Метод эквивалентности Картана

В математике позволяющий определить , метод эквивалентности Картана — это метод дифференциальной геометрии, являются ли две геометрические структуры одинаковыми с точностью до диффеоморфизма . Например, если M и N — два римановых многообразия с метриками g и h соответственно, когда существует диффеоморфизм

$\phi :M\rightarrow N$

такой, что

$\phi ^{*}h=g$?

Хотя ответ на этот конкретный вопрос был известен в измерении 2 Гауссу , а в более высоких измерениях Кристоффелю и, возможно, Риману также , Эли Картан и его интеллектуальные наследники разработали технику ответа на аналогичные вопросы для радикально разных геометрических структур. (Например, см. алгоритм Картана – Карлхеде .)

Картан успешно применил свой метод эквивалентности ко многим таким структурам, включая проективные структуры , CR-структуры и комплексные структуры , а также якобы негеометрические структуры, такие как эквивалентность лагранжианов и обыкновенных дифференциальных уравнений . (Его методы позже были более полно развиты многими другими, такими как Д.С. Спенсер и Шиинг-Шен Черн .)

Метод эквивалентности представляет собой по существу алгоритмическую процедуру определения идентичности двух геометрических структур. Для Картана первичная геометрическая информация выражалась в кофрейме или наборе кофреймов на дифференцируемом многообразии . См. метод перемещения кадров .

Обзор

В частности, предположим, что M и N — пара многообразий, каждое из которых несет G-структуру структурной группы G . равнозначно выделению специального класса кофреймов на M и N. Это Метод Картана решает вопрос о том, существует ли локальный диффеоморфизм φ: → N , при котором G -структура на N возвращается к заданной G -структуре на M. M Проблема эквивалентности была «решена» , если можно дать полный набор структурных инвариантов для G -структуры: это означает, что такой диффеоморфизм существует тогда и только тогда, когда все структурные инварианты согласуются в подходящим образом определенном смысле.

Явно, локальные системы одной формы θ ^я и с ^я заданы на M и N соответственно и натягивают соответствующие кокасательные расслоения (т. е. являются кофреймами ). Вопрос в том, существует ли локальный диффеоморфизм φ: M → N такой, что образ кофрейма на N удовлетворяет условию

$\phi ^{*}\gamma ^{i}(y)=g_{j}^{i}(x)\theta ^{j}(x),\ (g_{j}^{i})\in G$ (1)

где коэффициент g является функцией от M, значения в группе Ли G. принимающей Например, если M и N — римановы многообразия, то G = O ( n ) — ортогональная группа и θ ^я и с ^я являются ортонормированными кофреймами M и N соответственно. Тогда вопрос о том, изометричны ли два римановых многообразия, представляет собой вопрос о том, существует ли диффеоморфизм φ, удовлетворяющий (1).

Первый шаг

Первым шагом в методе Картана является выражение отношения обратного образа (1) как можно более инвариантным способом посредством использования « продолжения ». Наиболее экономичным способом сделать это является использование G -подрасслоения PM главного пучка линейных кофреймов LM , хотя такой подход может привести к ненужным усложнениям при выполнении реальных вычислений. В частности, далее в этой статье используется другой подход. Но для целей обзора удобно придерживаться точки зрения основного пакета.

Второй шаг

Второй шаг — использовать диффеоморфную инвариантность внешней производной , чтобы попытаться изолировать любые другие инварианты более высокого порядка G -структуры. В основном получается связность в главном расслоении PM с некоторым кручением. Компоненты связи и кручения рассматриваются как инварианты задачи.

Третий шаг

Третий шаг заключается в том, что если оставшиеся коэффициенты кручения непостоянны в слоях главного расслоения PM , часто можно (хотя иногда и сложно) нормализовать их, установив их равными удобному постоянному значению и решив эти уравнения нормализации, тем самым уменьшая эффективную размерность группы G. Ли Если это происходит, человек возвращается к первому шагу, имея теперь для работы группу Ли одного более низкого измерения.

Четвертый шаг

Основной целью первых трех шагов было максимальное сокращение самой структурной группы. Предположим, что проблема эквивалентности прошла цикл достаточное количество раз, и дальнейшее сокращение невозможно. На данный момент существуют различные возможные направления, в которых ведет метод эквивалентности. Для большинства задач эквивалентности существует только четыре случая: полная редукция, инволюция, продолжение и вырождение.

Полное сокращение. Здесь структурная группа полностью сведена к тривиальной группе . Теперь эту проблему можно решить с помощью таких методов, как теорема Фробениуса . Другими словами, алгоритм успешно завершил работу.

С другой стороны, возможно, что коэффициенты кручения на волокнах ПМ постоянны . Эквивалентно, они больше не зависят от группы Ли G, потому что нормализовать больше нечего, хотя некоторое кручение все еще может быть. В трех оставшихся случаях это предполагается.

Инволюция. Проблема эквивалентности называется инволютивной (или инволюционной ), если она проходит тест Картана . По сути, это условие ранга связи, полученное на первых трех шагах процедуры. Тест Картана обобщает теорему Фробениуса о разрешимости линейных систем уравнений в частных производных первого порядка. Если кофреймы на M и N (полученные тщательным применением первых трех шагов алгоритма) согласуются и удовлетворяют тесту Картана, то две G -структуры эквивалентны. (На самом деле, насколько известно автору, кофреймы должны быть вещественно аналитическими для этого , поскольку теорема Картана-Келера требует аналитичности.)

Продление. Это самый запутанный случай. На самом деле есть два подслучая. В первом подслучайе все кручение может быть однозначно поглощено формой соединения. (Примером являются римановы многообразия, поскольку связность Леви-Чивита поглощает все кручение). Коэффициенты связности и их инвариантные производные образуют полный набор инвариантов структуры, и решается проблема эквивалентности. Однако во втором подслучайе либо невозможно поглотить все кручение, либо возникает некоторая двусмысленность (как это часто бывает при методе исключения Гаусса , например, ). Здесь, как и при исключении Гаусса, имеются дополнительные параметры, которые появляются при попытке поглотить кручение. Сами эти параметры оказываются дополнительными инвариантами задачи, поэтому структурную группу G необходимо продолжить в подгруппу струйной группы . Как только это будет сделано, мы получим новый кофрейм на расширенном пространстве и должны вернуться к первому шагу метода эквивалентности. (См. также удлинение G-структур .)

Вырождение. Из-за неравномерности некоторых условий ранга метод эквивалентности не может решить эту конкретную проблему эквивалентности. Например, рассмотрим проблему эквивалентности отображения многообразия M с единственной формой θ в другое многообразие с единственной формой γ такое, что φ*γ=θ. Необходимо учитывать нули этих единых форм, а также ранг их внешних производных в каждой точке. Метод эквивалентности может решить такие проблемы, если все ранги одинаковы, но он не всегда подходит, если ранг меняется. Конечно, в зависимости от конкретного применения, большой объем информации все же можно получить с помощью метода эквивалентности.

Ссылки

• Олвер, П.Дж. (1995). Эквивалентность, инварианты и симметрия . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-521-47811-1 .