Теорема о неявной функции

В исчислении многих переменных теорема о неявной функции — инструмент, позволяющий отношения преобразовывать в функции нескольких действительных переменных . Это достигается путем представления отношения в виде графика функции . Не может существовать ни одной функции, график которой мог бы представлять все отношение, но может существовать такая функция на ограничении области определения отношения. Теорема о неявной функции дает достаточное условие существования такой функции.

Точнее, для данной системы m уравнений f _i   ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _m ) = 0, i = 1, ..., m (часто сокращенно F ( x , y ) = 0 ), теорема утверждает, что при мягком условии на частные производные (относительно каждого y _i ) в точке m переменных y _i являются дифференцируемыми функциями x _j в окрестности некоторой точка. Поскольку эти функции, как правило, не могут быть выражены в замкнутой форме , они неявно определяются уравнениями, что и послужило причиной названия теоремы.

Другими словами, при мягком условии на частные производные множество нулей системы уравнений локально является графиком функции .

История

Огюстену-Луи Коши (1789–1857) приписывают первую строгую форму теоремы о неявной функции. Улисс Дини (1845–1918) обобщил версию теоремы о неявной функции для действительных переменных на контекст функций любого числа действительных переменных.

Первый пример

Единичный круг можно задать как кривую уровня f ( x , y ) = 1 функции f ( x , y ) = x ² + и ² . Вокруг точки A y можно выразить как функцию y ( x ) . В этом примере эту функцию можно записать явно как $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};$ во многих случаях такого явного выражения не существует, но все равно можно сослаться на неявную функцию y ( x ) . Вблизи точки B такой функции не существует.

Если мы определим функцию f ( x , y ) = x ² + и ² , то уравнение f ( x , y ) = 1 вырезает единичную окружность как множество уровня {( x , y ) | ж ( Икс , y ) знак равно 1} . Невозможно представить единичный круг как график функции одной переменной y = g ( x ), поскольку для каждого выбора x ∈ (−1, 1) существует два выбора y , а именно $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$.

круга можно представить Однако часть в виде графика функции одной переменной. Если мы позволим $g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ для −1 ≤ x ≤ 1 , тогда график y = g ₁ ( x ) представляет собой верхнюю половину круга. Аналогично, если $g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}$, то график y = g ₂ ( x ) дает нижнюю половину круга.

Цель теоремы о неявной функции — сообщить нам, что такие функции, как g ₁ ( x ) и g ₂ ( x ), почти всегда существуют, даже в ситуациях, когда мы не можем записать явные формулы. Он гарантирует, что g ₁ ( x ) и g ₂ ( x ) дифференцируемы, и работает даже в ситуациях, когда у нас нет формулы для f ( x , y ) .

Определения

Позволять $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ быть непрерывно дифференцируемой функцией. Мы думаем о $\mathbb {R} ^{n+m}$ как декартово произведение $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m},$ и мы пишем точку этого продукта как $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).$ Начиная с заданной функции $f$, наша цель — построить функцию $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ чей график $({\textbf {x}},g({\textbf {x}}))$ это именно набор всех $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$ такой, что $f({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {0}}$.

Как отмечалось выше, это не всегда возможно. Поэтому мы остановимся на одном моменте $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ который удовлетворяет $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})={\textbf {0}}$, и мы попросим $g$ это работает рядом с точкой $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$. Другими словами, нам нужен открытый набор $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ содержащий ${\textbf {a}}$, открытый набор $V\subset \mathbb {R} ^{m}$ содержащий ${\textbf {b}}$и функция $g:U\to V$ такой, что график $g$ удовлетворяет отношению $f={\textbf {0}}$ на $U\times V$, и что никакие другие точки внутри $U\times V$ сделай это. В символах,

$$\{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.$$

Чтобы сформулировать теорему о неявной функции, нам нужна Якоби матрица $f$, которая является матрицей производных частных $f$. Сокращение $(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ к $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$, матрица Якобиана равна

$$(Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c|c}X&Y\end{array}}\right]$$

где $X$ – матрица частных производных по переменным $x_{i}$ и $Y$ – матрица частных производных по переменным $y_{j}$. Теорема о неявной функции гласит, что если $Y$ обратимая матрица, то существуют $U$, $V$, и $g$ по желанию. Совокупность всех гипотез дает следующее утверждение.

