Дифференциальный идеал
В теории дифференциальных форм I дифференциальный идеал — это алгебраический идеал в кольце гладких дифференциальных форм на гладком многообразии , другими словами, градуированный идеал в смысле теории колец , который далее замкнут относительно внешнего дифференцирования d , что означает что для любой формы α из I внешняя производная d α также находится в I .
В теории дифференциальной алгебры I дифференциальный идеал в дифференциальном кольце R — это идеал, который отображается в себя каждым дифференциальным оператором.
Внешние дифференциальные системы и уравнения производных частных в
Внешняя дифференциальная система представляет собой гладкое многообразие. и дифференциальный идеал
- .
Интегральное многообразие внешней дифференциальной системы состоит из подмногообразия обладая свойством, к которому осуществляется откат всех дифференциальных форм, содержащихся в исчезает одинаково.
можно выразить Любую систему уравнений в частных производных как внешнюю дифференциальную систему с условием независимости. Предположим, что у нас есть k- го порядка для отображений система уравнений в частных производных , заданный
- .
График -струйный любого решения этой системы уравнений в частных производных является подмногообразием и пространства струи является целостным многообразием контактной системы на - реактивный пучок.
Эта идея позволяет анализировать свойства уравнений в частных производных методами дифференциальной геометрии. Например, мы можем применить теорему Картана-Келера к системе уравнений в частных производных, записав соответствующую внешнюю дифференциальную систему. Мы часто можем применять метод эквивалентности Картана к внешним дифференциальным системам для изучения их симметрий и их диффеоморфных инвариантов.
дифференциальные Совершенные идеалы
Дифференциальный идеал идеален, если он обладает свойством, что если он содержит элемент то он содержит любой элемент такой, что для некоторых .
Ссылки [ править ]
- Роберт Брайант , Филлип Гриффитс и Лукас Сюй, « На пути к геометрии дифференциальных уравнений» (файл DVI), в «Геометрии, топологии и физике», Conf. Учеб. Конспект лекций Геом. Топология под редакцией С.-Т. Яу, том. IV (1995), стр. 1–76, Междунар. Пресс, Кембридж, Массачусетс
- Роберт Брайант , Шиинг-Шен Черн , Роберт Гарднер , Филип Гриффитс , Хуберт Гольдшмидт, Внешние дифференциальные системы , Springer--Verlag, Гейдельберг, 1991.
- Томас А. Айви, Дж. М. Ландсберг, Картан для начинающих . Дифференциальная геометрия посредством подвижных рам и внешних дифференциальных систем. Второе издание. Аспирантура по математике, 175. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2016.
- Х. В. Рауденбуш-младший «Идеальная теория и алгебраические дифференциальные уравнения», Труды Американского математического общества , Vol. 36, № 2. (апрель 1934 г.), стр. 361–368. Стабильный URL: [1] два : 10.1090/S0002-9947-1934-1501748-1
- Дж. Ф. Ритт , Дифференциальная алгебра , Дувр, Нью-Йорк, 1950.