слоение

Чтобы узнать о других значениях, см. Слоение (значения) .

Двумерное сечение слоения Риба

Трехмерная модель слоения Риба

В математике ( дифференциальная геометрия ) слоение — это отношение эквивалентности на n -многообразии , причем классы эквивалентности связаны, инъективно погруженные подмногообразия , все одной и той же размерности p , смоделированные на основе разложения реального координатного пространства R. ^н на смежные классы x + R ^п стандартно вложенного подпространства R ^п . Классы эквивалентности называются слоями слоения. Если требуется, чтобы многообразие и/или подмногообразия имели кусочно-линейный , дифференцируемый (класса C ^р ), или аналитическую структуру, то определяются кусочно-линейные, дифференцируемые или аналитические слоения соответственно. В наиболее важном случае дифференцируемого слоения класса C ^р обычно понимают, что r ≥ 1 (иначе C ⁰ является топологическим слоением). Число p (размерность листьев) называется размерностью слоения, а q = n − p называется его коразмерностью .

В некоторых статьях по общей теории относительности физиков-математиков термин слоение (или нарезка ) используется для описания ситуации, когда соответствующее многообразие Лоренца (( p +1)-мерное пространство-время ) было разложено на гиперповерхности размерности p , заданные как множества уровня вещественной гладкой функции ( скалярного поля которой ), градиент всюду отличен от нуля; кроме того, эта гладкая функция обычно считается функцией времени, а это означает, что ее градиент везде подобен времени , так что все ее множества уровней являются пространственноподобными гиперповерхностями. Из уважения к стандартной математической терминологии эти гиперповерхности часто называют листьями (или иногда срезами ) слоения. Обратите внимание: хотя эта ситуация действительно представляет собой слоение коразмерности 1 в стандартном математическом смысле, примеры этого типа на самом деле глобально тривиальны; хотя листья (математического) слоения коразмерности 1 всегда локально являются множествами уровня функции, они, как правило, не могут быть выражены таким образом глобально, поскольку лист может проходить через локально тривиализирующую диаграмму бесконечно много раз, а голономия вокруг листа также может препятствовать существованию глобально согласованных определяющих функций для листьев. Например, хотя 3-сфера имеет знаменитое слоение коразмерности 1, открытое Рибом, слоение коразмерности 1 замкнутого многообразия не может быть задано множествами уровня гладкой функции, поскольку гладкая функция на замкнутом многообразии обязательно имеет критические точки в его максимумах и минимумах.

Листованные диаграммы и атласы

Чтобы дать более точное определение слоения, необходимо определить некоторые вспомогательные элементы.

Трехмерная многослойная диаграмма с n = 3 и q = 1. Таблички двухмерные, а трансверсали одномерные.

Прямоугольный ​ район в R ^н — открытое подмножество вида B = J ₁ × ⋅⋅⋅ × J _n , где J _i — (возможно, неограниченный) относительно открытый интервал на i -й координатной оси. Если J ₁ имеет вид ( a ,0], говорят, что B имеет границу

$\partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.$

В следующем определении рассматриваются координатные карты, имеющие значения в R. ^п × Р ^д , что допускает возможность создания многообразий с граничными и ( выпуклыми ) углами.

Расслоенная карта на n -многообразии M коразмерности q — это пара ( U , φ ), где U ⊆ M открыто и $\varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }$ является диффеоморфизмом , $B_{\pitchfork }$ прямоугольная окрестность в R ^д и $B_{\tau }$ прямоугольная окрестность в R ^п . Множество P _y = φ ⁻¹ ( B _τ × { y }), где $y\in B_{\pitchfork }$, называется бляшкой этой листоватой диаграммы. Для каждого x ∈ B _τ множество S _x = φ ⁻¹ ({ х } × $B_{\pitchfork }$) называется трансверсалью слоеной диаграммы. Множество ∂ _τ U = φ ⁻¹ ( B _τ × ( ∂ $B_{\pitchfork }$ называется касательной границей U ) ) и $\partial _{\pitchfork }U$ = е ⁻¹ (( ∂B _τ ) × $B_{\pitchfork }$ называется поперечной границей U ) .

Листованная диаграмма является базовой моделью для всех слоений, где пластинки представляют собой листья. Обозначение B _τ читается как « B -тангенциальный» и $B_{\pitchfork }$ как « Б -поперечный». Существуют также различные возможности. Если оба $B_{\pitchfork }$ и B _τ имеют пустую границу, слоеная карта моделирует коразмерности слоения q n -многообразий без границы. Если одна, но не обе из этих прямоугольных окрестностей имеет границу, слоеная карта моделирует различные возможности слоений n -многообразий с краем и без углов. В частности, если ∂ $B_{\pitchfork }$ ≠ ∅ = ∂B _τ , то ∂U = ∂ _τ U — объединение бляшек и слоение на бляшки касается границы. Если ∂B _τ ≠ ∅ = ∂ $B_{\pitchfork }$, то ∂U = $\partial _{\pitchfork }U$ является объединением трансверсалей и слоение трансверсально границе. Наконец, если ∂ $B_{\pitchfork }$ ≠ ∅ ≠ ∂B _τ , это модель слоеного многообразия с углом, отделяющим касательную границу от поперечной границы.

( a ) Слоение, касательное границы ∂ $B_{\pitchfork }$ ≠ ∅ знак равно ∂B _τ ; ( б ) Слоение, трансверсальное границе ∂B _τ ≠ ∅ = ∂ $B_{\pitchfork }$; ( в ) Слоение с углом, отделяющим касательную границу от поперечной границы ∂ $B_{\pitchfork }$ ≠ ∅ ≠ ∂B _τ .

Слоистый C атлас коразмерности q и класса ^р (0 ≤ r ≤ ∞) на n -многообразии M является C ^р -атлас ${\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}$ слоистых карт коразмерности q , которые когерентно расслоены в том смысле, что всякий раз, когда P и Q являются бляшками в различных картах ${\mathcal {U}}$, то P ∩ Q открыто как в P , так и в Q .

Полезный способ переформулировать понятие когерентно расслоенных карт — написать для w ∈ U _α ∩ U _β

$\varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },$

$\varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.$

Обозначение ( U _α , φ _α ) часто пишется ( U _α , x _α , y _α ), с

$x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),$

$y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).$

На φ _β ( U _α ∩ U _β ) формулу координат можно изменить как

$g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).$

Каждая бляшка U _α встречается с двумя бляшками U _β .

