Решение для нулевой пыли

В математической физике решение с нулевой пылью (иногда называемое нулевой жидкостью ) представляет собой лоренцево многообразие , в котором тензор Эйнштейна равен нулю . Такое пространство-время можно интерпретировать как точное решение уравнения поля Эйнштейна , в котором единственная масса-энергия, присутствующая в пространстве-времени, обусловлена каким-то безмассовым излучением .

Математическое определение

По определению тензор Эйнштейна решения с нулевой пылью имеет вид $G^{ab}=8\pi \Phi \,k^{a}\,k^{b}$ где ${\vec {k}}$ является нулевым векторным полем. Это определение имеет чисто геометрический смысл, но если мы поместим в наше пространство-время тензор энергии-импульса вида $T^{ab}=\Phi \,k^{a}\,k^{b}$ ,тогда уравнение поля Эйнштейна удовлетворяется, и такой тензор энергии-импульса имеет четкую физическую интерпретацию с точки зрения безмассового излучения. Векторное поле ${\vec {k}}$ указывает направление, в котором движется излучение; скалярный множитель $\Phi$ определяет его интенсивность.

Физическая интерпретация

С физической точки зрения нулевая пыль описывает либо гравитационное излучение , либо какое-то негравитационное излучение, описываемое релятивистской классической теорией поля (например, электромагнитное излучение ), либо комбинацию этих двух. относятся вакуумные растворы К нулевой пыли в качестве особого случая .

Явления, которые можно смоделировать с помощью решений с нулевой пылью, включают:

пучок нейтрино, который для простоты считается безмассовым (трактуется в соответствии с классической физикой),
очень высокочастотная электромагнитная волна,
пучок некогерентного электромагнитного излучения.

В частности, плоская волна некогерентного электромагнитного излучения представляет собой линейную суперпозицию плоских волн, движущихся в одном направлении, но имеющих случайно выбранные фазы и частоты. (Хотя уравнение поля Эйнштейна нелинейно, линейная суперпозиция сопутствующих возможна плоских волн.) Здесь каждая плоская электромагнитная волна имеет четко определенную частоту и фазу, а суперпозиция — нет. Отдельные электромагнитные плоские волны моделируются нулевыми электровакуумными решениями , а некогерентная смесь может моделироваться нулевой пылью.

Тензор Эйнштейна

Компоненты тензора, вычисленные относительно поля системы координат, а не координатного базиса, часто называют физическими компонентами , поскольку это компоненты, которые (в принципе) могут быть измерены наблюдателем.

В случае решения с нулевой пылью адаптированная рама

{\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}

( времяподобное поле единичного вектора и три пространственноподобных поля единичного вектора соответственно) всегда можно найти, в котором тензор Эйнштейна имеет особенно простой вид:

G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=8\pi \epsilon \,\left[{\begin{matrix}1&0&0&\pm 1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\pm 1&0&0&1\end{matrix}}\right]

Здесь, ${\vec {e}}_{0}$ везде касается мировых линий наших адаптированных наблюдателей , и эти наблюдатели измеряют плотность энергии некогерентного излучения как $\epsilon$ .

Из приведенной выше формы выражения общего базиса координат видно, что тензор энергии-импульса имеет точно ту же группу изотропии, что и нулевое векторное поле. ${\vec {k}}$ . Он порождается двумя параболическими преобразованиями Лоренца (указывающими в ${\vec {e}}_{3}$ направлении) и одно вращение (около ${\vec {e}}_{3}$ ось) и изометрична трехмерной группе Ли $E(2)$ , группа изометрии евклидовой плоскости.

Примеры

Решения по нулевой пыли включают два больших и важных семейства точных решений:

pp-волновое пространство-время (которое моделирует обобщения плоских волн, известных из электромагнетизма ),
Нулевая пыль Робинсона-Траутмана (которая моделирует излучение, распространяющееся от излучающего объекта).

К pp-волнам относятся гравитационные плоские волны и монохроматическая электромагнитная плоская волна . Конкретным примером, представляющим значительный интерес, является

луч Боннора — точное решение, моделирующее бесконечно длинный луч света, окруженный областью вакуума.

Нулевая пыль Робинсона-Траутмана включает в себя фотонные ракетные решения Кинерсли-Уокера , которые включают нулевую пыль Вайдьи , включающую вакуум Шварцшильда .

См. также

Ссылки

Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус и Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7 . . В этой стандартной монографии приведено множество примеров решений с нулевой пылью.