкими подрасслоениями D касательного расслоения TM ; который оперирует подрасслоениями градуированного кольца $Ω(M)$ всех форм на M. и другой , Эти две формы связаны двойственностью. Если D — гладкое касательное распределение на $M$ , то аннулятор D , I ( D ) состоит из всех форм $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ (для любого $k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}$ ) такой, что

\alpha (v_{1},\dots ,v_{k})=0

для всех $v_{1},\dots ,v_{k}\in D$ . Множество I ( D ) образует подкольцо и, по сути, идеал в $Ω(M)$ . Кроме того, используя определение внешней производной , можно показать, что I ( D ) замкнуто относительно внешнего дифференцирования (это дифференциальный идеал ) тогда и только тогда, когда D инволютивен. Следовательно, теорема Фробениуса принимает эквивалентную форму, согласно которой $I (D)$ замкнута относительно внешнего дифференцирования тогда и только тогда, когда D интегрируемо.

Обобщения

Теорему можно обобщить различными способами.

Бесконечные размеры

Одно бесконечномерное обобщение состоит в следующем. ^[7] Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства , а $A \subset X, B \subset Y$ — пара открытых множеств . Позволять

F:A\times B\to L(X,Y)

— непрерывно дифференцируемая функция декартова произведения наследующего дифференцируемую структуру включения в X × Y ) в пространство $L (X, Y)$ непрерывных линейных преобразований X $от$ в Y. ( Дифференцируемое отображение u : A → B является решением дифференциального уравнения

(1)\quad y'=F(x,y)

если

\forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).

Уравнение (1) вполне интегрируемо, если для каждого $(x_{0},y_{0})\in A\times B$ , существует окрестность U точки x ₀ такая, что (1) имеет единственное решение $u (x),$ определенное на U , такое, что u ( x ₀ ) = y ₀ .

Условия теоремы Фробениуса зависят от того, ли основное поле является $R$ или $C$ . Если это R , то предположим, что F непрерывно дифференцируемо. Если это $C$ , то предположим, что F дважды непрерывно дифференцируема. Тогда (1) вполне интегрируемо в каждой точке $A \times B$ тогда и только тогда, когда

D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})

для $s1 , s2 \in X.$ всех Здесь $D 1$ (соответственно $D 2$ ) обозначает частную производную по первой (соответственно второй) переменной; скалярное произведение обозначает действие линейного оператора $F (x, y) \in L (X, Y)$ , а также действия операторов $D 1 F (x, y) \in L (X, L (X, Y )))$ и $D 2 F (Икс, y) \in L (Y, L (Икс, Y) )$ .

Банаховы многообразия

Бесконечномерная версия теоремы Фробениуса справедлива и на банаховых многообразиях . ^[8] Утверждение по существу такое же, как и конечномерная версия.

Пусть $M$ — банахово многообразие класса не ниже C ². Пусть $E$ — подрасслоение касательного расслоения к $M$ . Расслоение $E$ является инволютивным , если для каждой точки $p \in M$ и пары сечений $X$ и Y из $E$ , определенных в окрестности точки p , скобка Ли $X$ и Y , вычисленная в точке p , лежит в $E p$ :

[X,Y]_{p}\in E_{p}

С другой стороны, $E$ интегрируемо образ , если для каждого $p \in M$ существует погруженное подмногообразие $: N \to M,$ которого содержит p , такое, что дифференциал φ $φ$ является изоморфизмом TN с $φ -1 Э.$ .

Теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение $E$ интегрируемо тогда и только тогда, когда оно инволютивно.

Голоморфные формы

Утверждение теоремы остается верным для голоморфных 1-форм на комплексных многообразиях — многообразиях над $C$ с биголоморфными функциями перехода . ^[9]

В частности, если $\omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}$ являются r линейно независимыми голоморфными 1-формами на открытом множестве в $C н$ такой, что

d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}

для некоторой системы голоморфных 1-форм $ψ дж i, 1 \leq i, j \leq r$ , то существуют голоморфные функции f _i^дж и $г я$ такой, что в возможно меньшей области

\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.