Условие ( U _α , x _α , y _α ) и ( U _β , x _β , y _β когерентного расслоения ) означает, что, если P ⊂ U _α — бляшка, компоненты связности P ∩ U _β лежат в ( возможно отдельные) бляшки U _β . Эквивалентно, поскольку пластинки U _α и U _β являются множествами уровня поперечных координат y _α и y _β соответственно, каждая точка z ∈ U _α ∩ U _β имеет окрестность, в которой справедлива формула

$y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })$

не зависит от x _β .

Основное назначение листоватых атласов — соединение их перекрывающихся бляшек с образованием листьев слоения. Для этой и других целей общее определение листоватого атласа, приведенное выше, немного неуклюже. Одна из проблем заключается в том, что пластинка ( U _α , φ _α ) может встречаться с несколькими пластинками ( U _β , φ _β ). Может даже случиться так, что табличка одной карты встретится с бесконечным множеством пластинок другой карты. Однако не теряется общность, если предположить, что ситуация гораздо более регулярна, как показано ниже.

Два листованных атласа ${\mathcal {U}}$ и ${\mathcal {V}}$ на M той же коразмерности и гладкости класса C ^р последовательны ​ $\left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)$ если ${\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}$ представляет собой расслоенный C ^р -атлас. Связность расслоенных атласов является отношением эквивалентности.

showДоказательство

Reflexivity and symmetry are immediate. To prove transitivity let ${\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}$ and ${\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}$. Let (Uα,xα,yα) ∈ ${\mathcal {U}}$ and (Wλ,xλ,yλ) ∈ ${\mathcal {W}}$ and suppose that there is a point w ∈ Uα ∩ Wλ. Choose (Vδ,xδ,yδ) ∈ ${\mathcal {V}}$ such that w ∈ Vδ. By the above remarks, there is a neighborhood N of w in Uα ∩ Vδ ∩ Wλ such that $y_{\delta }=y_{\delta }(y_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\lambda }(N),$ $y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N),$ and hence $y_{\alpha }=y_{\alpha }\left(y_{\delta }(y_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N).$ Since w ∈ Uα ∩ Wλ is arbitrary, it can be concluded that yα(xλ,yλ) is locally independent of xλ. It is thus proven that ${\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}$, hence that coherence is transitive.

Примеры диаграмм в обычном листовом атласе.

Таблички и трансверсали, определенные выше на открытых наборах, также являются открытыми. Но можно говорить и о закрытых бляшках и трансверсалах. А именно, если ( U , φ ) и ( W , ψ ) — расслоенные карты такие, что ${\overline {U}}$ ( замыкание U = является подмножеством W и φ ) ψ | Тогда , если $\varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },$ видно, что $\psi |{\overline {U}}$, написано ${\overline {\varphi }}$, несет ${\overline {U}}$ диффеоморфно на ${\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.$

Расслоенный атлас называется правильным, если

1. для каждого α ∈ A , ${\overline {U}}_{\alpha }$ является компактным подмножеством слоеной карты ( W _α , ψ _α ) и φ _α знак равно ψ _α | У _α ;
2. покрытие ​ { U _α | α ∈ A } локально конечен ;
3. если ( U _α , φ _α ) и ( U _β , φ _β ) — элементы слоеного атласа, то внутренность каждой замкнутой бляшки P ⊂ ${\overline {U}}_{\alpha }$ встречается не более чем с одной бляшкой в ${\overline {U}}_{\beta }.$

По свойству (1) координаты x _α и y _α продолжаются до координат ${\overline {x}}_{\alpha }$ и ${\overline {y}}_{\alpha }$ на ${\overline {U}}_{\alpha }$ и один пишет ${\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).$ Свойство (3) эквивалентно требованию, чтобы, если U _α ∩ U _β ≠ ∅, поперечная координата менялась ${\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)$ быть независимым от ${\overline {x}}_{\beta }.$ То есть

${\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)$

имеет формулу

${\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).$

Аналогичные утверждения справедливы и для открытых карт (без надчеркивания). Отображение поперечных координат y _α можно рассматривать как погружение

$y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}$

а формулы y _α = y _α ( y _β ) можно рассматривать как диффеоморфизмы

$\gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).$

Они удовлетворяют условиям коцикла . То есть на y _δ ( U _α ∩ U _β ∩ U _δ ),

$\gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }$

и, в частности,

$\gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),$

$\gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.$

Используя приведенные выше определения связности и регулярности, можно доказать, что каждый слоеный атлас имеет последовательное уточнение . регулярное

showДоказательство

Fix a metric on M and a foliated atlas ${\mathcal {W}}.$ Passing to a subcover, if necessary, one can assume that ${\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=1}^{l}$ is finite. Let ε > 0 be a Lebesgue number for ${\mathcal {W}}.$ That is, any subset X ⊆ M of diameter < ε lies entirely in some Wj. For each x ∈ M, choose j such that x ∈ Wj and choose a foliated chart (Ux, φx) such that x ∈ Ux ⊆ ${\overline {U}}_{x}$ ⊂ Wj, φx = ψj|Ux, diam(Ux) < ε/2. Suppose that Ux ⊂ Wk, k ≠ j, and write ψk = (xk,yk) as usual, where yk : Wk → Rq is the transverse coordinate map. This is a submersion having the plaques in Wk as level sets. Thus, yk restricts to a submersion yk : Ux → Rq. This is locally constant in xj; so choosing Ux smaller, if necessary, one can assume that yk|${\overline {U}}_{x}$ has the plaques of ${\overline {U}}_{x}$ as its level sets. That is, each plaque of Wk meets (hence contains) at most one (compact) plaque of ${\overline {U}}_{x}$. Since 1 < k < l < ∞, one can choose Ux so that, whenever Ux ⊂ Wk, distinct plaques of ${\overline {U}}_{x}$ lie in distinct plaques of Wk. Pass to a finite subatlas ${\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{N}$ of {(Ux,φx) | x ∈ M}. If Ui ∩ Uj ≠ 0, then diam(Ui ∪ Uj) < ε, and so there is an index k such that ${\overline {U}}_{i}\cup {\overline {U}}_{j}\subseteq W_{k}.$ Distinct plaques of ${\overline {U}}_{i}$ (respectively, of ${\overline {U}}_{j}$) lie in distinct plaques of Wk. Hence each plaque of ${\overline {U}}_{i}$ has interior meeting at most one plaque of ${\overline {U}}_{j}$ and vice versa. By construction, ${\mathcal {U}}$ is a coherent refinement of ${\mathcal {W}}$ and is a regular foliated atlas. If M is not compact, local compactness and second countability allows one to choose a sequence Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \left \{ K_i \right \}_{i=0}^{\infty}} of compact subsets such that Ki ⊂ int Ki+1 for each i ≥ 0 and $M=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}.$ Passing to a subatlas, it is assumed that ${\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{\infty }$ is countable and a strictly increasing sequence $\left\{n_{l}\right\}_{l=0}^{\infty }$ of positive integers can be found such that ${\mathcal {W}}_{l}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{n_{l}}$ covers Kl. Let δl denote the distance from Kl to ∂Kl+1 and choose εl > 0 so small that εl < min{δl/2,εl-1} for l ≥ 1, ε0 < δ0/2, and εl is a Lebesgue number for ${\mathcal {W}}_{l}$ (as an open cover of Kl) and for ${\mathcal {W}}_{l+1}$ (as an open cover of Kl+1). More precisely, if X ⊂ M meets Kl (respectively, Kl+1) and diam X < εl, then X lies in some element of ${\mathcal {W}}_{l}$ (respectively, ${\mathcal {W}}_{l+1}$). For each x ∈ Kl $\diagdown$ int Kl-1, construct (Ux,φx) as for the compact case, requiring that ${\overline {U}}_{x}$ be a compact subset of Wj and that φx = ψj|Ux, some j ≤ nl. Also, require that diam${\overline {U}}_{x}$ < εl/2. As before, pass to a finite subcover $\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}$ of Kl $\diagdown$ int Kl-1. (Here, it is taken n−1 = 0.) This creates a regular foliated atlas ${\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ that refines ${\mathcal {W}}$ and is coherent with ${\mathcal {W}}.$.

