Дифференциальное уравнение Бернулли

В математике обыкновенное дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением Бернулли, если оно имеет вид

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n},$

где $n$ это действительное число . Некоторые авторы допускают любые реальные $n$, тогда как другие требуют этого $n$ не быть 0 или 1. Уравнение было впервые рассмотрено в работе 1695 года Якобом Бернулли , в честь которого оно названо. Однако самое раннее решение было предложено Готфридом Лейбницем , который опубликовал свой результат в том же году и чей метод используется до сих пор.

Уравнения Бернулли особенные, поскольку представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения с известными точными решениями. Примечательным частным случаем уравнения Бернулли является логистическое дифференциальное уравнение .

Преобразование к линейному дифференциальному уравнению

Когда $n=0$, дифференциальное уравнение линейно . Когда $n=1$, это отделимо . В этих случаях могут быть применены стандартные методы решения уравнений такого вида. Для $n\neq 0$ и $n\neq 1$, замена $u=y^{1-n}$ сводит любое уравнение Бернулли к линейному дифференциальному уравнению

${\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).$

Например, в случае $n=2$, сделав замену $u=y^{-1}$ в дифференциальном уравнении ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}$ дает уравнение ${\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x$, которое представляет собой линейное дифференциальное уравнение.

Решение

Позволять $x_{0}\in (a,b)$ и

${\begin{cases}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty ),&{\text{if }}\alpha \in \mathbb {R} \smallsetminus \{1,2\},\\[4pt]z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \smallsetminus \{0\},&{\text{if }}\alpha =2,\end{cases}}$

быть решением линейного дифференциального уравнения

$z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).$

Тогда у нас есть это $y(x):=[z(x)]^{1/(1-\alpha )}$ является решением

$y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{1/(1-\alpha )}.$

И для каждого такого дифференциального уравнения, для всех $\alpha >0$ у нас есть $y\equiv 0$ как решение для $y_{0}=0$.

Пример

Рассмотрим уравнение Бернулли

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

(в данном случае, точнее, уравнение Риккати ).Постоянная функция $y=0$ это решение. Деление на $y^{2}$ урожайность

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

Замена переменных дает уравнения

${\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\[5pt]-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\[5pt]u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}$

которое можно решить с помощью интегрирующего множителя

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$

Умножение на $M(x)$,

$u'x^{2}+2xu=x^{4}.$

Левую часть можно представить производную как $ux^{2}$ путем изменения правила продукта . Применяя цепное правило и интегрируя обе стороны по отношению к $x$ приводит к уравнениям

${\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\[5pt]ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\[5pt]{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}$

Решение для $y$ является

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.$

Ссылки

• Бернулли, Джейкоб ). ( 1695 г. Цитируется в Hairer, Nørsett & Wanner (1993) .
• Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-56670-0 .

Внешние ссылки

• Указатель дифференциальных уравнений