Уравнение Пуассона – Больцмана

Уравнение Пуассона–Больцмана описывает распределение электрического потенциала в растворе в направлении, нормальном к заряженной поверхности. Это распределение важно для определения того, как электростатические взаимодействия повлияют на молекулы в растворе. Уравнение Пуассона – Больцмана выведено на основе предположений о среднем поле . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Из уравнения Пуассона-Больцмана было получено множество других уравнений с рядом различных предположений.

Происхождение

Предыстория и вывод

Уравнение Пуассона-Больцмана описывает модель, предложенную независимо Луи Жоржем Гуи и Дэвидом Леонардом Чепменом в 1910 и 1913 годах соответственно. ^{[ 3 ]} В модели Гуи-Чепмена заряженное твердое тело вступает в контакт с ионным раствором, создавая слой поверхностных зарядов и противоионов или двойной слой . ^{[ 4 ]} Из-за теплового движения ионов слой противоионов является диффузным слоем и более протяженным, чем одиночный молекулярный слой, как ранее предполагал Герман Гельмгольц в модели Гельмгольца. ^{[ 3 ]} Модель Штерна Слоя идет еще дальше и учитывает конечный размер ионов.

Теория	Важные характеристики	Предположения
Гельмгольц	Поверхностный заряд нейтрализуется молекулярным слоем противоионов; потенциал поверхностного заряда линейно рассеивается от поверхности к противоионам для удовлетворения заряда ^{[ 5 ]}	Тепловое движение, диффузия ионов, адсорбция на поверхности, взаимодействие растворитель/поверхность считаются незначительными. ^{[ 5 ]}
Гуи-Чепмен	Учтено тепловое движение ионов; ионы ведут себя как точечные заряды ^{[ 6 ]}	Конечный размер иона игнорируется; однородно заряженная поверхность; некулоновские взаимодействия игнорируются ^{[ 6 ]}
Стерн	Учитываются конечные размеры ионов и гидратная сфера; некоторые ионы специфически адсорбируются поверхностью в плоскости, известной как слой Штерна. ^{[ 7 ]}	Штерновый слой тонкий по сравнению с размером частиц; скорость жидкости = 0 в слое Штерна ^{[ 7 ]}

Модель Гуи-Чепмена объясняет емкостные свойства двойного электрического слоя. ^{[ 4 ]} Простой плоский случай с отрицательно заряженной поверхностью можно увидеть на рисунке ниже. Как и ожидалось, концентрация противоионов у поверхности выше, чем в объеме раствора.

Уравнение Пуассона–Больцмана описывает электрохимический потенциал ионов в диффузном слое. Трехмерное распределение потенциала можно описать уравнением Пуассона ^{[ 4 ]} $\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-{\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}},$ где

$\rho _{e}$ - локальная плотность электрического заряда в Кл/м ³,
$\varepsilon _{r}$ - диэлектрическая проницаемость ( относительная диэлектрическая проницаемость ) растворителя,
$\varepsilon _{0}$ - диэлектрическая проницаемость свободного пространства,
$ψ$ – электрический потенциал .

Свободу движения ионов в растворе можно объяснить статистикой Больцмана . Уравнение Больцмана используется для расчета локальной плотности ионов такой, что $c_{i}=c_{i}^{0}\cdot e^{\frac {-W_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}},$ где

$c_{i}^{0}$ - концентрация ионов в объеме, ^{[ 8 ]}
$W_{i}$ – это работа, необходимая для перемещения иона ближе к поверхности с бесконечно дальнего расстояния,
$k_{\mathrm {B} }$ — постоянная Больцмана ,
$T$ это температура в кельвинах .

Уравнение для локальной плотности ионов можно подставить в уравнение Пуассона в предположении, что совершаемая работа представляет собой только электрическую работу, что наш раствор состоит из соли в соотношении 1:1 (например, NaCl) и что концентрация соли равна значительно превышает концентрацию ионов. ^{[ 4 ]} Электрическую работу по переносу заряженного катиона или заряженного аниона на поверхность с потенциалом $ψ$ можно представить как $W^{+}=e\psi$ и $W^{-}=-e\psi$ соответственно. ^{[ 4 ]} Эти рабочие уравнения можно подставить в уравнение Больцмана, получив два выражения $c^{-}=c_{0}\cdot e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}$ и $c^{+}=c_{0}\cdot e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}$ , где e — заряд электрона, 1,602 × 10 ⁻¹⁹ кулоны.