Определения слоений

Существует несколько альтернативных определений слоения в зависимости от способа достижения слоения. Самый распространенный способ достижения слоения - это разложение, достигающее следующих

Разложение через функцию координат x : U → R ^н .

Определение. p класс -мерный, C ^р Слоением n -мерного многообразия M называется разложение M в объединение непересекающихся связных подмногообразий { L _α } _{αε A} , называемых слоями слоения, со следующим свойством: каждая точка в M имеет окрестность U и система локального, класс С ^р координаты х =( х ¹ , ⋅⋅⋅, х ^н ) : U → R ^н такие, что для каждого листа L _α компоненты U ∩ L _α описываются уравнениями x ^{р +1} = константа, ⋅⋅⋅, х ^н = константа. Слоение обозначается ${\mathcal {F}}$знак равно { L _α } _{αε А} .

Понятие листьев позволяет интуитивно думать о слоении. Для немного более геометрического определения p -мерное слоение ${\mathcal {F}}$ -многообразия n , таких , M можно рассматривать как просто набор { M _a } попарно непересекающихся, связных, погруженных p -мерных подмногообразий (листьев слоения) M что для каждой точки x в M существует это диаграмма $(U,\varphi )$ с U, гомеоморфным R ^н содержащий x такой, что каждый лист Ma _под встречается с U либо в пустом множестве, либо в счетном наборе подпространств, образы которых $\varphi$ в $\varphi (M_{a}\cap U)$ являются p -мерными аффинными подпространствами , первые n - p координаты которых постоянны.

Локально каждое слоение является погружением, допускающим следующие

Определение. Пусть M и Q — многообразия размерности n и q ≤ n соответственно, и пусть f : M → Q — субмерсия, то есть предположим, что ранг дифференциала функции ( якобиана ) равен q . следует Из теоремы о неявной функции , что ƒ индуцирует слоение коразмерности q на M , где листья определяются как компоненты f ⁻¹ ( Икс ) для Икс ∈ Q .

Это определение описывает размерность - p. слоение ${\mathcal {F}}$ M n -мерного многообразия , покрытого картами U _i вместе с отображениями

$\varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$

такие, что для перекрывающихся пар U _i , U _j функции перехода φ _ij : R ^н → Р ^н определяется

$\varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}$

принять форму

$\varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))$

где x обозначает первые координаты q = n - p , а y обозначает последние p координаты. То есть,

${\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}$

Расщепление функций перехода φ _ij на $\varphi _{ij}^{1}(x)$ и $\varphi _{ij}^{2}(x,y)$ как часть погружения полностью аналогична расщеплению ${\overline {g}}_{\alpha \beta }$ в ${\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)$ и ${\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)$ как часть определения регулярного листоватого атласа. Это делает возможным другое определение слоений в терминах правильных расслоенных атласов. Для этого нужно сначала доказать, что каждый правильный слоеный атлас коразмерности q ассоциирован к уникальному слоению ${\mathcal {F}}$ коразмерности q .

showДоказательство

Let ${\mathcal {U}}=\left\{U_{a},\varphi _{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ be a regular foliated atlas of codimension q. Define an equivalence relation on M by setting x ~ y if and only if either there is a ${\mathcal {U}}$-plaque P0 such that x,y ∈ P0 or there is a sequence L = {P0,P1,⋅⋅⋅,Pp} of ${\mathcal {U}}$-plaques such that x ∈ P0, y ∈ Pp, and Pi ∩ Pi-1 ≠ ∅ with 1 ≤ i ≤ p. The sequence L will be called a plaque chain of length p connecting x and y. In the case that x,y ∈ P0, it is said that {P0} is a plaque chain of length 0 connecting x and y. The fact that ~ is an equivalence relation is clear. It is also clear that each equivalence class L is a union of plaques. Since ${\mathcal {U}}$-plaques can only overlap in open subsets of each other, L is locally a topologically immersed submanifold of dimension n − q. The open subsets of the plaques P ⊂ L form the base of a locally Euclidean topology on L of dimension n − q and L is clearly connected in this topology. It is also trivial to check that L is Hausdorff. The main problem is to show that L is second countable. Since each plaque is 2nd countable, the same will hold for L if it is shown that the set of ${\mathcal {U}}$-plaques in L is at most countably infinite. Fix one such plaque P0. By the definition of a regular, foliated atlas, P0 meets only finitely many other plaques. That is, there are only finitely many plaque chains {P0,Pi} of length 1. By induction on the length p of plaque chains that begin at P0, it is similarly proven that there are only finitely many of length ≤ p. Since every ${\mathcal {U}}$-plaque in L is, by the definition of ~, reached by a finite plaque chain starting at P0, the assertion follows.

