Список нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения занимают видное место во многих научных областях. Нелинейные уравнения представляют особый интерес из-за их общности при описании реальных систем и того, насколько сложнее их решать по сравнению с линейными дифференциальными уравнениями. В этом списке представлены нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения с именами, отсортированные по областям интересов.

Математика

Имя	Заказ	Уравнение	Приложение	Ссылка
Дифференциальное уравнение Абеля первого рода	1	${\frac {dy}{dx}}=f_{o}(x)+f_{1}(x)y+f_{2}(x)y^{2}+f_{3}(x)y^{3}$	Класс дифференциального уравнения, которое можно решить неявно
Дифференциальное уравнение Абеля второго рода	1	$(g_{o}(x)+g_{1}(x)y){\frac {dy}{dx}}=f_{o}(x)+f_{1}(x)y+f_{2}(x)y^{2}+f_{3}(x)y^{3}$	Класс дифференциального уравнения, которое можно решить неявно
уравнение Бернулли	1	${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{n}$	Класс дифференциальных уравнений, которые можно решить точно
Биномиальное дифференциальное уравнение	$m$	$\left(y'\right)^{m}=f(x,y)$	Класс дифференциальных уравнений, которые иногда можно решить точно
Уравнение Брио-Буке	1	$x^{m}y'=f(x,y)$	Класс дифференциальных уравнений, которые иногда можно решить точно
Дифференциальное уравнение Черуэлла-Райта	1	${\frac {dx}{dt}}=(a-x(t-1))x(t)$ или соответствующая форма $f'(x)={\frac {-f(x)f({\sqrt {x}})}{2x}}$	Пример нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием ; приложения в теории чисел , распределении простых чисел и теории управления
Уравнение Кристалла	1	$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+Ax{\frac {dy}{dx}}+By+Cx^{2}=0$	Обобщение уравнения Клеро с сингулярным решением
Уравнение Клеро	1	$y=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)$	Частный случай уравнения Даламбера, который можно решить точно.
уравнение Даламбера или уравнение Лагранжа	1	$y=xf\left({\frac {dy}{dx}}\right)+g\left({\frac {dy}{dx}}\right)$	Можно решить точно
Уравнение Дарбу	1	${\frac {dy}{dx}}={\frac {P(x,y)+yR(x,y)}{Q(x,y)+xR(x,y)}}$	Может быть сведено к дифференциальному уравнению Бернулли ; общий случай уравнения Якоби
Эллиптическая функция	1	$y'={\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-k^{2}y^{2}\right)}}$	Уравнение, решениями которого являются эллиптические функции
Дифференциальное уравнение Эйлера	1	${\frac {dy}{dx}}+{\frac {\sqrt {a_{0}+a_{1}y+a_{2}y^{2}+a_{3}y^{3}+a_{4}y^{4}}}{\sqrt {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}}}}=0$	Разделимое дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение Эйлера	1	$y'+y'^{2}=\alpha x^{m}$	Дифференциальное уравнение, которое можно решить с помощью функций Бесселя.
уравнение Якоби	1	${\frac {dy}{dx}}={\frac {Axy+By^{2}+ax+by+c}{Ax^{2}+Bxy+\alpha x+\beta y+\gamma }}$	Частный случай уравнения Дарбу, интегрируемого в замкнутой форме
Дифференциальное уравнение Лёвнера	1	${\frac {dw}{dt}}=-wp_{t}(w)$	Важен в комплексном анализе и геометрической теории функций.
Логистическое дифференциальное уравнение (иногда известное как модель Ферхюльста)	2	${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}$	Частный случай дифференциального уравнения Бернулли ; множество приложений, в том числе в динамике численности населения
Аттрактор Лоренца	1	${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (y-x)\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z\end{aligned}}$	Теория хаоса , динамические системы , метеорология
Взял уравнения	1	${\begin{aligned}{\frac {dT_{1}}{dz}}&=[T_{2},T_{3}]\\{\frac {dT_{2}}{dz}}&=[T_{3},T_{1}]\\{\frac {dT_{3}}{dz}}&=[T_{1},T_{2}]\end{aligned}}$	Дифференциальная геометрия , калибровочная теория , математическая физика , магнитные монополи
Пенлеве, я превосходю	2	${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+t$	Один из пятидесяти классов дифференциальных уравнений вида $y''=R(y',y,t)$; шести трансцендентов Пенлеве потребовались новые специальные функции. для решения
Пенлеве II трансцендирует	2	${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+\alpha$	Один из пятидесяти классов дифференциальных уравнений вида $y''=R(y',y,t)$; шести трансцендентов Пенлеве потребовались новые специальные функции. для решения
Пенлеве III трансцендирует	2	$ty{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=t\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-y{\frac {dy}{dt}}+\delta t+\beta y+\alpha y^{3}+\gamma ty^{4}$	Один из пятидесяти классов дифференциальных уравнений вида $y''=R(y',y,t)$; шести трансцендентов Пенлеве потребовались новые специальные функции. для решения
Пенлеве IV трансцендент	2	$y{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\beta +2(t^{2}-\alpha )y^{2}+4ty^{3}+{\tfrac {3}{2}}y^{4}$	Один из пятидесяти классов дифференциальных уравнений вида $y''=R(y',y,t)$; шести трансцендентов Пенлеве потребовались новые специальные функции. для решения
Пенлеве V трансцендент	2	${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {(y-1)^{2}}{t^{2}}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma {\frac {y}{t}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}$	Один из пятидесяти классов дифференциальных уравнений вида $y''=R(y',y,t)$; шести трансцендентов Пенлеве потребовались новые специальные функции. для решения
Пенлеве VI трансцендент	2	${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}\\&+{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left(\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right)\\\end{aligned}}$	Все остальные трансценденты Пенлеве являются вырождениями шестого.
Уравнения Рабиновича–Фабриканта.	1	${\begin{aligned}{\dot {x}}&=y(z-1+x^{2})+\gamma x\\{\dot {y}}&=x(3z+1-x^{2})+\gamma y\\{\dot {z}}&=-2z(\alpha +xy)\end{aligned}}$	Теория хаоса , динамические системы
Уравнение Риккати	1	${\frac {dy}{dx}}+Q(x)y+R(x)y^{2}=P(x)$	Класс дифференциальных уравнений первого порядка, квадратичный относительно неизвестного. В некоторых случаях можно свести к дифференциальному уравнению Бернулли или линейному дифференциальному уравнению.
Аттрактор Ресслера	1	${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}&=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}&=b+z(x-c)\end{aligned}}$	Теория хаоса , динамические системы