Формулировка теоремы

Позволять $f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}$ — непрерывно дифференцируемая функция , и пусть $\mathbb {R} ^{n+m}$ есть координаты $({\textbf {x}},{\textbf {y}})$. Исправить точку $({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})$ с $f({\textbf {a}},{\textbf {b}})=\mathbf {0}$, где $\mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}$ – нулевой вектор. Если матрица Якобиана (это правая панель матрицы Якоби, показанная в предыдущем разделе): $$J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]$$обратима , то существует открытое множество $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ содержащий ${\textbf {a}}$ такая, что существует единственная функция $g:U\to \mathbb {R} ^{m}$ такой, что $g(\mathbf {a} )=\mathbf {b}$, и $f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ~{\text{for all}}~\mathbf {x} \in U$. Более того, $g$ непрерывно дифференцируема и обозначает левую панель матрицы Якоби, показанную в предыдущем разделе, как: $$J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right],$$матрица Якоби частных производных $g$ в $U$ определяется матричным произведением : $$\left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} )\right]_{m\times n}=-\left[J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\,\left[J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times n}$$

Высшие производные

Если, кроме того, $f$ является аналитическим или непрерывно дифференцируемым $k$ раз в окрестностях $({\textbf {a}},{\textbf {b}})$, то можно выбрать $U$ для того, чтобы то же самое справедливо и для $g$ внутри $U$. В аналитическом случае это называется теоремой об аналитической неявной функции .

Доказательство для 2D случая

Предполагать $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ — непрерывно дифференцируемая функция, определяющая кривую $F(\mathbf {r} )=F(x,y)=0$. Позволять $(x_{0},y_{0})$ быть точкой на кривой. Утверждение приведенной выше теоремы для этого простого случая можно переписать следующим образом:

Теорема — Если $$\left.{\frac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$$ тогда в окрестности точки $(x_{0},y_{0})$ мы можем написать $y=f(x)$, где $f$ это реальная функция.

Доказательство. Поскольку F дифференцируема, запишем дифференциал F через частные производные: $$\mathrm {d} F=\operatorname {grad} F\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ={\frac {\partial F}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial F}{\partial y}}\mathrm {d} y.$$

Поскольку мы ограничены движением по кривой $F=0$ и по предположению ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}\neq 0$ вокруг точки $(x_{0},y_{0})$ (с ${\tfrac {\partial F}{\partial y}}$ является непрерывным в $(x_{0},y_{0})$ и $\left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0$). Таким образом, мы имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка : $$\partial _{x}F\mathrm {d} x+\partial _{y}F\mathrm {d} y=0,\quad y(x_{0})=y_{0}$$

Теперь ищем решение этой ОДУ в открытом интервале вокруг точки $(x_{0},y_{0})$ для которого в каждой его точке $\partial _{y}F\neq 0$. Поскольку F непрерывно дифференцируема и по предположению имеем $$|\partial _{x}F|<\infty ,|\partial _{y}F|<\infty ,\partial _{y}F\neq 0.$$

Отсюда мы знаем, что ${\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ непрерывна и ограничена с обоих концов. Отсюда мы знаем, что $-{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}$ липшицева непрерывна как по x , так и по y . Следовательно, по теореме Коши-Липшица существует единственный y ( x ), который является решением данного ОДУ с начальными условиями. КЭД

Пример круга

Вернемся к примеру единичного круга . В этом случае n = m = 1 и $f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$. Матрица частных производных представляет собой просто матрицу размера 1 × 2, определяемую формулой $$(Df)(a,b)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)&{\dfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2a&2b\end{bmatrix}}$$

Таким образом, здесь Y в формулировке теоремы — это просто число 2 b ; определяемое им линейное отображение обратимо тогда и только тогда, когда b ≠ 0 . По теореме о неявной функции мы видим, что мы можем локально записать окружность в виде y = g ( x ) для всех точек, где y ≠ 0 . Как отмечалось ранее, при (±1, 0) мы сталкиваемся с проблемой. Теорему о неявной функции все еще можно применить к этим двум точкам, записав x как функцию от y , то есть: $x=h(y)$; теперь график функции будет $\left(h(y),y\right)$, поскольку при b = 0 имеем a = 1 , и условия локального выражения функции в этой форме выполнены.

Неявная производная y по x и x по y может быть найдена путем полного дифференцирования неявной функции $x^{2}+y^{2}-1$ и приравнивая 0: $$2x\,dx+2y\,dy=0,$$предоставление $${\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}$$и $${\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.$$

