Условия интегрируемости дифференциальных систем.

В математике некоторые системы уравнений в частных производных полезно формулировать с точки зрения лежащей в их основе геометрической и алгебраической структуры в терминах системы дифференциальных форм . Идея состоит в том, чтобы воспользоваться тем, как дифференциальная форма , и ограничивается подмногообразием тем фактом, что это ограничение совместимо с внешней производной . Это один из возможных подходов к некоторым переопределенным системам , например, включая пары Лакса интегрируемых систем . Система Пфаффа определяется только 1-формами , но теория включает и другие типы примеров дифференциальной системы . Более подробно, система Пфаффа — это набор 1-форм на гладком многообразии (которое присваивается равным 0, чтобы найти решения системы).

Учитывая набор дифференциальных 1-форм $\textstyle \alpha _{i},i=1,2,\dots ,k$ на $\textstyle n$-мерное многообразие $M$интегральное многообразие — это погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие, касательное пространство которого в каждой точке $\textstyle p\in N$ уничтожается (откатом) каждого $\textstyle \alpha _{i}$.

Максимальное интегральное многообразие — это погруженное (не обязательно вложенное) подмногообразие.

$i:N\subset M$

такое, что ядро ​​отображения ограничения на формы

$i^{*}:\Omega _{p}^{1}(M)\rightarrow \Omega _{p}^{1}(N)$

охватывает $\textstyle \alpha _{i}$ в каждой точке $p$ из $N$. Если вдобавок $\textstyle \alpha _{i}$ линейно независимы, то $N$ является ( $n-k$)-мерный.

Система Пфаффа называется вполне интегрируемой, если $M$ допускает слоение на максимальные целочисленные многообразия. (Обратите внимание, что слоение не обязательно должно быть регулярным , т. е. листы слоения не могут быть вложенными подмногообразиями.)

Условие интегрируемости – это условие $\alpha _{i}$ гарантировать наличие целых подмногообразий достаточно высокой размерности.

Необходимые и достаточные условия

Необходимые и достаточные условия полной интегрируемости пфаффовой системы дает теорема Фробениуса . Одна из версий гласит, что если идеал ${\mathcal {I}}$ алгебраически порожденный совокупностью αi _внутри кольца Ω( M ), является дифференциально замкнутым, другими словами

$d{\mathcal {I}}\subset {\mathcal {I}},$

тогда система допускает слоение на максимальные целочисленные многообразия. (Обратное очевидно из определений.)

Пример неинтегрируемой системы

Не каждая система Пфаффа полностью интегрируема в смысле Фробениуса. Например, рассмотрим следующую одноформу на R ³ − (0,0,0) :

$\theta =z\,dx+x\,dy+y\,dz.$

Если бы dθ находился в идеале, порожденном θ , мы бы получили из-за асимметрии клинового произведения

$\theta \wedge d\theta =0.$

Но прямой расчет дает

$\theta \wedge d\theta =(x+y+z)\,dx\wedge dy\wedge dz$

что является ненулевым кратным стандартной формы объема на R ³ . Следовательно, двумерных слоев нет и система не является полностью интегрируемой.

С другой стороны, для кривой, определяемой формулой

$x=t,\quad y=c,\qquad z=e^{-t/c},\quad t>0$

тогда θ, определенное выше, равно 0, и, следовательно, легко проверить, что кривая является решением (т. е. интегральной кривой ) для указанной выше системы Пфаффа для любой ненулевой константы c .

Примеры приложений

В римановой геометрии мы можем рассмотреть задачу нахождения ортогонального кофрейма θ ^я , т. е. совокупность 1-форм, образующих базис кокасательного пространства в каждой точке с $\langle \theta ^{i},\theta ^{j}\rangle =\delta ^{ij}$ которые замкнуты (dθ ^я = 0, я = 1, 2, ..., n ). По лемме Пуанкаре θ ^я локально будет иметь вид d x ^я для некоторых функций x ^я на многообразии и, таким образом, обеспечить изометрию открытого подмножества M с открытым подмножеством R ^н . Такое многообразие называется локально плоским.

Эта проблема сводится к вопросу о кофреймов M расслоении . Предположим, у нас был такой закрытый кофрейм

$\Theta =(\theta ^{1},\dots ,\theta ^{n}).$

Если бы у нас был еще один кофрейм $\Phi =(\phi ^{1},\dots ,\phi ^{n})$, то два кофрейма будут связаны ортогональным преобразованием

$\Phi =M\Theta$

Если 1-форма связности равна ω , то мы имеем

$d\Phi =\omega \wedge \Phi$

С другой стороны,

${\begin{aligned}d\Phi &=(dM)\wedge \Theta +M\wedge d\Theta \\&=(dM)\wedge \Theta \\&=(dM)M^{-1}\wedge \Phi .\end{aligned}}$

Но $\omega =(dM)M^{-1}$ — форма Маурера–Картана для ортогональной группы . Следовательно, он подчиняется структурному уравнению $d\omega +\omega \wedge \omega =0,$ и это всего лишь кривизна М: $\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega =0.$После применения теоремы Фробениуса можно прийти к выводу, что многообразие M локально плоское тогда и только тогда, когда его кривизна равна нулю.

Обобщения

Существует множество обобщений условий интегрируемости дифференциальных систем, которые не обязательно порождены одной формой. Наиболее известные из них — теорема Картана–Келера , которая работает только для вещественных аналитических дифференциальных систем, и теорема Картана–Кураниши о продолжении . см . в разделе «Дальнейшее чтение» Подробности . Теорема Ньюландера-Ниренберга дает условия интегрируемости почти сложной структуры.

Дальнейшее чтение

• Брайант, Черн, Гарднер, Гольдшмидт, Гриффитс, Внешние дифференциальные системы , Публикации НИИ математических наук, Springer-Verlag, ISBN   0-387-97411-3
• Олвер П. Эквивалентность, инварианты и симметрия . Кембридж. ISBN   0-521-47811-1
• Айви Т., Ландсберг Дж. М., Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью движущихся систем отсчета и внешних дифференциальных систем , Американское математическое общество, ISBN   0-8218-3375-8
• Дунайски М. Солитоны, инстантоны и твисторы , Oxford University Press, ISBN   978-0-19-857063-9