Физика

Имя	Заказ	Уравнение	Приложения	Ссылка
Уравнение Беллмана или уравнение Эмдена-Фаулера.	2	${\frac {d}{dt}}\left(t^{\rho }{\frac {du}{dt}}\right)=t^{\sigma }u^{\rho }$ (Эмдена-Фаулера), что сводится к ${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=\phi ^{2}u^{p}$ если $\sigma +\rho =0$ (Беллман)	Диффузия в плите
Уравнение Безанта-Релея-Плессе	2	$R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho }}=0$	Сферический пузырь в гидродинамике
Уравнение Блазиуса	3	${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+y{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0$	Пограничный слой Блазиуса
Уравнение белого карлика Чандрасекара	2	${\frac {1}{x^{2}}}{\frac {d}{dx}}\left(x^{2}{\frac {dy}{dx}}\right)+(y^{2}-c)^{3/2}=0$	Гравитационный потенциал белого карлика в астрофизике
Уравнение Бура-Лудфорда	2	${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=y|y|^{\alpha },\ \alpha >0$	Физика плазмы
Уравнение Эмдена – Чандрасекара	2	${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\psi }{d\xi }}\right)=e^{-\psi }$	Астрофизика
Ermakov-Pinney equation	2	${\ddot {x}}+\omega ^{2}x={\frac {h^{2}}{x^{3}}}$	Электромагнетизм , колебания , скалярного поля космологии
Уравнение Фолкнера – Скана	3	${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+y{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\beta \left[1-\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]=0$	Пограничный слой Фолкнера – Скана
Уравнения Фридмана	2	${\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}$ и ${\frac {{\dot {a}}^{2}+kc^{2}}{a^{2}}}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}$	Физическая космология
уравнение движения Гейзенберга	1	${\frac {d{\hat {A(t)}}}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {\mathcal {H}}},{\hat {A}}]$	Квантовая механика
Уравнение Айви	2	${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {1}{y}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+{\frac {2}{x}}{\frac {dy}{dx}}+ky^{2}=0$	пространственного заряда Теория
Уравнение Киддера	2	${\sqrt {1-\alpha y}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}=0,\ 0\leq \alpha \leq 1$	Течение через пористую среду
уравнение Крогдала	2	${\frac {d^{2}Q}{d\tau ^{2}}}=-Q+{\frac {2}{3}}\lambda Q^{2}+{\frac {14}{27}}\lambda ^{2}Q^{3}+\mu (1-Q^{2}){\frac {dQ}{d\tau }}+{\frac {2}{3}}\lambda (1-\lambda Q)\left({\frac {dQ}{d\tau }}\right)^{2}+\cdots$	Звездная пульсация в астрофизике
Уравнение Лагерстрома	2	$y''+{\frac {k}{r}}y'+\epsilon y'y=0$	Одномерное вязкое течение при малых числах Рейнольдса
Уравнение Лейна – Эмдена или политропное дифференциальное уравнение	2	${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left({\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}}\right)+\theta ^{n}=0$	Астрофизика
