Алгоритм Картана – Карлхеде
Алгоритм Картана -Карледе — это процедура полной классификации и сравнения римановых многообразий . Учитывая два римановых многообразия одной и той же размерности, не всегда очевидно, являются ли они локально изометрическими . [ 1 ] Эли Картан , используя свое внешнее исчисление и метод перемещения системы отсчета , показал, что всегда можно сравнивать многообразия. Карл Бранс развил метод дальше. [ 2 ] а первая практическая реализация была представлена Андерсом Карлхеде в 1980 году. [ 3 ]
Основная стратегия алгоритма — взять ковариантные производные тензора Римана . Картан показал, что в n измерениях достаточно не более n ( n +1)/2 дифференцировок. Если тензор Римана и его производные одного многообразия алгебраически совместимы с другим, то оба многообразия изометричны. Таким образом, алгоритм Картана–Карледе действует как своего рода обобщение классификации Петрова .
Потенциально большое количество производных может оказаться непомерно трудным в вычислительном отношении. Алгоритм был реализован в ранней системе символьных вычислений SHEEP , но размер вычислений оказался слишком сложным для обработки ранними компьютерными системами. [ 4 ] [ 5 ] Для большинства рассмотренных задач на самом деле требуется гораздо меньше производных, чем максимальное, и алгоритм более управляем на современных компьютерах. С другой стороны, более современного программного обеспечения не существует общедоступной версии. [ 6 ]
Физические приложения
[ редактировать ]Алгоритм Картана-Карлхеде имеет важные приложения в общей теории относительности . Одна из причин этого заключается в том, что более простое понятие инвариантов кривизны не позволяет различать пространства-времени так же хорошо, как они различают римановы многообразия . Эта разница в поведении обусловлена в конечном итоге тем фактом, что пространство-время имеет подгруппы изотропии, которые являются подгруппами группы Лоренца SO. + (1,3), которая является некомпактной группой Ли , тогда как четырехмерные римановы многообразия (т.е. с положительно определенным метрическим тензором ) имеют группы изотропии, которые являются подгруппами компактной группы Ли SO(4).
В 4-х измерениях усовершенствование Карлхеде программы Картана уменьшает максимальное количество ковариантных производных тензора Римана, необходимых для сравнения метрик, до 7. В худшем случае для этого требуется 3156 независимых компонентов тензора. [ 7 ] Известны модели пространства-времени, требующие всех семи ковариантных производных. [ 8 ] Однако для некоторых особых семейств моделей пространства-времени часто бывает достаточно гораздо меньшего количества моделей. Сейчас известно, например, что
- требуется не более одного дифференцирования для сравнения любых двух решений с нулевой пылью ,
- требуется не более двух дифференцирований Петрова Д Для сравнения любых двух вакуумных растворов ,
- требуется не более трех дифференцирований Для сравнения любых двух идеальных жидких растворов . [ 9 ]
См. также
[ редактировать ]- Исчезающее скалярное инвариантное пространство-время
- Система компьютерной алгебры
- Поля кадра в общей теории относительности
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Интерактивная геометрическая база данных включает некоторые данные, полученные в результате реализации алгоритма Картана – Карлхеде.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Олвер, Питер Дж . (1995). Эквиваленты, инварианты и симметрия . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-47811-1 .
- ^ Бранс, Карл Х. (1965), «Инвариантный подход к геометрии пространств в общей теории относительности», J. Math. Физ. , 6 : 94, Бибкод : 1965JMP.....6...94B , doi : 10.1063/1.1704268
- ^ Карлхеде, А. (1980), «Обзор геометрической эквивалентности метрик в общей теории относительности», Общая теория относительности и гравитации , 12 (9): 693, Бибкод : 1980GReGr..12..693K , doi : 10.1007/BF00771861 , S2CID 120666569
- ^ Оман, Дж. Э.; Карлхеде, А. (1980), «Компьютерная полная классификация геометрий в общей теории относительности. Первые результаты», Phys. Летт. А , 80 (4): 229, Бибкод : 1980PhLA...80..229A , номер номера : 10.1016/0375-9601(80)90007-9
- ^ Оман, Дж. Э., Руководство для CLASSI: программы классификации в общей теории относительности , Институт теоретической физики Стокгольмского университета.
- ^ Поллни, Д.; Ски, Дж. Ф.; д'Инверно, Рэй (2000). «Классификация геометрии в общей теории относительности (три части)». Сорт. Квантовая гравитация . 17 (3): 643–663, 2267–2280, 2885–2902. Бибкод : 2000CQGra..17..643P . дои : 10.1088/0264-9381/17/3/306 . S2CID 250907225 .
- ^ МакКаллум, MAH; Оман, Дж. Э. (1986), «Алгебраически независимые n-ные производные спинора римановой кривизны в общем пространстве-времени», Classical and Quantum Gravity , 3 (6): 1133, Bibcode : 1986CQGra...3.1133M , doi : 10.1088/0264- 9381/3/6/013 , S2CID 250892608
- ^ Милсон, Роберт; Пелавас, Никос (2008), «Граница Карлхеде типа N острая», Класс. Квантовая гравитация. , 25 : 012001, arXiv : 0710.0688 , doi : 10.1088/0264-9381/25/1/012001 , S2CID 15859985
- ^ Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус; Гертль, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-46136-7 .