Теорема Картана–Келера

В математике теорема Картана -Келера является важным результатом об условиях интегрируемости дифференциальных систем , в случае аналитических функций , для дифференциальных идеалов. $I$. Он назван в честь Эли Картана и Эриха Келера .

Значение

Неправда, что просто имея $dI$ содержится в $I$ достаточно для интегрируемости. Существует проблема, вызванная единичными решениями . Теорема вычисляет определенные константы, которые должны удовлетворять неравенству, чтобы существовало решение.

Заявление

Позволять $(M,I)$ быть настоящей аналитической ЭЦП . Предположим, что $P\subseteq M$ является связным, $k$-мерное вещественно-аналитическое регулярное интегральное многообразие $I$ с $r(P)\geq 0$ (т.е. касательные пространства $T_{p}P$ «расширяемы» до целочисленных элементов более высокой размерности).

Более того, предположим, что существует вещественное аналитическое подмногообразие $R\subseteq M$ коразмерности $r(P)$ содержащий $P$ и такое, что $T_{p}R\cap H(T_{p}P)$ имеет размерность $k+1$ для всех $p\in P$.

Тогда существует (локально) единственная связность, $(k+1)$-мерное вещественное аналитическое интегральное многообразие $X\subseteq M$ из $I$ это удовлетворяет $P\subseteq X\subseteq R$.

Доказательства и предположения

В доказательстве используется теорема Коши-Ковалевской , поэтому аналитичность необходима.

Ссылки

• Жан Дьедонне , Элементы анализа , т. 4, (1977) Гл. XVIII.13
• Р. Брайант, С. С. Черн, Р. Гарднер, Х. Гольдшмидт, П. Гриффитс, Внешние дифференциальные системы , Springer Verlag, Нью-Йорк, 1991.

Внешние ссылки

• Алексеевский, Д.В. (2001) [1994], «Задача Пфаффа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Р. Брайант, «Девять лекций по внешним дифференциальным системам» , 1999 г.
• Картан Э., Об интегрировании систем полных дифференциальных уравнений, пер. от Д. Х. Дельфениха
• Келер Э., «Введение в теорию систем дифференциальных уравнений», пер. от Д. Х. Дельфениха