Адиабатическая доступность

Адиабатическая доступность означает определенное соотношение между двумя состояниями равновесия ( термодинамической системы или разных таких систем). Идея была придумана Константином Каратеодори. ^[1] в 1909 году («adiabatische Erreichbarkeit») и поддержанный 90 лет спустя Эллиотом Либом и Дж. Ингвасоном в их аксиоматическом подходе к основам термодинамики. ^[2]^[3] Его также использовал Р. Джайлс в своей монографии 1964 года. ^[4]

Описание

система в состоянии Y Говорят, что адиабатически доступна из состояния X , если X может быть преобразовано в Y без переноса системой энергии в виде тепла или вещества. Однако X можно преобразовать в Y, работу над X. совершив Например, система, состоящая из одного килограмма теплой воды, адиабатически доступна из системы, состоящей из одного килограмма холодной воды, поскольку холодную воду можно механически перемешивать, чтобы нагреть ее. Однако холодная вода не может быть адиабатически доступна из теплой воды, поскольку для ее охлаждения невозможно совершить никакое количество или тип работы.

Каратеодори

Первоначальное определение Каратеодори ограничивалось обратимым квазистатическим процессом , описываемым кривой в многообразии состояний равновесия рассматриваемой системы. Он назвал такое изменение состояния адиабатическим, если бесконечно малая «тепловая» дифференциальная форма $\delta Q=dU-\sum p_{i}dV_{i}$ исчезает вдоль кривой. Другими словами, ни на каком этапе процесса тепло не попадает в систему и не покидает ее. Формулировка Каратеодори второго закона термодинамики тогда принимает форму: «Вблизи любого начального состояния существуют состояния, к которым нельзя приблизиться сколь угодно близко посредством адиабатических изменений состояния». Из этого принципа он вывел существование энтропии как функции состояния. $S$ чей дифференциал $dS$ пропорциональна форме дифференциальной теплоты $\delta Q$ , поэтому он остается постоянным при изменениях адиабатического состояния (в смысле Каратеодори). Увеличение энтропии при необратимом процессов не является очевидным в этой формулировке без дополнительных предположений.

Либ и Ингвасон

Определение, используемое Либом и Ингвасоном, весьма отличается, поскольку рассматриваемые изменения состояния могут быть результатом сколь угодно сложных, возможно, насильственных, необратимых процессов, и здесь не упоминается «тепло» или дифференциальные формы. В приведенном выше примере с водой, если перемешивание производится медленно, переход от холодной воды к теплой будет квазистатическим. Однако система, содержащая взорвавшуюся петарду, адиабатически доступна из системы, содержащей неразорвавшуюся петарду (но не наоборот), и этот переход далек от квазистатического. Определение адиабатической доступности, данное Либом и Ингвасоном, следующее: Состояние $Y$ адиабатически доступен из состояния $X$ , в символах $X\prec Y$ (произносится как X «предшествует» Y), если можно преобразовать $X$ в $Y$ таким образом, что единственным чистым воздействием процесса на окружающую среду является подъем или опускание груза (или растяжение/сжатие пружины, или приведение в движение маховика).

Термодинамическая энтропия

Определение термодинамической энтропии может быть полностью основано на некоторых свойствах соотношения $\prec$ адиабатической достижимости, которые принимаются в качестве аксиом в подходе Либа-Ингвасона. В следующем списке свойств $\prec$ оператор, система обозначается заглавной буквой, X , Y или Z. например Система X , обширные параметры которой умножаются на $\lambda$ написано $\lambda X$ . (например, для простого газа это будет означать удвоенное количество газа в удвоенном объеме при том же давлении.) Система, состоящая из двух подсистем X и Y, обозначается (X,Y). Если $X\prec Y$ и $Y\prec X$ оба верны, то каждая система может получить доступ к другой, и преобразование одной системы в другую обратимо. Это отношение эквивалентности, записанное $X{\overset {\underset {\mathrm {A} }{}}{\sim }}Y$ . В противном случае это необратимо. Адиабатическая доступность обладает следующими свойствами: ^[3]