Подставив эти соотношения Больцмана в выражение плотности локального электрического заряда, можно получить следующее выражение $\rho _{e}=e{(c^{+}-c^{-})}=c_{0}e\cdot \left[e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}-e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right].$

Наконец, плотность заряда можно подставить в уравнение Пуассона, чтобы получить уравнение Пуассона – Больцмана. ^{[ 4 ]}

Связанные теории

Уравнение Пуассона-Больцмана может принимать разные формы в различных научных областях. В биофизике и некоторых приложениях химии поверхности оно известно просто как уравнение Пуассона-Больцмана. ^{[ 9 ]} она также известна В электрохимии как теория Гуи-Чепмена; в химии растворов как теория Дебая – Хюккеля ; в коллоидной химии как теория Дерягина-Ландау-Вервея-Овербика (ДЛВО) . ^{[ 9 ]} Для применения уравнения Пуассона-Больцмана к различным моделям межфазных границ необходимы лишь незначительные изменения, что делает его очень полезным инструментом для определения электростатического потенциала на поверхностях. ^{[ 4 ]}

Аналитическое решение

Поскольку уравнение Пуассона-Больцмана представляет собой частный дифференциал второго порядка, его обычно решают численно ; однако при определенной геометрии ее можно решить аналитически.

Геометрии

Геометрия, которая легче всего способствует этому, — это плоская поверхность. В случае бесконечно протяженной плоской поверхности существуют два измерения, в которых потенциал не может измениться из-за симметрии. Предполагая, что эти измерения являются измерениями y и z, остается только измерение x. Ниже приведено уравнение Пуассона–Больцмана, решенное аналитически в терминах производной второго порядка по x. ^{[ 4 ]}

${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {c_{0}e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot \left[e^{\frac {e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}-e^{\frac {-e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]$

В конкретном исследовании также были найдены аналитические решения для осевого и сферического случаев. ^{[ 10 ]} Уравнение имеет форму логарифма степенного ряда и имеет следующий вид: ${\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}+{\frac {L}{r}}{\frac {d\psi }{dr}}=e^{\psi }-\delta e^{-\psi }$

Он использует безразмерный потенциал $\psi ={\frac {e\Phi }{kT}}$ а длины измеряются в единицах дебаевского радиуса электрона в области нулевого потенциала $R_{eD}={\sqrt {\frac {kT}{4\pi e^{2}n_{e0}}}}$ (где $n_{e0}$ обозначает плотность отрицательных ионов в области нулевого потенциала). Для сферического случая L=2, для осевого случая L=1 и для плоского случая L=0.

Случаи с низким и высоким потенциалом

При использовании уравнения Пуассона-Больцмана важно определить, является ли конкретный случай низким или высоким потенциалом . Случай с высоким потенциалом становится более сложным, поэтому, если применимо, используйте уравнение низкого потенциала. В условиях низкого потенциала действительна линеаризованная версия уравнения Пуассона – Больцмана (показанная ниже), и она обычно используется, поскольку она более проста и охватывает широкий спектр случаев. ^{[ 11 ]} $\psi =\psi _{0}e^{-\mathrm {K} x}$

Условия случая с низким потенциалом

Строго говоря, низкий потенциал означает, что $e\left\vert \psi \right\vert \ll k_{\mathrm {B} }T$ ; однако результаты, полученные уравнениями, справедливы для более широкого диапазона потенциалов - от 50 до 80 мВ. ^{[ 4 ]} Тем не менее при комнатной температуре $\psi \leq \mathrm {25mV}$ и это вообще стандарт. ^{[ 4 ]} Некоторые граничные условия, которые применяются в случаях низкого потенциала, заключаются в следующем: на поверхности потенциал должен быть равен поверхностному потенциалу, а на больших расстояниях от поверхности потенциал приближается к нулевому значению. Эта длина затухания расстояния определяется длиной Дебая $\lambda _{D}$ уравнение. ^{[ 4 ]}

$\mathrm {K} ={\sqrt {\frac {2c_{0}e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}$

