Дифференциальный идеал

В теории дифференциальных форм дифференциальный идеал I — это алгебраический идеал в кольце гладких дифференциальных форм на гладком многообразии , другими словами, градуированный идеал в смысле теории колец , который далее замкнут относительно внешнего дифференцирования d , что означает что для любой формы α из I внешняя производная d α также находится в I .

В теории дифференциальной алгебры дифференциальный идеал I в дифференциальном кольце R — это идеал, который отображается в себя каждым дифференциальным оператором.

Внешние дифференциальные системы и уравнения

Внешняя дифференциальная система представляет собой гладкое многообразие. $M$ и дифференциальный идеал

$I\subset \Omega ^{*}(M)$.

Интегральное многообразие внешней дифференциальной системы $(M,I)$ состоит из подмногообразия $N\subset M$ обладая свойством, к которому осуществляется откат $N$ всех дифференциальных форм, содержащихся в $I$ исчезает одинаково.

можно выразить Любую систему уравнений в частных производных как внешнюю дифференциальную систему с условием независимости. Предположим, что у нас есть система уравнений в частных производных k -го порядка для отображений $u:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$, заданный

$F^{r}\left(x,u,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}}\right)=0,\quad 1\leq |I|\leq k$.

График $k$-струйный $(u^{a},p_{i}^{a},\dots ,p_{I}^{a})=(u^{a}(x),{\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{i}}},\dots ,{\frac {\partial ^{|I|}u}{\partial x^{I}}})_{1\leq |I|\leq k}$ любого решения этой системы уравнений в частных производных является подмногообразием $N$ пространства струи и является целостным многообразием контактной системы $du^{a}-p_{i}^{a}dx^{i},\dots ,dp_{I}^{a}-p_{Ij}^{p}dx^{j}{}_{1\leq |I|\leq k-1}$на $k$- реактивный пучок.

Эта идея позволяет анализировать свойства уравнений в частных производных методами дифференциальной геометрии. Например, мы можем применить теорему Картана-Келера к системе уравнений в частных производных, записав соответствующую внешнюю дифференциальную систему. Мы часто можем применять метод эквивалентности Картана к внешним дифференциальным системам для изучения их симметрий и их диффеоморфных инвариантов.

идеалы

Дифференциальный идеал $I\,$ идеален, если он обладает свойством, что если он содержит элемент $a\in I$ то он содержит любой элемент $b\in I$ такой, что $b^{n}=a$ для некоторых $n>0\,$.

Ссылки

• Роберт Брайант , Филлип Гриффитс и Лукас Сюй, «На пути к геометрии дифференциальных уравнений» (файл DVI), в «Геометрии, топологии и физике», Conf. Учеб. Конспект лекций Геом. Топология под редакцией С.-Т. Яу, том. IV (1995), стр. 1–76, Междунар. Пресс, Кембридж, Массачусетс
• Роберт Брайант , Шиинг-Шен Черн , Роберт Гарднер , Филип Гриффитс , Хуберт Гольдшмидт, Внешние дифференциальные системы , Springer--Verlag, Гейдельберг, 1991.
• Томас А. Айви, Дж. М. Ландсберг, Картан для начинающих . Дифференциальная геометрия посредством подвижных рам и внешних дифференциальных систем. Второе издание. Аспирантура по математике, 175. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2016.
• Х. В. Рауденбуш-младший «Идеальная теория и алгебраические дифференциальные уравнения», Труды Американского математического общества , Vol. 36, № 2. (апрель 1934 г.), стр. 361–368. Стабильный URL: [1] два : 10.1090/S0002-9947-1934-1501748-1
• Дж. Ф. Ритт , Дифференциальная алгебра , Дувр, Нью-Йорк, 1950.