Применение: изменение координат

Предположим, у нас есть m -мерное пространство, параметризованное набором координат $(x_{1},\ldots ,x_{m})$. Мы можем ввести новую систему координат $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ предоставив m функций $h_{1}\ldots h_{m}$ каждое из которых непрерывно дифференцируемо. Эти функции позволяют нам вычислить новые координаты $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ точки, учитывая старые координаты точки $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ с использованием $x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})$. Возможно, кто-то захочет проверить, возможно ли обратное: заданные координаты $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$, можем ли мы «вернуться назад» и вычислить исходные координаты той же точки $(x_{1},\ldots ,x_{m})$? Теорема о неявной функции даст ответ на этот вопрос. Координаты (новые и старые) $(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})$ связаны соотношением f = 0, причем $$f(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{1},\ldots ,h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{m}).$$Теперь матрица Якоби функции f в определенной точке ( a , b ) [где $a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})$ ] определяется $$(Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].$$где I _m обозначает m × m единичную матрицу размера , а J — размера m × m матрицу частных производных , оцененную в ( a , b ). (Выше эти блоки обозначались X и Y. Так получилось, что в этом конкретном применении теоремы ни одна матрица не зависит от a .) Теорема о неявной функции теперь утверждает, что мы можем локально выразить $(x_{1},\ldots ,x_{m})$ как функция $(x'_{1},\ldots ,x'_{m})$ если J обратим. Требование , чтобы J был обратимым, эквивалентно det J ≠ 0, таким образом, мы видим, что мы можем вернуться от координат со штрихом к координатам без штриха, если определитель якобиана J отличен от нуля. Это утверждение также известно как теорема об обратной функции .

Пример: полярные координаты

В качестве простого применения вышеизложенного рассмотрим плоскость, параметризованную полярными координатами ( R , θ ) . Мы можем перейти к новой системе координат ( декартовы координаты ), определив функции x ( R , θ ) = R cos( θ ) и y ( R , θ ) = R sin( θ ) . Это позволяет по любой точке ( R , θ ) найти соответствующие декартовы координаты ( x , y ) . Когда мы сможем вернуться и преобразовать декартовы координаты в полярные координаты? В предыдущем примере достаточно, чтобы det J ≠ 0 , причем $$J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.$$Поскольку det J = R , преобразование обратно в полярные координаты возможно, если R ≠ 0 . Итак, осталось проверить случай R = 0 . Легко видеть, что в случае R = 0 наше преобразование координат не обратимо: в начале координат значение θ не определено четко.

Обобщения

Банаховская космическая версия

На основе теоремы об обратной функции в банаховом пространстве можно распространить теорему о неявной функции на отображения со значениями в банаховом пространстве.

Пусть X , Y , Z — банаховы пространства . Пусть отображение f : X × Y → Z непрерывно дифференцируемо по Фреше . Если $(x_{0},y_{0})\in X\times Y$, $f(x_{0},y_{0})=0$, и $y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)$ является изоморфизмом банахового пространства из Y на Z , то существуют окрестности U точки x ₀ и V точки y ₀ и дифференцируемая по Фреше функция g : U → V такие, что f ( x , g ( x )) = 0 и f ( x , y ) = 0 тогда и только тогда, когда y = g ( x ), для всех $(x,y)\in U\times V$.

Неявные функции из недифференцируемых функций

Существуют различные формы теоремы о неявной функции для случая, когда функция f недифференцируема. Обычно в одном измерении достаточно локальной строгой монотонности. Следующая более общая форма была доказана Кумагаем на основе наблюдения Джитторнтрума.

Рассмотрим непрерывную функцию $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $f(x_{0},y_{0})=0$. Если существуют открытые кварталы $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ и $B\subset \mathbb {R} ^{m}$ x B ₀ и y ₀ соответственно, такие, что для y в всех , $f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}$ локально взаимно однозначен, то существуют открытые окрестности $A_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$ и $B_{0}\subset \mathbb {R} ^{m}$ x , ₀ и y ₀ такие, что для всех $y\in B_{0}$, уравнение f ( x , y ) = 0 имеет единственное решение $$x=g(y)\in A_{0},$$где g — непрерывная функция из B ₀ в A ₀ .

Схлопывающиеся коллекторы

Теорема Перельмана о коллапсе для трехмерных многообразий Терстона , краеугольный камень его доказательства гипотезы геометризации , может быть понята как расширение теоремы о неявной функции.

См. также

• Теорема об обратной функции
• Теорема о постоянном ранге . И теорему о неявной функции, и теорему об обратной функции можно рассматривать как частные случаи теоремы о постоянном ранге.

Дальнейшее чтение

• Аллендорфер, Карл Б. (1974). «Теоремы о дифференцируемых функциях». Исчисление нескольких переменных и дифференцируемых многообразий . Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 54–88. ISBN  0-02-301840-2 .
• Бинмор, КГ (1983). «Неявные функции» . Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 198–211. ISBN  0-521-28952-1 .
• Лумис, Линн Х .; Штернберг, Шломо (1990). Расширенное исчисление (пересмотренное издание). Бостон: Джонс и Бартлетт. стр. 164–171 . ISBN  0-86720-122-3 .
• Проттер, Мюррей Х .; Морри, Чарльз Б. младший. (1985). «Теоремы о неявной функции. Якобианы» . Промежуточное исчисление (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 100-1 390–420. ISBN  0-387-96058-9 .