Теорема Пикара – Линделёфа

В математике , особенно при изучении дифференциальных уравнений , теорема Пикара-Линделефа дает набор условий, при которых начальная задача имеет единственное решение. Она также известна как теорема существования Пикара , теорема Коши-Липшица или существования и единственности теорема .

Теорема названа в честь Эмиля Пикара , Эрнста Линделёфа , Рудольфа Липшица и Огюстена-Луи Коши .

Теорема

Позволять $D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ быть замкнутым прямоугольником с $(t_{0},y_{0})\in \operatorname {int} D$ , интерьер $D$ . Позволять $f:D\to \mathbb {R} ^{n}$ быть функцией, непрерывной по $t$ и Липшицева, непрерывная по $y$ (с постоянной Липшица, не зависящей от $t$ ). Тогда существует такое $ε > 0,$ что начальная задача

$y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}.$

имеет уникальное решение $y(t)$ на интервале $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ . ^[1]^[2]

Эскиз доказательства

Доказательство банаховой теоремы о основано на преобразовании дифференциального уравнения и применении неподвижной точке . Интегрируя интегральному обе части, любая функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, должна также удовлетворять уравнению

y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds.

Простое доказательство существования решения получается путем последовательных приближений. В этом контексте метод известен как итерация Пикара .

Набор

\varphi _{0}(t)=y_{0}

и

\varphi _{k+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi _{k}(s))\,ds.

Затем можно показать, используя теорему Банаха о неподвижной точке последовательность «итераций Пикара» $φ k$ сходится , что и что предел является решением проблемы. Применение леммы Грёнвалля к $| φ (т) - ψ (т)|$ , где $φ$ и $ψ$ — два решения, показывает, что $φ (t) = ψ (t)$ , тем самым доказывая глобальную уникальность (локальная уникальность является следствием уникальности банаховой неподвижной точки).

Инструкции см Ньютона . в методе последовательного приближения .

Пример итерации Пикара

Позволять $y(t)=\tan(t),$ решение уравнения $y'(t)=1+y(t)^{2}$ с начальным состоянием $y(t_{0})=y_{0}=0,t_{0}=0.$ Начиная с $\varphi _{0}(t)=0,$ мы повторяем

\varphi _{k+1}(t)=\int _{0}^{t}(1+(\varphi _{k}(s))^{2})\,ds

так что $\varphi _{n}(t)\to y(t)$ :

\varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(1+0^{2})\,ds=t

\varphi _{2}(t)=\int _{0}^{t}(1+s^{2})\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}

\varphi _{3}(t)=\int _{0}^{t}\left(1+\left(s+{\frac {s^{3}}{3}}\right)^{2}\right)\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {2t^{5}}{15}}+{\frac {t^{7}}{63}}

и так далее. Очевидно, функции вычисляют разложение в ряд Тейлора нашего известного решения. $y=\tan(t).$ С $\tan$ имеет полюса в $\pm {\tfrac {\pi }{2}},$ это сходится к локальному решению только для $|t|<{\tfrac {\pi }{2}},$ не на всех $\mathbb {R}$ .

Пример неединственности

Чтобы понять уникальность решений, рассмотрим следующие примеры. ^[3] Дифференциальное уравнение может иметь точку покоя. Например, для уравнения $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ dy / dt ⁠ = есть$ ( $a<0$ ), стационарным решением является $y (t) = 0$ , которое получается для начального условия $y (0) = 0$ . Начиная с другого начального условия $y (0) = y 0 \neq 0$ , решение y ( t ) стремится к стационарной точке, но достигает ее только на пределе бесконечного времени, поэтому единственность решений (за все конечные времена) равна гарантировано.

Однако для уравнения, в котором стационарное решение достигается за конечное время, единственность не достигается. Это происходит, например, для уравнения $⁠ dy / dt ⁠ = есть ⁠ 2 / 3 ⁠$ , который имеет по крайней мере два решения, соответствующие начальному условию $y (0) = 0,$ такие как: $y (t) = 0$ или

y(t)={\begin{cases}\left({\tfrac {at}{3}}\right)^{3}&t<0\\\ \ \ \ 0&t\geq 0,\end{cases}}

поэтому предыдущее состояние системы не определяется однозначно ее состоянием после t = 0. Теорема единственности не применима, поскольку функция $f (y) = y ⁠ 2 / 3 ⁠$ имеет бесконечный наклон при $y = 0$ и, следовательно, не является липшицевым, что нарушает условия теоремы.

Подробное доказательство

Позволять

C_{a,b}={\overline {I_{a}(t_{0})}}\times {\overline {B_{b}(y_{0})}}

где:

{\begin{aligned}{\overline {I_{a}(t_{0})}}&=[t_{0}-a,t_{0}+a]\\{\overline {B_{b}(y_{0})}}&=[y_{0}-b,y_{0}+b].\end{aligned}}

Это компактный цилиндр, в котором $f$ определено . Позволять

M=\sup _{C_{a,b}}\|f\|,

это верхняя граница ( абсолютных значений ) наклонов функции. Наконец, пусть L — константа Липшица функции $f$ относительно второй переменной.