Как показано в доказательстве, листья слоения представляют собой классы эквивалентности цепочек пластинок длины ≤ p , которые также являются топологически погруженными хаусдорфовыми p -мерными подмногообразиями . Далее показано, что отношение эквивалентности бляшек на листе выражается в эквивалентности связных расслоенных атласов по отношению к их ассоциации со слоением. Более конкретно, если ${\mathcal {U}}$ и ${\mathcal {V}}$ являются расслоенными атласами на M , и если ${\mathcal {U}}$ связан со слоением ${\mathcal {F}}$ затем ${\mathcal {U}}$ и ${\mathcal {V}}$ когерентны тогда и только тогда, когда ${\mathcal {V}}$ также связано с ${\mathcal {F}}$.

showДоказательство

If ${\mathcal {V}}$ is also associated to ${\mathcal {F}}$, every leaf L is a union of ${\mathcal {V}}$-plaques and of ${\mathcal {U}}$-plaques. These plaques are open subsets in the manifold topology of L, hence intersect in open subsets of each other. Since plaques are connected, a ${\mathcal {U}}$-plaque cannot intersect a ${\mathcal {V}}$-plaque unless they lie in a common leaf; so the foliated atlases are coherent. Conversely, if we only know that ${\mathcal {U}}$ is associated to ${\mathcal {F}}$ and that ${\mathcal {V}}\approx {\mathcal {U}}$, let Q be a ${\mathcal {V}}$-plaque. If L is a leaf of ${\mathcal {F}}$ and w ∈ L ∩ Q, let P ∈ L be a ${\mathcal {U}}$-plaque with w ∈ P. Then P ∩ Q is an open neighborhood of w in Q and P ∩ Q ⊂ L ∩ Q. Since w ∈ L ∩ Q is arbitrary, it follows that L ∩ Q is open in Q. Since L is an arbitrary leaf, it follows that Q decomposes into disjoint open subsets, each of which is the intersection of Q with some leaf of ${\mathcal {F}}$. Since Q is connected, L ∩ Q = Q. Finally, Q is an arbitrary ${\mathcal {V}}$-plaque, and so ${\mathcal {V}}$ is associated to ${\mathcal {F}}$.

Теперь очевидно, что соответствие между слоениями на M и связанными с ними слоенными атласами индуцирует взаимно однозначное соответствие между множеством слоений на M и множеством классов когерентности слоеных атласов или, другими словами, слоением ${\mathcal {F}}$ коразмерности q и класса C ^р на M — класс связности расслоенных атласов коразмерности q и класса C ^р на М. ​ По лемме Цорна очевидно, что каждый класс когерентности расслоенных атласов содержит единственный максимальный расслоенный атлас. Таким образом,

Определение. Слоение коразмерности q и класса C ^р на M является максимальным расслоенным C ^р -атлас коразмерности q на M .

На практике для представления слоения обычно используется относительно небольшой листоватый атлас. Обычно также требуется, чтобы этот атлас был регулярным.

На диаграмме U _i полосы x = константа совпадают с полосами на других диаграммах U _j . Эти подмногообразия соединяются от карты к карте, образуя максимальные связные инъективно погруженные подмногообразия, называемые листьями слоения.

Если уменьшить карту U _i, ее можно записать как U _ix × U _iy , где U _ix ⊂ R ^{п - п} , U _iy ⊂ R ^п , меня _У гомеоморфна пластинкам, а точки U _ix параметризуют пластинки в U _i . Если выбрать y ₀ в U _iy , то U _ix × { y ₀ } является подмногообразием U _i , которое пересекает каждую пластинку ровно один раз. Это называется локальным поперечным сечением слоения. Заметим, что из-за монодромии глобальные трансверсальные сечения слоения могут не существовать.

Случай r = 0 весьма особенный. Те С ⁰ слоения, возникающие на практике, обычно являются «гладколистными». Точнее, они класса С. ^{р ,0} , в следующем смысле.

Определение. Слоение ${\mathcal {F}}$ имеет класс С ^р,к , r > k ≥ 0, если соответствующий класс когерентности расслоенных атласов содержит правильный расслоенный атлас { U _α , x _α , y _α } _{αε A} такой, что формула замены координат

$g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).$

имеет класс С ^к , но x _α принадлежит классу C ^р в координатах x _β и его смешанные части x _β порядков ≤ r суть C ^к в координатах ( x _β , y _β ).

Приведенное выше определение предполагает более общую концепцию расслоенного пространства или абстрактной ламинации . Ослабляется условие, что трансверсали являются открытыми, относительно компактными подмножествами R ^д , позволяя поперечным координатам y _α принимать свои значения в некотором более общем топологическом пространстве Z . Пластины все еще открыты, относительно компактные подмножества R ^п формула замены поперечных координат y _α ( y _β ) непрерывна и x _α ( x _β , y _β ) имеет класс C ^р в координатах x _β и его смешанные части x _β порядков ≤ r непрерывны в координатах ( x _β , y _β ). Обычно требуется, чтобы M и Z были локально компактными, счетными и метризуемыми. Это может показаться довольно диким обобщением, но есть контексты, в которых оно полезно.

Голономия

Пусть ( М , ${\mathcal {F}}$) — расслоенное многообразие. Если L — лист ${\mathcal {F}}$ и s — путь в L нас интересует поведение слоения в окрестности s в M. , Интуитивно житель листа идет по тропинке s , следя за всеми близлежащими листьями. По мере их продвижения (далее обозначаемого s ( t )) некоторые из этих листьев могут «отслаиваться», выходя за пределы поля зрения, другие могут внезапно войти в зону действия и асимптотически приблизиться к L , другие могут следовать за ними более или менее параллельно. мода или обмотать L сбоку и т . д . Если s является петлей, то s ( t ) неоднократно возвращается в одну и ту же точку s ( t ₀ ), поскольку t стремится к бесконечности, и каждый раз все больше и больше листьев могут попасть в поле зрения или исчезнуть из поля зрения и т . д . Такое поведение, если оно соответствующим образом формализовано, называется голономией слоения.

Голономия реализуется на расслоенных многообразиях различными конкретными способами: группа полной голономии расслоенных расслоений, псевдогруппа голономии общих расслоенных многообразий, зародышевый группоид голономии общих расслоенных многообразий, зародышевая группа голономии листа и инфинитезимальная группа голономии лист.

Листистые пучки

Самый простой для понимания случай голономии — это полная голономия расслоенного пучка. Это обобщение понятия отображения Пуанкаре .

Сечение N и первое отображение возврата f, где M = S ¹ × Д ² и N = D ² .

Термин «отображение первого возврата (рекуррентности)» пришел из теории динамических систем. Пусть Φ _t — неособый C ^р поток ( r ≥ 1) на компактном n -многообразии M . В приложениях можно представить, что М — это циклотрон или какой-нибудь замкнутый контур с потоком жидкости. Если M имеет границу, предполагается, что поток касается границы. Поток порождает одномерное слоение ${\mathcal {F}}$. Если вспомнить положительное направление потока, но в остальном забыть параметризацию (форму траектории, скорость и т. д .), то основное слоение ${\mathcal {F}}$ говорят, что он ориентирован. что поток имеет глобальное сечение N. Предположим , То есть N — компактный правильно вложенный C ^р подмногообразие M размерности n – 1, слоение ${\mathcal {F}}$ поперечна N и каждая линия потока пересекает N. , Поскольку размеры N и листьев дополняют друг друга, условие трансверсальности состоит в том, что

$T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.$

Пусть y ∈ N и рассмотрим ω - предельное множество ω( y ) всех точек накопления в M всех последовательностей $\left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }$, где t _k стремится к бесконечности. Можно показать, что ω(y) компактна, непуста и представляет собой объединение линий тока. Если $z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),$ существует значение t * ∈ R такое, что Φ _{t *} ( z ) ∈ N , и отсюда следует, что

$\lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.$

Поскольку N компактно и ${\mathcal {F}}$ трансверсально N , то множество { t > 0 | Φ _t ( y ) ∈ N} — монотонно возрастающая последовательность $\{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }$ которая расходится в бесконечность.