$\lambda _{D}=\mathrm {K} ^{-1}$

По мере увеличения концентрации соли дебаевская длина уменьшается из-за того, что ионы в растворе экранируют поверхностный заряд. ^{[ 12 ]} Особым примером этого уравнения является случай $25^{\circ }C$ вода с одновалентной солью. ^{[ 4 ]} Тогда уравнение длины Дебая имеет вид:

$\lambda _{D}={\frac {\mathrm {0.304nm} }{\sqrt {c_{0}}}}$

где $c_{0}$ – концентрация соли в моль/л. Все эти уравнения требуют случаев концентрации соли 1:1, но если присутствуют ионы с более высокой валентностью, используется следующий случай. ^{[ 4 ]}

$\mathrm {K} ={\sqrt {{\frac {e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}\sum c_{i}{Z_{i}}^{2}}}$

Случай с высоким потенциалом

Случай с высоким потенциалом называется «полным одномерным случаем». Для получения уравнения используется общее решение уравнения Пуассона–Больцмана и исключается случай низких потенциалов. Уравнение решается с безразмерным параметром $y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}$ , который не следует путать с символом пространственной координаты y. ^{[ 4 ]} Используя несколько тригонометрических тождеств и граничные условия, согласно которым на больших расстояниях от поверхности безразмерный потенциал и его производная равны нулю, обнаружено уравнение высокого потенциала. ^{[ 4 ]}

$e^{-\mathrm {K} x}={\frac {(e^{y/2}-1)(e^{y_{0}/2}+1)}{(e^{y/2}+1)(e^{y_{0}/2}-1)}}$

Это уравнение решено для $e^{y/2}$ показано ниже.

$e^{y/2}={\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}$

Чтобы получить более полезное уравнение, которое облегчит построение графиков распределений высокого потенциала, возьмите натуральный логарифм обеих частей и найдите безразмерный потенциал y.

$y=2\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}$

Зная это $y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}$ , замените это значение на y в предыдущем уравнении и найдите $\psi$ . Представляется следующее уравнение.

$\psi ={\frac {2k_{B}T}{e}}\cdot \ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}$

$y_{0}={\frac {e\psi _{0}}{k_{B}T}}$

Условия

В случаях с низким потенциалом можно использовать уравнение высокого потенциала, которое все равно будет давать точные результаты. По мере роста потенциала линейный случай с низким потенциалом переоценивает потенциал как функцию расстояния от поверхности. Это завышение заметно на расстояниях менее половины дебаевской длины , где затухание более крутое, чем экспоненциальное затухание. На следующем рисунке используются линеаризованное уравнение и графическое уравнение высокого потенциала, полученное выше. Это график зависимости потенциала от расстояния для изменения поверхностного потенциала 50, 100, 150 и 200 мВ. Уравнения, использованные на этом рисунке, предполагают раствор NaCl с концентрацией 80 мМ.

Общие приложения

Уравнение Пуассона-Больцмана можно применять в различных областях, главным образом в качестве инструмента моделирования для получения аппроксимаций для таких приложений, как заряженные биомолекулярные взаимодействия, динамика электронов в полупроводниках или плазме и т. д. Большинство приложений этого уравнения используются в качестве моделей для получения дальнейшее понимание электростатики .

Физиологические применения

Уравнение Пуассона-Больцмана можно применить к биомолекулярным системам. Одним из примеров является связывание электролитов с биомолекулами в растворе. Этот процесс зависит от электростатического поля, создаваемого молекулой, электростатического потенциала на поверхности молекулы, а также электростатической свободной энергии. ^{[ 13 ]}

Линеаризованное уравнение Пуассона-Больцмана можно использовать для расчета электростатического потенциала и свободной энергии сильно заряженных молекул, таких как тРНК , в ионном растворе с различным количеством связанных ионов при различной физиологической ионной силе. Показано, что электростатический потенциал зависит от заряда молекулы, а электростатическая свободная энергия учитывает суммарный заряд системы. ^{[ 14 ]}

Другим примером использования уравнения Пуассона-Больцмана является определение профиля электрического потенциала в точках, перпендикулярных бислою эритроцита фосфолипидному . При этом учитываются как гликокаликс , так и спектриновые слои мембраны эритроцитов. Эта информация полезна по многим причинам, включая изучение механической стабильности мембраны эритроцитов. ^{[ 15 ]}