Рефлексивность: $X{\overset {\underset {\mathrm {A} }{}}{\sim }}X$
Транзитивность: если $X\prec Y$ и $Y\prec Z$ затем $X\prec Z$
Консистенция: если $X\prec X'$ и $Y\prec Y'$ затем $(X,Y)\prec (X',Y')$
Инвариантность масштабирования: если $\lambda >0$ и $X\prec Y$ затем $\lambda X\prec \lambda Y$
Расщепление и рекомбинация: $X{\overset {\underset {\mathrm {A} }{}}{\sim }}((1-\lambda )X,\lambda X)$ для всех $0<\lambda <1$
Стабильность: если $\lim _{\epsilon \to 0}[(X,\epsilon Z_{0})\prec (Y,\epsilon Z_{1})]$ затем $X\prec Y$

Энтропия обладает тем свойством, что $S(X)\leq S(Y)$ тогда и только тогда, когда $X\prec Y$ и $S(X)=S(Y)$ тогда и только тогда, когда $X{\overset {\underset {\mathrm {A} }{}}{\sim }}Y$ в соответствии со Вторым законом. Если мы выберем два состояния $X_{0}$ и $X_{1}$ такой, что $X_{0}\prec X_{1}$ и присвоим им энтропию 0 и 1 соответственно, затем энтропию состояния X, где $X_{0}\prec X\prec X_{1}$ определяется как: ^[3]

S(X)=\sup(\lambda :((1-\lambda )X_{0},\lambda X_{1})\prec X)

Источники

^ Константин Каратеодори: Исследования по основам термодинамики , Math. , 67:355–386, 1909, ISSN 0025-5831; 1432-1807/е
^ Либ, Эллиот Х.; Ингвасон, Якоб (1999). «Физика и математика второго закона термодинамики». Физ. Представитель . 310 (1): 1–96. arXiv : cond-mat/9708200 . Бибкод : 1999PhR...310....1L . дои : 10.1016/s0370-1573(98)00082-9 . S2CID 119620408 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Либ, Эллиот Х.; Ингвасон, Якоб (2003). «Математическая структура второго закона термодинамики». Отчеты по физике . 310 (1): 1. arXiv : math-ph/0204007 . Бибкод : 1999PhR...310....1L . дои : 10.1016/S0370-1573(98)00082-9 . S2CID 119620408 .
^ Робин Джайлз: «Математические основы термодинамики», Пергамон, Оксфорд, 1964 г.

Ссылки

Тесс, Андре (2011). Принцип энтропии — термодинамика для неудовлетворенных . Спрингер-Верлаг. дои : 10.1007/978-3-642-13349-7 . ISBN 978-3-642-13348-0 . Проверено 10 ноября 2012 г. перевод Андре Тесса: Принцип энтропии – термодинамика для недовольных , Oldenbourg-Verlag 2007, ISBN 978-3-486-58428-8 . Менее математически интенсивное и более интуитивное изложение теории Либа и Ингвасона.

Либ, Эллиот Х.; Ингвасон, Якоб (2003). Гревен, А.; Келлер, Г.; Варнеке, Г. (ред.). Энтропия классической термодинамики (Принстонская серия по прикладной математике) . Издательство Принстонского университета. стр. 147–193. ISBN 9780691113388 . Проверено 10 ноября 2012 г.

Внешние ссылки

А. Тесс: Была ли это энтропия? (на немецком языке)

[1] Константин Каратеодори: Исследования по основам термодинамики , Math. , 67:355–386, 1909, ISSN 0025-5831; 1432-1807/е

[LY1999-2] Либ, Эллиот Х.; Ингвасон, Якоб (1999). «Физика и математика второго закона термодинамики». Физ. Представитель . 310 (1): 1–96. arXiv : cond-mat/9708200 . Бибкод : 1999PhR...310....1L . дои : 10.1016/s0370-1573(98)00082-9 . S2CID 119620408 .

[LY2003-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Либ, Эллиот Х.; Ингвасон, Якоб (2003). «Математическая структура второго закона термодинамики». Отчеты по физике . 310 (1): 1. arXiv : math-ph/0204007 . Бибкод : 1999PhR...310....1L . дои : 10.1016/S0370-1573(98)00082-9 . S2CID 119620408 .

[4] Робин Джайлз: «Математические основы термодинамики», Пергамон, Оксфорд, 1964 г.

[1]

[2]

[3]

[4]