Поскольку y ∈ N меняется, пусть τ ( y ) = τ ₁ ( y ), определяя таким образом положительную функцию τ ∈ C ^р ( N ) (время первого возврата) такое, что для произвольного y ∈ N Φ _t ( y ) ∉ N , 0 < t < τ ( y ) и Φ _{τ ( y )} ( y ) ∈ N .

Определим f : N → N по формуле f ( y ) = Φ _{τ ( y )} ( y ). Это С ^р карта. Если поток обратный, точно такая же конструкция дает обратную f ⁻¹ ; поэтому f ∈ Diff ^р ( Н ). Этот диффеоморфизм является первым отображением возврата, а τ называется временем первого возврата . Хотя время первого возврата зависит от параметризации потока, должно быть очевидно, что f зависит только от ориентированного слоения ${\mathcal {F}}$. Можно перепараметризовать поток Φ _t , сохранив его несингулярность, класса C ^р , и не меняя его направления, так что τ ≡ 1.

Предположение о том, что поток имеет поперечное сечение N, является очень ограничительным, подразумевая, что M — это полное пространство расслоения над S. ¹ . Действительно, на R × N определим ~ _f как отношение эквивалентности, порожденное

$(t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).$

Эквивалентно, это орбитальная эквивалентность действия аддитивной группы Z на R × N, определяемая формулой

$k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)),$

для каждого k ∈ Z и для каждого ( t , y ∈ R × N. ) Цилиндр отображения f определяется как C ^р многообразие

$M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.$

Согласно определению первого отображения возврата f и предположению, что время первого возврата равно τ ≡ 1, сразу видно, что отображение

$\Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.$

определяемый потоком, индуцирует канонический C ^р диффеоморфизм

$\varphi :M_{f}\rightarrow M.$

Если мы отождествим M _f = M , то проекция R × N на R индуцирует C ^р карта

$\pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}$

это превращает M в полное пространство расслоения над кругом. Это всего лишь проекция S ¹ × Д ² на S ¹ . Слоение ${\mathcal {F}}$ трансверсальна слоям этого расслоения, а проекция расслоения π , ограниченная на каждый слой L , является накрывающим отображением π : L → S ¹ . Это называется расслоенным пучком .

Возьмем в качестве базовой точки x ₀ ∈ S ¹ класс эквивалентности 0 + Z ; итак π ⁻¹ ( x ₀ исходное поперечное сечение N. ) — Для каждой петли s на S ¹ , основанный в точке x ₀ , гомотопический класс [ s ] ∈ π ₁ ( S ¹ , x ₀ ) однозначно характеризуется deg s ∈ Z . Петля s поднимается до пути в каждой линии потока, и должно быть ясно, что подъем s _y , который начинается в точке y ∈ N, заканчивается в точке f ^к ( y ) ∈ N , где k знак равно град s . Диффеоморфизм f ^к ∈ Дифф. ^р ( N ) также обозначается h _s и называется полной голономией петли s . Поскольку это зависит только от [ s ], это определение гомоморфизма

$h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),$

называется гомоморфизмом полной голономии расслоения.

Используя расслоения более прямым способом, пусть ( M , ${\mathcal {F}}$) — расслоенное n -многообразие коразмерности q . Пусть π : M → B — расслоение с q -мерным слоем F связным базовым пространством B. и Предположим, что все эти структуры относятся к классу C. ^р , 0 ≤ r ≤ ∞, с условием, что если r = 0, B поддерживает C ¹ структура. Поскольку каждое максимальное C ¹ атлас на B содержит C ^∞ субатласа, не теряется общность, если предположить, что B является настолько гладким, насколько это необходимо. Наконец, предположим, что для каждого x ∈ B существует связная открытая окрестность U ⊆ B точки x и локальная тривиализация

${\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}$

где φ — C ^р диффеоморфизм (гомеоморфизм, если r = 0), который переносит ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ к слоению произведения { U × { y }} _{y ∈ F} . Здесь, ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ – слоение, листьями которого являются компоненты связности L ∩ π ⁻¹ ( U ), где L пробегает листья ${\mathcal {F}}$. Это общее определение термина «расслоенный пучок» ( M , ${\mathcal {F}}$,π) класса C ^р .

${\mathcal {F}}$ трансверсален слоям π (говорят, что ${\mathcal {F}}$ трансверсально расслоению) и что ограничение π на каждый L слой ${\mathcal {F}}$ является накрывающим отображением π L → B. : В частности, каждый слой F _x = π ⁻¹ ( x ) встречается с каждым листом ${\mathcal {F}}$. Волокно представляет собой поперечное сечение ${\mathcal {F}}$ в полной аналогии с понятием поперечного сечения потока.

Слоение ${\mathcal {F}}$ трансверсальность слоев сама по себе не гарантирует, что листья являются накрывающими пространствами B . Простой вариант задачи — слоение R ² , трансверсальный расслоению

$\pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,$

$\pi (x,y)=x,$

но с бесконечно большим количеством листьев без Y. оси На соответствующем рисунке подразумевается, что «помеченные стрелками» листья и все, что находятся над ними, асимптотичны оси x = 0. Такое слоение называют неполным относительно расслоения, имея в виду, что некоторые из листьев «сбегают к бесконечность», когда параметр x ∈ B приближается к некоторому x ₀ ∈ B . Точнее, могут существовать лист L и непрерывный путь s : [0, a ) → L такие, что lim _{t → a −} π( s ( t )) = x ₀ ∈ B , но lim _{t → a −} s ( t ) не существует в топологии L. многообразия Это аналогично случаю неполных потоков, когда некоторые линии тока «уходят в бесконечность» за конечное время. Хотя такой лист L может где-нибудь встретиться с π ⁻¹ ( x ₀ ), оно не может равномерно покрывать окрестность x ₀ и, следовательно, не может быть накрывающим пространством B относительно π . Однако когда F компактно, верно, что трансверсальность ${\mathcal {F}}$ расслоению не гарантирует полноту, следовательно, ${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$ представляет собой расслоенный пучок.

