Время удара

При изучении случайных процессов в математике время попадания (или время первого попадания ) — это первый момент, когда данный процесс «попадает» в заданное подмножество пространства состояний . Время выхода и время возвращения также являются примерами времени попадания.

Определения

Пусть $T$ — упорядоченный набор индексов, такой как натуральные числа , ⁠ $\mathbb {N} ,$ ⁠ неотрицательные действительные числа , $[0, +\infty)$ или их подмножество; элементы ⁠ $t\in T$ ⁠ можно рассматривать как «раз». Учитывая вероятностное пространство $( , Σ, Pr)$ и измеримое пространство состояний $S$ , пусть $X:\Omega \times T\to S$ — случайный процесс , и пусть $A$ — измеримое подмножество пространства $S.$ состояний Затем первое время удара $\tau _{A}:\Omega \to [0,+\infty ]$ – случайная величина, определяемая формулой

\tau _{A}(\omega ):=\inf\{t\in T\mid X_{t}(\omega )\in A\}.

Время первого выхода (из $)$ определяется как время первого попадания для $S \ A$ , дополнения A $A$ в $S$ . Как ни странно, это также часто обозначается как $τ A$ . ^[1]

Время первого возврата определяется как время первого попадания для одноэлементного набора ${X 0 (ω)},$ который обычно является заданным детерминированным элементом пространства состояний, таким как начало системы координат.

Примеры

Любое время остановки — это время достижения правильно выбранного процесса и набора целей. Это следует из обращения теоремы Дебю (Фишер, 2013).
Обозначим через $B$ стандартное броуновское движение на прямой ⁠ $\mathbb {R}$ ⁠ начиная с начала координат. Тогда время попадания $τ A$ удовлетворяет требованиям измеримости и является временем остановки для любого измеримого по Борелю множества ⁠ $A\subseteq \mathbb {R} .$ ⁠
Для $B$ , как указано выше, пусть $τ r$ ( $r > 0$ ) обозначает первое время выхода для интервала $(- r, r)$ , т.е. первое время попадания для $(-\infty ,-r]\cup [r,+\infty ).$ Тогда значение и дисперсия τ $r ожидаемое$ удовлетворяют условиям

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\tau _{r}\right]&=r^{2},\\\operatorname {Var} \left[\tau _{r}\right]&={\tfrac {2}{3}}r^{4}.\end{aligned}}$

Для $B$ , как указано выше, время попадания в одну точку (отличную от начальной точки 0) имеет распределение Леви .

Стартовая теорема

Время попадания набора $F$ известно как дебют F $также$ . Теорема Дебю говорит, что время попадания в измеримое множество $F$ для прогрессивно измеримого процесса относительно непрерывной справа и полной фильтрации является временем остановки. К прогрессивно измеримым процессам относятся, в частности, все право- и лево-непрерывные адаптированные процессы .Доказательство измеримости дебюта довольно сложное и затрагивает свойства аналитических множеств . Теорема требует, чтобы лежащее в ее основе вероятностное пространство было полным или, по крайней мере, универсально полным.

Обратная теорема Дебю утверждает, что каждое время остановки, определенное относительно фильтрации по вещественному временному индексу, может быть представлено временем попадания. В частности, по существу для любого такого времени остановки существует адаптированный невозрастающий процесс с путями càdlàg (RCLL), который принимает только значения 0 и 1, так что время попадания этого процесса в набор ${0}$ является рассматриваемым время остановки. Доказательство очень простое. ^[2]

См. также

Остановка времени

Ссылки

^ Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-04758-2 .
^ Фишер, Том (2013). «О простых представлениях времен остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные буквы . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . дои : 10.1016/j.spl.2012.09.024 .

[1] Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-04758-2 .

[Fischer_(2013)-2] Фишер, Том (2013). «О простых представлениях времен остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные буквы . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . дои : 10.1016/j.spl.2012.09.024 .

[1]

[2]