Этот результат локально справедлив в том же смысле, что и другие версии теоремы Фробениуса. В частности, тот факт, что это было сказано для областей в $C н$ не является ограничительным.

Формы высших степеней

Это утверждение не обобщает формы более высокой степени, хотя существует ряд частных результатов, таких как теорема Дарбу и теорема Картана-Келера .

История

Несмотря на то, что теорема названа в честь Фердинанда Георга Фробениуса , ее впервые доказали Альфред Клебш и Федор Деана . Дина был первым, кто установил достаточные условия теоремы, а Клебш разработал необходимые условия. Фробениус отвечает за применение теоремы к системам Пфаффа , тем самым открывая путь для ее использования в дифференциальной топологии.

Приложения

В классической механике интегрируемость уравнений связи системы определяет, является ли система голономной или неголономной .
В микроэкономической теории теорема Фробениуса может быть использована для доказательства существования решения проблемы интегрируемости функций спроса .

Аксиоматическая термодинамика Каратеодори.

В классической термодинамике теорема Фробениуса может использоваться для построения энтропии и температуры в формализме Каратеодори. ^[1]^[10]

В частности, Каратеодори рассматривал термодинамическую систему (конкретнее можно представить себе газовый поршень), которая может взаимодействовать с внешним миром либо посредством теплопроводности (например, поджигание поршня), либо посредством механической работы (толкание на поршень). Затем он определил «адиабатический процесс» как любой процесс, которому система может подвергаться без теплопроводности, и определил отношение « адиабатической доступности » следующим образом: если система может перейти из состояния А в состояние Б после адиабатического процесса, то $B$ адиабатически доступен из $A$ . Напишите это как $A\succeq B$ .

Теперь предположим, что

Для любой пары состояний $A,B$ , хотя бы один из $A\succeq B$ и $B\succeq A$ держит.
Для любого государства $A$ , и любая окрестность $A$ , существует государство $B$ по соседству, такой, что $B$ адиабатически недоступен из $A$ .

Затем мы можем разделить пространство состояний на подмножества состояний, которые взаимно адиабатически доступны. При мягких предположениях о гладкости $\succeq$ , каждое подмножество представляет собой многообразие коразмерности 1. Назовем эти многообразия «адиабатическими поверхностями».

По первому закону термодинамики существует скалярная функция $U$ («внутренняя энергия») в пространстве состояний, такая, что $dU=\delta W+\delta Q=\sum _{i}X_{i}dx_{i}+\delta Q$ где $X_{1}dx_{1},...,X_{n}dx_{n}$ возможные способы выполнения механической работы в системе. Например, если система представляет собой баллон с идеальным газом, то $\delta W=-pdV$ .

Теперь определите одну форму в пространстве состояний. $\omega :=dU-\sum _{i}X_{i}dx_{i}$ Теперь, поскольку адиабатические поверхности касаются $\omega$ в каждой точке пространства состояний, $\omega$ интегрируема, поэтому по теореме Каратеодори существуют две скалярные функции $T,S$ в пространстве состояний, такой, что $\omega =TdS$ . Это функции температуры и энтропии с точностью до мультипликативной константы.

Подключив законы идеального газа и отметив, что джоулево расширение является (необратимым) адиабатическим процессом, мы можем исправить знак $dS$ , и найди это $A\succeq B$ означает $S(A)\leq S(B)$ . То есть энтропия сохраняется при обратимых адиабатических процессах и возрастает при необратимых адиабатических процессах.