Есть атлас ${\mathcal {U}}$ = { U _α , x _α } _αεA на B , состоящая из открытых связных координатных карт вместе с тривиализациями φ _α : π ⁻¹ ( U _α ) → U _α × F, которые несут ${\mathcal {F}}$|р ⁻¹ ( U _α ) к слоению произведения. Положим W _α = π ⁻¹ ( U _α ) и запишите φ _α = ( x _α , y _α ), где (злоупотребляя обозначениями) x _α представляет собой x _α ∘ π и y _α : π ⁻¹ ( U _α ) → F — субмерсия, полученная композицией φ _α с канонической проекцией U _α × F → F .

Атлас ${\mathcal {W}}$ = { W _α , x _α , y _α } _{α ∈ A} играет роль, аналогичную роли расслоенного атласа. Пластины Wα _и множествами уровня yα _, это семейство пластинок идентично F через yα _{являются} . Поскольку B предполагается, что поддерживает C ^∞ структуры, согласно теореме Уайтхеда можно зафиксировать риманову метрику на B и выбрать атлас ${\mathcal {U}}$ быть геодезически выпуклой. Таким образом, U _α ∩ U _β всегда связен. это пересечение непусто, каждая пластинка соответствует _Wβ ровно одной пластинке Если _Wα . Затем определим коцикл голономии $\gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}$ установив

$\gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.$

Примеры

Плоское пространство

Рассмотрим n -мерное пространство, расслоенное как произведение на подпространства, состоящие из точек, первые n - p координаты которых постоянны. Это можно охватить одной диаграммой. По сути, это утверждение заключается в том, что R ^н = Р ^{п - п} × Р ^п с листьями или бляшками R ^п перечисляемый R ^{п - п} . Аналогию можно увидеть непосредственно в трех измерениях, если принять n = 3 и p = 2 : двумерные листы книги нумеруются (1-мерным) номером страницы.

Пакеты

Достаточно тривиальным примером слоений являются произведения M = B × F расслоенные на листы F _b = { b } × F , b ∈ B. , (Другое слоение M задается формулой B _f = B × { f } , f ∈ F .)

Более общий класс — это плоские - расслоения с G = Homeo( F ) для многообразия F. G Для представления ρ : π ₁ ( B ) → Homeo( F ) плоское Homeo( F ) -расслоение с монодромией ρ задается формулой $M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B$, где π ₁ ( B ) действует на универсальном накрытии ${\widetilde {B}}$ колодными преобразованиями и на F посредством представления ρ .

Плоские пучки укладываются в каркас пучков волокон . Отображение π : M → B между многообразиями называется расслоением, если существует многообразие F такое, что каждое b ∈ B имеет открытую окрестность U такую, что существует гомеоморфизм $\varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F$ с $\pi =p_{1}\varphi$, с проекцией p ₁ : U × F → U на первый множитель. Расслоение дает слоение на слои $F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B$. Его пространство слоев L гомеоморфно B , в частности, L — хаусдорфово многообразие.

Покрытия

Если M → N — накрывающее отображение между многообразиями, а F слоение на N , то оно возвращается к слоению на M. — В более общем смысле, если карта представляет собой просто разветвленное покрытие ветвления , где место поперечно слоению, то слоение можно отодвинуть назад.

Погружения

Если М ^н → Н ^д , ( q ≤ n ) — субмерсия многообразий, из теоремы об обратной функции следует , что компоненты связности слоев субмерсии определяют слоение коразмерности q многообразия M . Пучки волокон являются примером этого типа.

Пример погружения, не являющегося расслоением, дается выражением

${\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}$

Эта субмерсия дает слоение [−1, 1] × R , которое инвариантно относительно Z -действий, заданных формулой

$z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)$

для ( x , y ) ∈ [−1, 1] × R и n ∈ Z . Индуцированные слоения Z \ ([−1, 1] × R ) называются двумерным слоением Риба (кольца) соответственно. двумерное неориентируемое слоение Риба (ленты Мёбиуса). Их листовые пространства не Хаусдорфы.

Слоения Риба

Дайте определение погружению

${\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}$

где ( r , θ ) ∈ [0, 1] × S ^{п -1} — цилиндрические координаты на n -мерном диске D ^н . Это погружение дает слоение D ^н × R , который инвариантен относительно Z -действий, заданных формулой

$z(x,y)=(x,y+z)$

для ( Икс , y ) ∈ D ^н × р , z ∈ Z . Индуцированное слоение Z \ ( D ^н × R ) называется n -мерным слоением Риба . Его листовое пространство не является Хаусдорфом.

Для n = 2 это дает слоение полнотория, которое можно использовать для определения слоения Риба 3-сферы путем склейки двух полноторий вдоль их границы. Слоения нечетномерных сфер S ^{2н 1 +} также явно известны.

Группы лжи

Если G — Ли , а H — подгруппа Ли , то G расслоена на смежные H. классы группа Когда H замкнуто ) многообразием , в G , факторпространство G / H является гладким ( хаусдорфовым превращающим G в расслоение со слоем H и базой G / H . Это расслоение фактически является со структурной группой H. главным

Групповые действия лжи

Пусть G гладко действующая на многообразии M. — группа Ли , Если действие является локально свободным действием или действием , то орбиты группы G определяют слоение M. свободным

Линейные слоения и слоения Кронекера

Если ${\tilde {X}}$ является неособым ( т.е. нигде не равным нулю) векторным полем, то локальный поток определяется формулой ${\tilde {X}}$ объединяется вместе, чтобы определить слоение размерности 1. Действительно, для произвольной точки x ∈ M тот факт, что ${\tilde {X}}$ неособа, позволяет найти координатную окрестность ( U , x ¹ ,..., х ^н ) относительно x такое, что

$-\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,$

и

${\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.$

Геометрически линии тока ${\tilde {X}}\mid U$ это просто наборы уровней

$x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,$

где все $|c^{i}|<\varepsilon .$ Поскольку по соглашению многообразия являются вторыми счетными, листовые аномалии, такие как «длинная линия», исключаются второй счетностью M. самого Эту трудность можно обойти, потребовав, чтобы ${\tilde {X}}$ быть полным полем ( например , что M компактно), следовательно, каждый лист является линией потока.

Линейное слоение ${\mathcal {\tilde {F}}}$ на R ² переходит на слоение ${\mathcal {F}}$ на Т ² . а) наклон рациональный (линейное слоение); б) наклон иррационален (слоение Кронекера).

Иррациональное вращение на 2-торе.