Электростатическая свободная энергия

Уравнение Пуассона-Больцмана также можно использовать для расчета электростатической свободной энергии для гипотетической зарядки сферы с использованием следующего интеграла зарядки: $\Delta G^{\text{el}}=\int ^{\tau }qU(\tau ')\,d\tau '$ где $\tau q$ это конечный заряд на сфере

Электростатическую свободную энергию также можно выразить, взяв процесс зарядки системы. Следующее выражение использует химический потенциал молекул растворенного вещества и реализует уравнение Пуассона-Больцмана с функционалом Эйлера-Лагранжа : $\Delta G^{\text{el}}=\int _{V}\left(kT\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]+p^{f}U-{\frac {-\varepsilon ({\boldsymbol {\nabla }}U)^{2}}{8\pi }}\right)dV$

Обратите внимание, что свободная энергия не зависит от пути зарядки [5c].

Приведенное выше выражение можно переписать в отдельные члены свободной энергии, основанные на различных вкладах в общую свободную энергию. $\Delta G^{\text{el}}=\Delta G^{\text{ef}}+\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}$ где

Электростатические фиксированные заряды = $\Delta G^{\text{ef}}=\int _{V}{\frac {p^{f}U}{2}}dV$
Электростатические подвижные заряды = $\Delta G^{\text{em}}=\int _{V}{\frac {\sum _{i}c_{i}z_{i}qU}{2}}dV$
Энтропийная свободная энергия смешения подвижных частиц = $\Delta G^{\text{mob}}=kT\int _{V}c_{i}\ln {\frac {c_{i}}{c_{i}^{\infty }}}dV$
Энтропийная свободная энергия смешения растворителя = $\Delta G^{\text{solv}}=kT\int _{V}\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]dV$

Наконец, объединив последние три члена, получим следующее уравнение, представляющее вклад космического пространства в интеграл плотности свободной энергии: $\Delta G^{\text{out}}=\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}$

Эти уравнения могут выступать в качестве простых геометрических моделей для биологических систем, таких как белки , нуклеиновые кислоты и мембраны. ^{[ 13 ]} Это предполагает решение уравнений с простыми граничными условиями, такими как постоянный поверхностный потенциал. Эти приближения полезны в таких областях, как коллоидная химия . ^{[ 13 ]}

Материаловедение

Аналитическое решение уравнения Пуассона-Больцмана можно использовать для описания электрон-электронного взаимодействия в металл-изолятор- полупроводник (МДП). ^{[ 16 ]} Это можно использовать для описания зависимости диссипативных систем, таких как мезоскопическая система, как от времени, так и от положения. Это делается путем аналитического решения уравнения Пуассона–Больцмана в трехмерном случае. Решение этого вопроса приводит к выражениям функции распределения для уравнения Больцмана и самосогласованного среднего потенциала для уравнения Пуассона . Эти выражения полезны для анализа квантового транспорта в мезоскопической системе. В туннельных переходах металл-изолятор-полупроводник электроны могут накапливаться близко к границе раздела между слоями, и в результате на квантовый транспорт системы будут влиять электрон-электронные взаимодействия. ^{[ 16 ]} Определенные транспортные свойства, такие как электрический ток и электронная плотность, можно узнать путем решения самосогласованного среднего кулоновского потенциала из электрон-электронных взаимодействий, который связан с электронным распределением. Поэтому для получения аналитических величин в МДП-туннельных переходах необходимо аналитическое решение уравнения Пуассона–Больцмана. ^{[ 16 ]} Применяя следующее аналитическое решение уравнения Пуассона – Больцмана (см. раздел 2) к туннельным МДП-переходам, можно сформировать следующее выражение для выражения величин электронного транспорта, таких как электронная плотность и электрический ток. $f_{1}f^{0}-f_{0}+{\frac {eE_{z}\tau _{0}}{m}}{\frac {\partial f_{0}}{\partial v_{z}}}\left(1-e^{\frac {-\tau }{\tau _{0}}}\right)-\int _{0}^{t}{\frac {e}{m}}e{^{\frac {t-\tau '}{\tau _{0}}}}\nabla \rho [r-v(t-t')]\times {\frac {\partial f_{0}}{\partial v}}dt'$