Мы продолжим применять теорему Банаха о неподвижной точке, используя метрику на ${\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ индуцированный равномерной нормой

\|\varphi \|_{\infty }=\sup _{t\in I_{a}}|\varphi (t)|.

Мы определяем оператор между двумя функциональными пространствами непрерывных функций, оператор Пикара, следующим образом:

\Gamma :{\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))\longrightarrow {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))

определяется:

\Gamma \varphi (t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds.

Мы должны показать, что этот оператор отображает полное непустое метрическое пространство X в себя, а также является сжимающим отображением .

Сначала покажем, что при определенных ограничениях на $a$ , $\Gamma$ берет ${\overline {B_{b}(y_{0})}}$ в себя в пространстве непрерывных функций с равномерной нормой. Здесь, ${\overline {B_{b}(y_{0})}}$ — замкнутый шар в пространстве непрерывных (и ограниченных ) функций, «центрированный» в постоянной функции $y_{0}$ . Следовательно, нам нужно показать, что

\|\varphi -y_{0}\|_{\infty }\leq b

подразумевает

\left\|\Gamma \varphi (t)-y_{0}\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t'}\left\|f(s,\varphi (s))\right\|ds\leq \int _{t_{0}}^{t'}M\,ds=M\left|t'-t_{0}\right|\leq Ma\leq b

где $t'$ какое-то число в $[t_{0}-a,t_{0}+a]$ где достигается максимум. Последнее неравенство в цепочке справедливо, если наложить требование $a<{\frac {b}{M}}$ .

Теперь докажем, что этот оператор является сжимающим отображением.

Даны две функции $\varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))$ , чтобы применить теорему Банаха о неподвижной точке, нам потребуется

\left\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right\|_{\infty }\leq q\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty },

для некоторых $0\leq q<1$ . Так что пусть $t$ быть таким, что

\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\|_{\infty }=\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|.

Затем, используя определение $\Gamma$ ,

{\begin{aligned}\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|&=\left\|\int _{t_{0}}^{t}\left(f(s,\varphi _{1}(s))-f(s,\varphi _{2}(s))\right)ds\right\|\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}(s)-\varphi _{2}(s)\right\|ds&&{\text{since }}f{\text{ is Lipschitz-continuous}}\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\,ds\\&\leq La\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\end{aligned}}

Это сокращение, если $a<{\tfrac {1}{L}}.$

Мы установили, что оператор Пикара является сжатием банаховых пространств с метрикой, индуцированной равномерной нормой. Это позволяет нам применить теорему Банаха о неподвижной точке и заключить, что оператор имеет единственную неподвижную точку. В частности, существует уникальная функция

\varphi \in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))

такой, что $Γ φ = φ$ . Эта функция является единственным решением задачи начального значения, действительным на интервале I _a, где a удовлетворяет условию

a<\min \left\{{\tfrac {b}{M}},{\tfrac {1}{L}}\right\}.

Оптимизация интервала решения

убрать зависимость Ia _{интервала} от L. Мы хотим Для этого существует следствие банаховой теоремы о неподвижной точке: если оператор T ^н является сжатием для некоторого n из N , то T имеет единственную неподвижную точку. Прежде чем применять эту теорему к оператору Пикара, напомним следующее:

Лемма — $\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}(t)-\Gamma ^{m}\varphi _{2}(t)\right\|\leq {\frac {L^{m}|t-t_{0}|^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|$ для всех $t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]$

Доказательство. Индукция по м . Для базы индукции ( $m = 1$ ) мы это уже видели, поэтому предположим, что неравенство справедливо для $m - 1$ , тогда мы имеем: ${\begin{aligned}\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}(t)-\Gamma ^{m}\varphi _{2}(t)\right\|&=\left\|\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(t)-\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(t)\right\|\\&\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)-\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}{\frac {L^{m-1}|s-t_{0}|^{m-1}}{(m-1)!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|ds\right|\\&\leq {\frac {L^{m}|t-t_{0}|^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|.\end{aligned}}$

Взяв супремум над $t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]$ мы видим это $\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\|\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|$ .

что для некоторых больших m Это неравенство гарантирует , ${\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}<1,$ и, следовательно, Γ ^м будет сокращение. Таким образом, по предыдущему следствию Γ будет иметь единственную неподвижную точку. Наконец, нам удалось оптимизировать интервал решения, взяв $α = min{a, ⁠ b / M ⁠}$ .

В конечном итоге этот результат показывает, что интервал определения решения не зависит от константы Липшица поля, а только от интервала определения поля и его максимального абсолютного значения.