Важный класс одномерных слоений на торе T ² получаются путем проектирования постоянных векторных полей на T ² . Постоянное векторное поле

${\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}$

на R ² инвариантен для всех переводов в R ² , следовательно, переходит в четко определенное векторное поле X при проектировании на тор T ² = Р ² / С ² . Предполагается, что a ≠ 0. Слоение ${\mathcal {\tilde {F}}}$ на R ² произведено ${\tilde {X}}$ имеет в качестве листьев параллельные прямые наклона θ = b / a . Это слоение также инвариантно относительно сдвигов и переходит в слоение ${\mathcal {F}}$ на Т ² продюсер X. ​

Каждый листочек ${\mathcal {\tilde {F}}}$ имеет форму

${\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.$

Если наклон рационален, то все листы представляют собой замкнутые кривые гомеоморфные окружности , . можно взять a , b ∈ Z. В этом случае При фиксированном t ∈ R точки ${\tilde {L}}$ соответствующие значениям t ∈ t ₀ + Z, все проектируются в одну и ту же точку T ² ; соответствующий лист L поэтому ${\mathcal {F}}$ — вложенная окружность в T ² . Поскольку L произвольно, ${\mathcal {F}}$ является слоением T ² по кругам. Отсюда довольно легко следует, что это слоение на самом деле представляет собой расслоение π : T ² → С ¹ . Это известно как линейное слоение .

Когда наклон θ = b / a иррационален Иррациональное , листья некомпактны, гомеоморфны некомпактифицированной вещественной прямой и плотны в торе (см. вращение ). Траектория каждой точки ( x ₀ , y ₀ ) никогда не возвращается в одну и ту же точку, а порождает «везде плотную» обмотку тора, т. е. приближается к любой заданной точке сколь угодно близко. Таким образом, замыканием траектории является весь двумерный тор. Этот случай назван слоением Кронекера в честь Леопольда Кронекера и его

Теорема Кронекера о плотности . Если действительное число θ отличается от каждого рационального числа, кратного π, то множество { e ^вθ | n ∈ Z } плотно в единичном круге.

showДоказательство

To see this, note first that, if a leaf ${\tilde {L}}$ of ${\mathcal {\tilde {F}}}$ does not project one-to-one into T2, there must be a real number t ≠ 0 such that ta and tb are both integers. But this would imply that b/a ∈ Q. In order to show that each leaf L of ${\mathcal {F}}$ is dense in T2, it is enough to show that, for every v ∈ R2, each leaf ${\tilde {L}}$ of ${\mathcal {\tilde {F}}}$ achieves arbitrarily small positive distances from suitable points of the coset v + Z2. A suitable translation in R2 allows one to assume that v = 0; so the task is reduced to showing that ${\tilde {L}}$ passes arbitrarily close to suitable points (n,m) ∈ Z2. The line ${\tilde {L}}$ has slope-intercept equation $y=\theta x+c.$ So it will suffice to find, for arbitrary η > 0, integers n and m such that $|\theta n+c-m|<\eta .$ Equivalently, c ∈ R being arbitrary, one is reduced to showing that the set {θn − m}m,n∈Z is dense in R. This is essentially the criterion of Eudoxus that θ and 1 be incommensurable (i.e., that θ be irrational).

Аналогичная конструкция с использованием слоения R ^н параллельными линиями дает одномерное слоение n -тора R ^н / С ^н связанный с линейным потоком на торе .

Подвесные слоения

Плоский расслоение имеет не только слоение на слои, но и поперечное к слоям слоение, листы которого

$L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,$

где $p:{\widetilde {B}}\times F\to M$ является канонической проекцией. Это слоение называется надстройкой представления ρ : π ₁ ( B ) → Homeo( F ) .

В частности, если B = S ¹ и $\varphi :F\to F$ является гомеоморфизмом F , то слоение надстройки $\varphi$ определяется как слоение надстройки представления ρ : Z → Homeo( F ), заданного формулой ρ ( z ) = Φ ^С . Его пространство листьев L = ${\mathcal {F}}$/~ , где x ~ y всякий раз, когда y = Φ ^н ( x ) для некоторого n ∈ Z .

Простейшим примером слоения надстройкой является многообразие X размерности q . Пусть f : X → X — биекция. Определим подвеску M = S ¹ × _f X как фактор [0,1] × X по отношению эквивалентности (1, x ) ~ (0, f ( x )).

М = С ¹ × _f X = [0,1] × X

автоматически Тогда M несет два слоения: ${\mathcal {F}}$_2, состоящее из множеств вида F _{2, t} = {( t , x ) _~ : x ∈ X } и ${\mathcal {F}}$_1, состоящее из множеств вида F _{2, x 0} = {( t , x ) : t ∈ [0,1] , x ∈ O _{x 0} }, где орбита O _{x 0} определяется как

О _{x 0} = {..., f ⁻² ( х ₀ ), ж ⁻¹ ( Икс ₀ ), Икс ₀ , Ж ( Икс ₀ ), Ж ² ( х ₀ ), ...},

где показатель степени относится к тому, сколько раз функция f составлена ​​сама с собой. Обратите внимание, что O _{x 0} = O _{f ( x 0 )} = O _{f ⁻² ( x 0 )} и т. д., то же самое верно и для F _{1, x 0} . Понимание слоения ${\mathcal {F}}$₁ эквивалентно пониманию динамики отображения f . Если многообразие X уже расслоено, можно использовать конструкцию для увеличения коразмерности слоения, при условии, что f отображает листья в листья.

Слоения Кронекера 2-тора являются слоениями надстройки вращений R _α : S ¹ → С ¹ на угол α ∈ [0, 2 π ).

Подвеска тора с двумя отверстиями после резки и переклейки. а) Двухдырочный тор с разрезаемыми сечениями; б) геометрическая фигура после разрезания четырьмя гранями.

Точнее, если Σ = Σ ₂ — двухдырочный тор с C ¹ ,С ² ∈ Σ две вложенные окружности позволяют ${\mathcal {F}}$ — слоение произведения 3-многообразия M = Σ × S ¹ с листьями Σ × { y }, y ∈ S ¹ . Обратите внимание, что N _i = C _i × S ¹ является вложенным тором и что ${\mathcal {F}}$ трансверсален N _i , i = 1,2. Пусть Diff ₊ ( S ¹ ) обозначают группу сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S ¹ и выберем f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( S ¹ ). Разрежьте M вдоль N ₁ и N ₂ , оставив $N_{i}^{+}$ и $N_{i}^{-}$ обозначаем полученные копии N _i , i = 1,2. В этой точке имеется многообразие M' = Σ' × S1 _{компонентами} с четырьмя граничными $\left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.$ Слоение ${\mathcal {F}}$ перешел в слоение ${\mathcal {F^{\prime }}}$ трансверсально границе ∂ M' , каждый лист которой имеет вид Σ' × { y }, y ∈ S ¹ .