Применяя приведенное выше уравнение к туннельному переходу МДП, можно проанализировать перенос электронов вдоль оси z, которая перпендикулярна плоскости слоев. В данном случае выбирается переход n-типа со смещением V, приложенным вдоль оси z. Самосогласованный средний потенциал системы можно найти с помощью $\rho \rho _{1}+\rho _{2}$ где

$\rho _{1}\approx {\frac {aE_{z}}{2\lambda _{D1}}}e^{-\lambda _{D1}z}$ и
$\rho _{2}\approx {\frac {ne{\sqrt {\pi }}G(i\lambda _{D1})e^{{\frac {-t}{\tau _{0}}}-\lambda _{D1}z}}{3{\sqrt {3}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\lambda _{D1}}}\left(1-e^{1-{\sqrt {\frac {2ne^{2}t^{2}}{m\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}}}\right)$

$λ$ называется длиной Дебая .

Электронная плотность и электрический ток могут быть найдены с помощью приведенного выше уравнения 16 в зависимости от положения z. Эти электронные транспортные величины можно использовать для понимания различных транспортных свойств в системе.

Ограничения ^{[ 4 ]}

Как и любая приближенная модель, уравнение Пуассона – Больцмана представляет собой скорее приближение, чем точное представление. Для аппроксимации потенциала диффузного слоя было сделано несколько предположений. Конечный размер ионов считался пренебрежимо малым, и ионы рассматривались как отдельные точечные заряды, при этом предполагалось, что ионы взаимодействуют со средним электростатическим полем всех своих соседей, а не с каждым соседом в отдельности. Кроме того, не учитывались некулоновские взаимодействия и не учитывались некоторые взаимодействия, например перекрытие сфер гидратации ионов в водной системе. Диэлектрическая проницаемость растворителя предполагалась постоянной, что привело к грубому приближению, поскольку полярные молекулы не могут свободно перемещаться, когда они сталкиваются с сильным электрическим полем на твердой поверхности.

Хотя модель имеет определенные ограничения, она очень хорошо описывает двойные электрические слои. Ошибки, возникающие из-за ранее упомянутых допущений, по большей части компенсируют друг друга. Учет некулоновских взаимодействий увеличивает концентрацию ионов на поверхности и приводит к уменьшению поверхностного потенциала. С другой стороны, учет конечного размера ионов приводит к противоположному эффекту. Уравнение Пуассона–Больцмана наиболее подходит для аппроксимации электростатического потенциала на поверхности водных растворов одновалентных солей при концентрациях менее 0,2 М и потенциалах не более 50–80 мВ.

В пределе сильных электростатических взаимодействий теория сильной связи более применима, чем слабая связь, предполагаемая при выводе теории Пуассона-Больцмана. ^{[ 17 ]}

