Тугое слоение

В математике . натянутость это свойство жесткости слоений — Тугое слоение — это слоение коразмерности 1 замкнутого многообразия , свойство которого состоит в том, что каждый лист пересекает поперечную окружность. Под поперечной окружностью понимается замкнутый контур, всегда трансверсальный касательному полю слоения.

Если слоеное многообразие имеет непустую касательную границу, то слоение коразмерности 1 является натянутым, если каждый лист пересекает поперечную окружность или трансверсальную дугу с концами на касательной границе. Эквивалентно, согласно результату Денниса Салливана , слоение коразмерности 1 является натянутым, если существует риманова метрика , которая делает каждый лист минимальной поверхностью . Более того, для компактных многообразий существование для каждого листа $L$, встречи поперечного круга $L$, подразумевает существование единственного поперечного круга, встречающего каждый лист.

Тугие слоения приобрели известность благодаря работам Уильяма Терстона и Дэвида Габая .

Связь с слоениями Риблса

Тугие слоения тесно связаны с концепцией слоения Риблесса . Тугое слоение не может иметь компонент Риба , поскольку этот компонент будет действовать как «тупик», из которого поперечная кривая никогда не сможет выйти; следовательно, граничный тор компоненты Риба не имеет прокалывающей его поперечной окружности. Слоение Риблса может не быть натянутым, но единственные листы слоения без прокалываемой поперечной окружности должны быть компактными и, в частности, гомеоморфными тору.

Характеристики

Существование тугого слоения подразумевает различные полезные свойства замкнутого трехмерного многообразия. Например, замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие, допускающее тугое слоение без сферического листа, должно быть неприводимым , покрытым $\mathbb {R} ^{3}$и имеют отрицательно изогнутую фундаментальную группу .

Теорема Раммлера – Салливана

По теореме Хансклауса Раммлера и Денниса Салливана следующие условия эквивалентны для трансверсально ориентируемых слоений коразмерности один $\left(M,{\mathcal {F}}\right)$ замкнутых ориентируемых гладких многообразий M:

• ${\mathcal {F}}$ натянут;
• существует поток, поперечный ${\mathcal {F}}$ сохраняющий некоторую форму объема на M;
• существует риманова метрика на M, для которой слои ${\mathcal {F}}$ представляют собой поверхности наименьшей площади.