Этот лист пересекает ∂ M' в четырех окружностях. $C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }.$ Если z ∈ C _i , соответствующие точки в $C_{i}^{\pm }$ обозначаются z ^± и $N_{i}^{-}$ «приклеен» к $N_{i}^{+}$ по идентификации

$(z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.$

Поскольку f ₁ и f ₂ являются сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами S ¹ , они изотопны единице, а многообразие, полученное этой операцией переклейки, гомеоморфно M . Листья ${\mathcal {F^{\prime }}}$, однако, снова соберутся, чтобы создать новое слоение ${\mathcal {F}}$( ж ₁ , ж ₂ ) из М . лист L Если ${\mathcal {F}}$( f ₁ , f ₂ ) содержит кусок Σ' × { y ₀ }, то

$L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},$

где G ⊂ Diff ₊ ( S ¹ ) — это подгруппа, порожденная { f ₁ , f ₂ }. Эти копии Σ' связаны друг с другом посредством отождествлений.

( С ⁻ , г ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₁ ( g ( y ₀ ))) для каждого z ∈ C ₁ ,

( С ⁻ , г ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₂ ( g ( y ₀ ))) для каждого z ∈ C ₂ ,

где g пробегает G . Лист полностью определяется G -орбитой точки y ₀ ∈ S ¹ и может ли он быть простым или чрезвычайно сложным. Например, лист будет компактным именно в том случае, если соответствующая G -орбита конечна. В качестве крайнего примера, если G тривиален ( f ₁ = f ₂ = id _{S ¹} ), затем ${\mathcal {F}}$( ж ₁ , ж ₂ ) знак равно ${\mathcal {F}}$. Если орбита плотна в S ¹ , соответствующий лист плотен в M . Например, если f ₁ и f ₂ являются поворотами на рационально независимые кратные 2π, каждый лист будет плотным. В других примерах некоторый лист L имеет замыкание ${\bar {L}}$ который соответствует каждому фактору { w } × S ¹ в канторовом множестве . Аналогичные конструкции можно провести на Σ × I , где I — компактный невырожденный интервал. Здесь берутся f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( I ) и, поскольку ∂ I фиксировано поточечно всеми диффеоморфизмами, сохраняющими ориентацию, получается слоение, имеющее две компоненты ∂ M в качестве листьев. При формировании М' в этом случае получается расслоенное многообразие с углами. В любом случае эта конструкция называется надстройкой пары диффеоморфизмов и является благодатным источником интересных примеров слоений коразмерности один.

Слоения и интегрируемость

Существует тесная связь, если предположить, что все гладко , с векторными полями : если векторное поле X на M никогда не равно нулю, его интегральные кривые дадут одномерное слоение. (т.е. слоение коразмерности n - 1 ).

Это наблюдение обобщается до теоремы Фробениуса , утверждающей, что необходимыми и достаточными условиями для того, чтобы распределение (т. е. n - p- мерное подрасслоение касательного расслоения многообразия) касалось слоев слоения, является то, что набор векторов поля, касающиеся распределения, замкнуты скобками Ли . Можно сформулировать это и иначе, как вопрос о приведении структурной группы касательного расслоения из GL( n ) к приводимой подгруппе.

Условия теоремы Фробениуса выступают как условия интегрируемости ; и утверждается, что если они выполняются, то редукция может иметь место, поскольку существуют локальные функции перехода с требуемой блочной структурой. Например, в случае коразмерности 1 мы можем определить касательное расслоение слоения как ker( α ) , для некоторого (неканонического) α ∈ Ω ¹ (т.е. ненулевое ковекторное поле). Данное α интегрируемо тогда и только тогда, когда α ∧ dα = 0 всюду.

Существует глобальная теория слоений, поскольку существуют топологические ограничения. Например, в поверхностном случае всюду ненулевое векторное поле может существовать на ориентируемой компактной поверхности только для тора . Это следствие теоремы об индексе Пуанкаре-Хопфа , которая показывает, что эйлерова характеристика должна быть равна 0. Существует множество глубоких связей с контактной топологией , которая является «противоположной» концепцией, требующей, чтобы условие интегрируемости никогда не выполнялось.

Существование слоений

Хефлигер (1970) дал необходимое и достаточное условие того, чтобы распределение на связном некомпактном многообразии было гомотопным интегрируемому распределению. Терстон ( 1974 , 1976 ) показал, что любое компактное многообразие с распределением имеет слоение той же размерности.

См. также

• G-структура – ​​подпакет группы структур на касательном пакете кадров. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Структура Хефлигера – обобщение слоения, замкнутого при откатах.
• Ламинирование - разделенное топологическое пространство.
• Слоение Риба – особое слоение 3-сферы, введенное французским математиком Жоржем Рибом. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта .
• Тугое слоение

Ссылки

• Аносов, Д.В. (2001) [1994], «Слоение» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Кандел, Альберто; Конлон, Лоуренс (2000), Слоения I , Аспирантура по математике, том. 23, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  0-8218-0809-5
• Кандел, Альберто; Конлон, Лоуренс (2003), Слоения II , Аспирантура по математике, том. 60, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  0-8218-0809-5
• Гургулон, Эрик (2012), Формализм 3 + 1 в общей теории относительности , Конспект лекций по физике, том. 846, Гейдельберг, Нью-Йорк, Дордрехт, Лондон: Springer , номер номера : 10.1007/978-3-642-24525-1 , ISBN  978-3-642-24524-4
• Хефлигер, Андре (1970), «Листва на открытых многообразиях», Топология , 9 (2): 183–194, doi : 10.1016/0040-9383(70)90040-6 , ISSN   0040-9383 , MR   0263104
• Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения» , Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369–418, doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13432-4 , ISSN   0002-9904 , MR   0343289
• Мурдейк, Ике ; Мрчун, Дж. (2003), Введение в слоения и группоиды Ли , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 91, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-83197-0 , МР   2012261
• Риб, Жорж (1952), О некоторых топологических свойствах слоистых многообразий , Actualités Sci. Индиана, нет. 1183, Hermann & Cie., Париж, MR   0055692
• Терстон, Уильям (1974), «Теория слоений коразмерности больше единицы» , Commentarii Mathematici Helvetici , 49 : 214–231, doi : 10.1007/BF02566730 , ISSN   0010-2571 , MR   0370619 , S2CID   120603728
• Терстон, Уильям П. (1976), «Существование слоений коразмерности один», Annals of Mathematics , Second Series, 104 (2): 249–268, doi : 10.2307/1971047 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1971047 , MR   0425985

Внешние ссылки

• Слоения в Атласе многообразий