Уравнение Линьяна	2	${\frac {d^{2}y}{d\zeta ^{2}}}=(y^{2}-\zeta ^{2})e^{-\delta ^{1/3}(y+\gamma \zeta )}$	Горение
Уравнение маятника	2	${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0$	Механика
Уравнение Пуассона–Больцмана (1d случай)	2	${\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}+{\frac {k}{z}}{\frac {d\theta }{dz}}=-\delta e^{\theta }$	Горючесть и теория тепловых взрывов.
Уравнение Стюарта – Ландау	1	${\frac {dA}{dt}}=\sigma A-{\frac {l}{2}}A|A|^{2}$	Гидродинамическая устойчивость
Уравнение Тейлора – Макколла	2	$(c^{2}-f'^{2})f''+c^{2}\cot \theta f'+(2c^{2}-f'^{2})f=0,\quad c=c(f^{2}+f'^{2})$ где $f'={\frac {df}{d\theta }}$	Течение за конической ударной волной
Уравнение Томаса – Ферми	2	${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {x}}}y^{3/2}$	Квантовая механика
Все решетки	1	${\begin{aligned}{\dot {a}}(n,t)&=a(n,t){\Big (}b(n+1,t)-b(n,t){\Big )}\\{\dot {b}}(n,t)&=2{\Big (}a(n,t)^{2}-a(n-1,t)^{2}{\Big )}\end{aligned}}$где ${\begin{aligned}a(n,t)&={\frac {1}{2}}{\rm {e}}^{-(q(n+1,t)-q(n,t))/2}\\b(n,t)&=-{\frac {1}{2}}p(n,t)\end{aligned}}$	Модель одномерного кристалла в физике твердого тела , Ленгмюровы колебания в плазме, квантовые когомологии ; примечателен тем, что является полностью интегрируемой системой

Инженерное дело

Имя	Заказ	Уравнение	Приложения	Ссылка
Уравнение Даффинга	2	${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\mu {\frac {dx}{dt}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos \omega t$	Осцилляторы , гистерезис , хаотические динамические системы
Регулятор Льюиса	2	$y''+(1-|y|)y'+y=0$	Осцилляторы
Уравнение Льенара	2	${d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0$ с $f$ странный и $g$ даже	Генераторы , электротехника , динамические системы
Уравнение Рэлея	2	$y''+F(y')+y=0$	Генераторы (особенно автоколебательные), акустика ; уравнение Ван дер Поля является уравнением Рэлея
Van der Pol equation	2	${d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0$	Генераторы , электротехника , хаотические динамические системы

Химия

Имя	Заказ	Уравнение	Приложения	Ссылка
Брюсселатор	1	${\begin{aligned}{d \over dt}\left\{X\right\}&=\left\{A\right\}+\left\{X\right\}^{2}\left\{Y\right\}-\left\{B\right\}\left\{X\right\}-\left\{X\right\}\\{d \over dt}\left\{Y\right\}&=\left\{B\right\}\left\{X\right\}-\left\{X\right\}^{2}\left\{Y\right\}\end{aligned}}$	Тип автокаталитической реакции, моделируемой при постоянной концентрации.
Орегонатор	1	${\begin{aligned}{\frac {d[X]}{dt}}&=k_{I}[A][Y]-k_{II}[X][Y]+k_{III}[A][X]-2k_{IV}[X]^{2}\\{\frac {d[Y]}{dt}}&=-k_{I}[A][Y]-k_{II}[X][Y]+{\frac {1}{2}}fk_{V}[B][Z]\\{\frac {d[Z]}{dt}}&=2k_{III}[A][X]-k_{V}[B][Z]\end{aligned}}$	Тип автокаталитической реакции, моделируемой при постоянной концентрации.