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Бухдал, штат Калифорния (апрель 1949 г.). «О неограниченной теореме Каратеодори и ее применении при трактовке второго закона термодинамики» . Американский журнал физики . 17 (4): 212–218. Бибкод : 1949AmJPh..17..212B . дои : 10.1119/1.1989552 . ISSN 0002-9505 .
^ Каратеодори, К. (1909). «Исследования по основам термодинамики» . Математические летописи . 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/BF01450409 . ISSN 0025-5831 .
^ Здесь локально означает внутри достаточно маленьких открытых подмножеств $R н$ . В дальнейшем, когда мы говорим о решении, мы имеем в виду локальное решение.
^ Набор уровней является подмножеством $R н$ соответствующий локусу:
$(ты 1, ..., ты п - р) знак равно (c 1, ..., c п - р)$ ,
для некоторых констант $c i$ .
^ Понятие непрерывно дифференцируемой функции на семействе множеств уровня можно сделать строгим с помощью теоремы о неявной функции .
^ Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения», Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369–418, ISSN 0040-9383 , Zbl 0293.57014
^ Дьедонне, Ж (1969). «Гл. 10.9». Основы современного анализа . Академическая пресса. ISBN 9780122155307 .
^ Ланг, С. (1995). «Глава VI: Теорема Фробениуса». Дифференциальные и римановы многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-94338-1 .
^ Кобаяши, С. ; Номидзу, К. (2009) [1969]. «Приложение 8». Основы дифференциальной геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Том. 2. Уайли. ISBN 978-0-471-15732-8 . Збл 0175.48504 .
^ Бухдал, ХА (1 марта 1960 г.). «Представления классической термодинамики» . Американский журнал физики . 28 (3): 196–201. Бибкод : 1960AmJPh..28..196B . дои : 10.1119/1.1935102 . ISSN 0002-9505 .

Ссылки

Лоусон, HB (1977). Качественная теория слоений . Серия CBMS Американского математического общества. Том. 27. АМС.
Авраам, Ральф. ; Марсден, Джеррольд Э. (2008) [1978]. «2.2.26 Теорема Фробениуса» . Основы механики (2-е изд.). Американское математическое общество. п. 93. ИСБН 9780821844380 .
Клебш, А. (1866). «О совместном интегрировании линейных уравнений в частных производных» . Дж. Рейн. Энджью. Математика (Крелле) . 1866 (65): 257–268. дои : 10.1515/crll.1866.65.257 . S2CID 122439486 .
Дина, Ф. (1840). «Об условиях интегрируемости...» Ж. Рейн Ангью. Математика . 20 :340-350. дои : 10.1515/crll.1840.20.340 . S2CID 120057555 .
Фробениус, Г. (1877). «О задаче Пфаффа». Дж. Рейн Анжью. Математика . 1877 (82): 230–315. дои : 10.1515/crll.1877.82.230 . S2CID 119848431 .

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Бухдал, штат Калифорния (апрель 1949 г.). «О неограниченной теореме Каратеодори и ее применении при трактовке второго закона термодинамики» . Американский журнал физики . 17 (4): 212–218. Бибкод : 1949AmJPh..17..212B . дои : 10.1119/1.1989552 . ISSN 0002-9505 .

[2] Каратеодори, К. (1909). «Исследования по основам термодинамики» . Математические летописи . 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/BF01450409 . ISSN 0025-5831 .

[3] Здесь локально означает внутри достаточно маленьких открытых подмножеств $R н$ . В дальнейшем, когда мы говорим о решении, мы имеем в виду локальное решение.

[4] Набор уровней является подмножеством $R н$ соответствующий локусу:
$(ты 1, ..., ты п - р) знак равно (c 1, ..., c п - р)$ ,
для некоторых констант $c i$ .

[5] Понятие непрерывно дифференцируемой функции на семействе множеств уровня можно сделать строгим с помощью теоремы о неявной функции .

[Lawson-6] Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения», Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369–418, ISSN 0040-9383 , Zbl 0293.57014

[7] Дьедонне, Ж (1969). «Гл. 10.9». Основы современного анализа . Академическая пресса. ISBN 9780122155307 .

[8] Ланг, С. (1995). «Глава VI: Теорема Фробениуса». Дифференциальные и римановы многообразия . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-94338-1 .

[9] Кобаяши, С. ; Номидзу, К. (2009) [1969]. «Приложение 8». Основы дифференциальной геометрии . Библиотека классической литературы Уайли. Том. 2. Уайли. ISBN 978-0-471-15732-8 . Збл 0175.48504 .

[10] Бухдал, ХА (1 марта 1960 г.). «Представления классической термодинамики» . Американский журнал физики . 28 (3): 196–201. Бибкод : 1960AmJPh..28..196B . дои : 10.1119/1.1935102 . ISSN 0002-9505 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]