См. также

Двойной слой

Ссылки

^ Нетц, РР; Орланд, Х. (1 февраля 2000 г.). «Помимо Пуассона-Больцмана: эффекты флуктуаций и корреляционные функции». Европейский физический журнал Э. 1 (2): 203–214. arXiv : cond-mat/9902085 . Бибкод : 2000EPJE....1..203N . дои : 10.1007/s101890050023 . ISSN 1292-8941 . S2CID 119468015 .
^ Аттард, Фил (7 августа 2002 г.). Термодинамика и статистическая механика: равновесие путем максимизации энтропии . Академическая пресса. п. 318. ИСБН 978-0-12-066321-7 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Фоголари, Ф.; Бриго, А.; Молинари, Х. (2002). «Уравнение Пуассона-Больцмана для биомолекулярной электростатики: инструмент структурной биологии». Дж. Мол. Распознать . 15 (6): 379–385. дои : 10.1002/jmr.577 . ПМИД 12501158 . S2CID 17184352 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п Батт, Х.; Граф, Л.; Каппль, М. (2006). Физика и химия интерфейсов (2-е изд.). Вайнхайм, Германия: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40629-6 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Государственный университет Нью-Мексико. «Электрический двойной слой» . Проверено 1 июня 2014 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Университет Саймона Фрейзера. «Химия 465, лекция 10» (PDF) . Проверено 1 июня 2014 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Департамент химической инженерии Университета Карнеги-Меллон. «Применение модели динамического слоя Штерна для измерения электрофоретической подвижности частиц латекса» (PDF) . Проверено 1 июня 2014 г.
^ «Электрический двойной слой» . web.nmsu.edu . Проверено 1 июня 2018 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Лу, БЗ; и др. (2008). «Последние достижения в области численных методов решения уравнения Пуассона-Больцмана в биофизических приложениях» . Коммун. Вычислить. Физ. 3 (5): 973–1009 [стр. 974–980].
^ Дьячков, Л.Г. (2005). «Аналитическое решение уравнения Пуассона – Больцмана в случаях сферической и осевой симметрии». Письма по технической физике . 31 (3): 204–207. Бибкод : 2005ТеФЛ..31..204Д . дои : 10.1134/1.1894433 . S2CID 120529487 .
^ Тюнье, Р. (2003). «Приближенные решения уравнения Пуассона – Больцмана в сферической и цилиндрической геометрии». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 258 (1): 45–49. Бибкод : 2003JCIS..258...45T . дои : 10.1016/S0021-9797(02)00142-X .
^ Сперелакис, Н. (2012). Справочник по клеточной физиологии: молекулярный подход (3-е изд.). Сан-Диего: Акад. ISBN 978-0-12-387738-3 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Фоголари, Федерико; Зуккато, Пьерфранческо; Эспозито, Дженнаро; Виглино, Паола (1999). «Биомолекулярная электростатика с линеаризованным уравнением Пуассона – Больцмана» . Биофизический журнал . 76 (1): 1–16. Бибкод : 1999BpJ....76....1F . дои : 10.1016/S0006-3495(99)77173-0 . ПМК 1302495 . ПМИД 9876118 .
^ Грузиэль, Магдалена; Гроховский, Павел; Трильска, Иоанна (2008). «Модель Пуассона-Больцмана для тРНК» . Дж. Компьютер. хим. 29 (12): 1970–1981. дои : 10.1002/jcc.20953 . ПМК 2599918 . ПМИД 18432617 .
^ Круз, Фредерико АО; Вилена, Фернандо СДС; Кортес, Селия М. (2000). «Решения нелинейного уравнения Пуассона–Больцмана для мембраны эритроцитов» . Бразильский физический журнал . 30 (2): 403–409. Бибкод : 2000BrJPh..30..403C . doi : 10.1590/S0103-97332000000200023 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Чжан Ли-Чжи; Ван Чжэн-Чуань (2009). «Аналитическое решение уравнения Больцмана-Пуассона и его применение к туннельным переходам МИС». Китайская физика Б. 18 (2): 2975–2980. Бибкод : 2009ЧФБ..18.2975З . дои : 10.1088/1674-1056/18/7/059 . S2CID 250813154 .
^ Морейра, АГ; Нетц, Р.Р. (2000). «Теория сильной связи для распределений противоионов». Письма по еврофизике . 52 (6): 705–711. arXiv : cond-mat/0009376 . Бибкод : 2000EL.....52..705M . дои : 10.1209/epl/i2000-00495-1 . S2CID 18058376 .

Внешние ссылки

Адаптивный решатель Пуассона-Больцмана - бесплатный пакет программного обеспечения с открытым исходным кодом для электростатики Пуассона-Больцмана и биомолекулярной сольватации.
Zap - решатель электростатики Пуассона – Больцмана.
Согласованный интерфейс MIBPB и решатель Пуассона – Больцмана на основе границ
CHARMM-GUI: решатель PBEQ
AFMPB Адаптивный быстрый многополюсный решатель Пуассона – Больцмана, бесплатный и с открытым исходным кодом
Глобальные классические решения уравнения Больцмана с дальнодействующими взаимодействиями , Филип Т. Грессман и Роберт М. Стрейн, 2009, Пенсильванский университет, математический факультет, Филадельфия, Пенсильвания, США.

[1] Нетц, РР; Орланд, Х. (1 февраля 2000 г.). «Помимо Пуассона-Больцмана: эффекты флуктуаций и корреляционные функции». Европейский физический журнал Э. 1 (2): 203–214. arXiv : cond-mat/9902085 . Бибкод : 2000EPJE....1..203N . дои : 10.1007/s101890050023 . ISSN 1292-8941 . S2CID 119468015 .

[2] Аттард, Фил (7 августа 2002 г.). Термодинамика и статистическая механика: равновесие путем максимизации энтропии . Академическая пресса. п. 318. ИСБН 978-0-12-066321-7 .