Биология и медицина

Имя	Заказ	Уравнение	Приложения	Ссылка
Эффект Алли	1	${\frac {dN}{dt}}=-rN\left(1-{\frac {N}{A}}\right)\left(1-{\frac {N}{K}}\right)$	Популяционная биология
Уравнения Ардити–Гинзбурга.	1	${\begin{aligned}{\frac {dN}{dt}}&=f(N)\,N-g{\left(\!{\tfrac {N}{P}}\!\right)}P\\{\frac {dP}{dt}}&=e\,g{\left(\!{\tfrac {N}{P}}\!\right)}P-uP\end{aligned}}$	Динамика населения
FitzHugh–Nagumo model or Bonhoeffer-van der Pol model	1	${\begin{aligned}{\dot {v}}&=v-{\frac {v^{3}}{3}}-w+RI_{\rm {ext}}\\\tau {\dot {w}}&=v+a-bw\end{aligned}}$	Потенциалы действия в нейронах , осцилляторах
Уравнения Ходжкина-Хаксли	1	${\begin{aligned}I&=C_{m}{\frac {{\mathrm {d} }V_{m}}{{\mathrm {d} }t}}+{\bar {g}}_{\text{K}}n^{4}(V_{m}-V_{K})+{\bar {g}}_{\text{Na}}m^{3}h(V_{m}-V_{Na})+{\bar {g}}_{l}(V_{m}-V_{l})\\{\frac {dn}{dt}}&=\alpha _{n}(V_{m})(1-n)-\beta _{n}(V_{m})n\\{\frac {dm}{dt}}&=\alpha _{m}(V_{m})(1-m)-\beta _{m}(V_{m})m\\{\frac {dh}{dt}}&=\alpha _{h}(V_{m})(1-h)-\beta _{h}(V_{m})h\end{aligned}}$	Потенциалы действия в нейронах
Модель Курамото	1	${\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}K_{ij}\sin(\theta _{j}-\theta _{i}),\qquad i=1\ldots N$	Синхронизация , связанные генераторы
Lotka–Volterra equations	1	${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\alpha x-\beta xy\\{\frac {dy}{dt}}&=\delta xy-\gamma y\end{aligned}}$	Динамика населения
Уравнение цены	1	${d \over {dt}}\mathbb {E} (x)=\underbrace {{\text{Cov}}(x,f)} _{\text{Selection effect}}+\underbrace {\mathbb {E} ({\dot {x}})} _{\text{Dynamic effect}}$	Эволюция и изменение частоты аллелей с течением времени
Модель СИР	1	${\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=-\beta SI\\{\frac {dI}{dt}}&=\beta SI-\gamma I\\{\frac {dR}{dt}}&=\gamma I\end{aligned}}$	Эпидемиология

Экономика и финансы

Имя	Заказ	Уравнение	Приложения	Ссылка
Модель диффузии басов	1	${\frac {dF}{dt}}=(1-F)(p+qF)$	Уравнение Риккати, используемое в маркетинге для описания внедрения продукта.
Модель Рэмси – Касса – Купманса	1	${\begin{aligned}{\dot {k}}&=f(k)-(n+\delta )k-c\\{\dot {c}}&=\sigma (c)\left[f_{k}(k)-\delta -\rho \right]\cdot c\end{aligned}}$	Неоклассическая экономическая модель экономического роста
Модель Солоу – Свона	1	${\dot {k}}(t)=sk(t)^{\alpha }-(n+g+\delta )k(t)$	Модель долгосрочного экономического роста

См. также

• Список линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
• Список нелинейных уравнений в частных производных
• Список названных дифференциальных уравнений
• Список стохастических дифференциальных уравнений