Другие теоремы существования

Теорема Пикара–Линделёфа показывает, что решение существует и единственно. показывает Теорема существования Пеано только существование, а не единственность, но предполагает только то, что $f$ непрерывна по $y$ , а не липшицева непрерывна . Например, правая часть уравнения $dy / dt ⁠ = y ⁠ 1 / 3 ⁠$ с начальным условием y (0) = 0 непрерывна, но не липшицева. Действительно, это уравнение не уникально, а имеет как минимум три решения: ^[4]

y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}

.

Еще более общей является теорема существования Каратеодори , которая доказывает существование (в более общем смысле) при более слабых условиях на $f$ . Хотя эти условия являются только достаточными, существуют также необходимые и достаточные условия для единственности решения начальной задачи, такие как . теорема Окамуры ^[5]

Глобальное существование решения

Теорема Пикара – Линделёфа гарантирует, что решения начальных задач существуют однозначно в пределах локального интервала. $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ , возможно, в зависимости от каждого решения. Поведение решений за пределами этого локального интервала может варьироваться в зависимости от свойств $f$ и области, в которой $f$ определяется . Например, если $f$ глобально липшицева, то локальный интервал существования каждого решения может быть расширен до всей вещественной прямой и все решения определены на всем R .

Если $f$ является только локально липшицевым, некоторые решения не могут быть определены для определенных значений t , даже если $f$ является гладким. Например, дифференциальное уравнение $dy / dt ⁠ = y 2$ с начальным условием y (0) = 1, имеет решение y ( t ) = 1/(1- t ), которое не определено при t = 1. Тем не менее, если $f$ — дифференцируемая функция, определенная над компактным подмножеством R ^н, то начальная задача имеет единственное решение, определенное на всем R . ^[6] Аналогичный результат существует в дифференциальной геометрии : если $f$ — дифференцируемое векторное поле, определенное в области, представляющей собой компактное гладкое многообразие , то все его траектории ( интегральные кривые ) существуют во все времена. ^[6]^[7]

См. также

Примечания

^ Коддингтон и Левинсон (1955) , Теорема I.3.1
^ Мюррей, Фрэнсис; Миллер, Кеннет. Теоремы существования обыкновенных дифференциальных уравнений . п. 50.
^ Арнольд, VI (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Массачусетский технологический институт Пресс. ISBN 0-262-51018-9 .
^ Коддингтон и Левинсон (1955) , с. 7
^ Агарвал, Рави П.; Лакшмикантам, В. (1993). Критерии единственности и неединственности обыкновенных дифференциальных уравнений . Всемирная научная. п. 159. ИСБН 981-02-1357-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Перко, Лоуренс Мэрион (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы . Тексты по прикладной математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 189. ИСБН 978-1-4613-0003-8 .
^ Ли, Джон М. (2003), «Гладкие многообразия» , Введение в гладкие многообразия , Тексты для выпускников по математике, том. 218, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York, стр. 1–29, doi : 10.1007/978-0-387-21752-9_1 , ISBN. 978-0-387-95448-6

Ссылки

Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . МакГроу-Хилл . ISBN 9780070992566 .
Линделеф, Э. (1894). «О применении метода последовательных приближений к обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка» . Еженедельные отчеты о сессиях Академии наук . 118 :454–7. (В этой статье Линделеф обсуждает обобщение более раннего подхода Пикара.)
Тешль, Джеральд (2012). «2.2. Основной результат существования и единственности» (PDF) . Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Аспирантура по математике . Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . п. 38. eISSN 2376-9203 . ISBN 978-0-8218-8328-0 . ISSN 1065-7339 . Збл 1263.34002 .

Внешние ссылки

«Теорема Коши-Липшица» . Энциклопедия математики .
Фиксированные точки и алгоритм Пикара , взято с http://www.krellinst.org/UCES/archive/classes/CNA/dir2.6/uces2.6.html .
Грант, Кристофер (1999). «Лекция 4: Теорема Пикара-Линделёфа» (PDF) . Математика 634: Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Департамент математики Университета Бригама Янга.

[1] Коддингтон и Левинсон (1955) , Теорема I.3.1

[2] Мюррей, Фрэнсис; Миллер, Кеннет. Теоремы существования обыкновенных дифференциальных уравнений . п. 50.

[3] Арнольд, VI (1978). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Массачусетский технологический институт Пресс. ISBN 0-262-51018-9 .

[4] Коддингтон и Левинсон (1955) , с. 7

[5] Агарвал, Рави П.; Лакшмикантам, В. (1993). Критерии единственности и неединственности обыкновенных дифференциальных уравнений . Всемирная научная. п. 159. ИСБН 981-02-1357-3 .

[:0-6] Перейти обратно: ^а ^б Перко, Лоуренс Мэрион (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы . Тексты по прикладной математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. п. 189. ИСБН 978-1-4613-0003-8 .

[7] Ли, Джон М. (2003), «Гладкие многообразия» , Введение в гладкие многообразия , Тексты для выпускников по математике, том. 218, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York, стр. 1–29, doi : 10.1007/978-0-387-21752-9_1 , ISBN. 978-0-387-95448-6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]