[1b-3] Перейти обратно: ^а ^б Фоголари, Ф.; Бриго, А.; Молинари, Х. (2002). «Уравнение Пуассона-Больцмана для биомолекулярной электростатики: инструмент структурной биологии». Дж. Мол. Распознать . 15 (6): 379–385. дои : 10.1002/jmr.577 . ПМИД 12501158 . S2CID 17184352 .

[textbook-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п Батт, Х.; Граф, Л.; Каппль, М. (2006). Физика и химия интерфейсов (2-е изд.). Вайнхайм, Германия: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40629-6 .

[helmholtz-5] Перейти обратно: ^а ^б Государственный университет Нью-Мексико. «Электрический двойной слой» . Проверено 1 июня 2014 г.

[sfu-6] Перейти обратно: ^а ^б Университет Саймона Фрейзера. «Химия 465, лекция 10» (PDF) . Проверено 1 июня 2014 г.

[Stern-7] Перейти обратно: ^а ^б Департамент химической инженерии Университета Карнеги-Меллон. «Применение модели динамического слоя Штерна для измерения электрофоретической подвижности частиц латекса» (PDF) . Проверено 1 июня 2014 г.

[8] «Электрический двойной слой» . web.nmsu.edu . Проверено 1 июня 2018 г.

[1a-9] Перейти обратно: ^а ^б Лу, БЗ; и др. (2008). «Последние достижения в области численных методов решения уравнения Пуассона-Больцмана в биофизических приложениях» . Коммун. Вычислить. Физ. 3 (5): 973–1009 [стр. 974–980].

[journalR-10] Дьячков, Л.Г. (2005). «Аналитическое решение уравнения Пуассона – Больцмана в случаях сферической и осевой симметрии». Письма по технической физике . 31 (3): 204–207. Бибкод : 2005ТеФЛ..31..204Д . дои : 10.1134/1.1894433 . S2CID 120529487 .

[Tuinier-11] Тюнье, Р. (2003). «Приближенные решения уравнения Пуассона – Больцмана в сферической и цилиндрической геометрии». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 258 (1): 45–49. Бибкод : 2003JCIS..258...45T . дои : 10.1016/S0021-9797(02)00142-X .

[12] Сперелакис, Н. (2012). Справочник по клеточной физиологии: молекулярный подход (3-е изд.). Сан-Диего: Акад. ISBN 978-0-12-387738-3 .

[5c-13] Перейти обратно: ^а ^б ^с Фоголари, Федерико; Зуккато, Пьерфранческо; Эспозито, Дженнаро; Виглино, Паола (1999). «Биомолекулярная электростатика с линеаризованным уравнением Пуассона – Больцмана» . Биофизический журнал . 76 (1): 1–16. Бибкод : 1999BpJ....76....1F . дои : 10.1016/S0006-3495(99)77173-0 . ПМК 1302495 . ПМИД 9876118 .

[14] Грузиэль, Магдалена; Гроховский, Павел; Трильска, Иоанна (2008). «Модель Пуассона-Больцмана для тРНК» . Дж. Компьютер. хим. 29 (12): 1970–1981. дои : 10.1002/jcc.20953 . ПМК 2599918 . ПМИД 18432617 .

[15] Круз, Фредерико АО; Вилена, Фернандо СДС; Кортес, Селия М. (2000). «Решения нелинейного уравнения Пуассона–Больцмана для мембраны эритроцитов» . Бразильский физический журнал . 30 (2): 403–409. Бибкод : 2000BrJPh..30..403C . doi : 10.1590/S0103-97332000000200023 .

[5f-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с Чжан Ли-Чжи; Ван Чжэн-Чуань (2009). «Аналитическое решение уравнения Больцмана-Пуассона и его применение к туннельным переходам МИС». Китайская физика Б. 18 (2): 2975–2980. Бибкод : 2009ЧФБ..18.2975З . дои : 10.1088/1674-1056/18/7/059 . S2CID 250813154 .

[17] Морейра, АГ; Нетц, Р.Р. (2000). «Теория сильной связи для распределений противоионов». Письма по еврофизике . 52 (6): 705–711. arXiv : cond-mat/0009376 . Бибкод : 2000EL.....52..705M . дои : 10.1209/epl/i2000-00495-1 . S2CID 18058376 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]