Интегрируемость спроса

В микроэкономической теории проблема интегрируемости функций спроса связана с восстановлением функции полезности (то есть потребительских предпочтений ) по заданной вальрасовой функции спроса . «Интегрируемость» в названии происходит от того факта, что можно показать, что функции спроса удовлетворяют системе уравнений в частных производных в ценах, и решение (интеграция) этой системы является решающим шагом в восстановлении базовой функции полезности, генерирующей спрос.

Проблема была рассмотрена Полом Самуэльсоном в его книге «Основы экономического анализа» , а условия ее решения были даны им в статье 1950 года. Более общие условия решения были позже даны Леонидом Гурвичем и Хирофуми Удзавой .

Математическая формулировка

Учитывая пространство потребления $X$ и известная вальрасова функция спроса $x:\mathbb {R} _{++}^{L}\times \mathbb {R} _{+}\rightarrow X$, решение задачи интегрируемости спроса состоит в нахождении функции полезности $u:X\rightarrow \mathbb {R}$ такой, что

$x(p,w)=\operatorname {argmax} _{x\in X}\{u(x):p\cdot x\leq w\}$

потребительской То есть, по сути, это «переворачивает» задачу максимизации полезности .

Достаточные условия для решения

По сути, решение проблемы интегрируемости функции спроса состоит из двух шагов. Сначала восстанавливается функция расходов $e(p,u)$ для потребителя. Тогда, используя свойства функций расходов, можно построить набор, по крайней мере такой же хороший.

$V_{u}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u\}$

что эквивалентно нахождению функции полезности $u(x)$.

Если функция спроса $x(p,w)$ однороден нулевой степени, удовлетворяет закону Вальраса и имеет отрицательную полуопределенную матрицу подстановки $S(p,w)$, то можно выполнить эти шаги, чтобы найти функцию полезности $u(x)$ который генерирует спрос $x(p,w)$.

Доказательство : если первые два условия (однородность нулевой степени и закон Вальраса) выполнены, то двойственность между задачей минимизации расходов и задачей максимизации полезности говорит нам, что

$x(p,w)=h(p,v(p,w))$

где $v(p,w)=u(x(p,w))$ для потребителей – это косвенная функция полезности , а $h(p,u)$ – функция потребительского спроса Хикса . Исправить уровень полезности $u_{0}=v(p,w)$ . Из леммы Шепарда и с учетом приведенного выше тождества имеем

${\frac {\partial e(p)}{\partial p}}=x(p,e(p))$ ( 1 )

где мы опускаем фиксированный уровень полезности $u_{0}$ для краткости. ( 1 ) представляет собой систему УЧП в векторе цен $p$, а теорему Фробениуса можно использовать, чтобы показать, что если матрица

$D_{p}x(p,w)+D_{w}x(p,w)x(p,w)$

симметрична, то она имеет решение. Обратите внимание, что приведенная выше матрица — это просто матрица замены $S(p,w)$, который мы изначально считали симметричным. Итак, ( 1 ) имеет решение и можно (по крайней мере теоретически) найти функцию расходов $e(p)$ такой, что $p\cdot x(p,e(p))=e(p)$.

На втором этапе по определению

$e(p)=e(p,u_{0})=\min\{p\cdot x:x\in V_{u_{0}}\}$

где $V_{u_{0}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:u(x)\geq u_{0}\}$. По свойствам $e(p,u)$, это не так уж сложно показать что $V_{u_{0}}=\{x\in \mathbb {R} _{+}^{L}:p\cdot x\geq e(p,u_{0})\}$. Проделав некоторые алгебраические манипуляции с неравенством $p\cdot x\geq e(p,u_{0})$, можно реконструировать $V_{u_{0}}$ в своем первоначальном виде с $u(x)\geq u_{0}$. Если это будет сделано, то будет найдена функция полезности. $u:X\rightarrow \mathbb {R}$ что генерирует потребительский спрос $x(p,w)$.