Уравнение Рэлея – Плессе

В механике жидкости уравнение Рэлея -Плессе или уравнение Безанта-Релея-Плессе представляет собой нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение , которое определяет динамику сферического пузырька в бесконечном теле несжимаемой жидкости. ^[1]^[2]^[3]^[4] Его общий вид обычно записывается как

$R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho _{L}}}=0$

где

\rho _{L}

плотность окружающей жидкости, считающаяся постоянной

R(t)

это радиус пузыря

\nu _{L}

- кинематическая вязкость окружающей жидкости, считающаяся постоянной.

\sigma

- поверхностное натяжение границы раздела пузырь-жидкость

\Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)

, в котором,

P_{B}(t)

давление внутри пузырька считается однородным и

P_{\infty }(t)

внешнее давление бесконечно далеко от пузыря

При условии, что $P_{B}(t)$ известно и $P_{\infty }(t)$ задано, уравнение Рэлея – Плессе можно использовать для определения изменяющегося во времени радиуса пузырька. $R(t)$ .

Уравнение Рэлея-Плессе выводится из уравнений Навье-Стокса в предположении сферической симметрии . ^[4]

История

В пренебрежении поверхностным натяжением и вязкостью уравнение было впервые получено У. Х. Безантом в его книге 1859 года с формулировкой задачи: « Бесконечная масса однородной несжимаемой жидкости, на которую не действуют никакие силы, находится в покое, а сферическая часть жидкости внезапно аннигилирует». ; требуется найти мгновенное изменение давления в любой точке массы и время, за которое полость заполнится, причем давление на бесконечном расстоянии предполагается оставаться постоянным (фактически Безант приписывает задачу Кембриджу Проблемы Сената и Палаты представителей 1847 года). ^[5] Безант предсказала время, необходимое для заполнения пустой полости начального радиуса. $R_{0}$ быть

{\begin{aligned}t&=R_{0}{\sqrt {\frac {6\rho }{P_{\infty }}}}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=R_{0}{\sqrt {\frac {\pi \rho }{6P_{\infty }}}}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468R_{0}{\sqrt {\frac {\rho }{P_{\infty }}}}\end{aligned}}

Лорд Рэлей нашел более простой вывод того же результата, основанный на законе сохранения энергии . Кинетическая энергия втекающей жидкости равна $2\pi \rho U^{2}R^{3}$ где $R$ - зависящий от времени радиус пустоты, а $U$ радиальная скорость жидкости там. Работа, совершаемая жидкостью, нажимающей на бесконечность, равна $4\pi P_{\infty }(R_{0}^{3}-R^{3})/3$ , и приравнивание этих двух энергий дает связь между $R$ и $U$ . Затем, заметив, что $U=\partial R/\partial t$ , разделение переменных дает результат Безанта. Рэлей пошел дальше Безанта, оценивая интеграл ( бета-функцию Эйлера ) через гамма-функции . Рэлей адаптировал этот подход к случаю полости, заполненной идеальным газом (пузыря), включив член для работы, совершаемой при сжатии газа.

Для случая совершенно пустой пустоты Рэлей определил, что давление $P$ в жидкости на радиусе $r$ дается:

{\frac {P}{P_{\infty }}}-1={\frac {R}{3r}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-4\right)-{\frac {R^{4}}{3r^{4}}}\left({\frac {R_{0}^{3}}{R^{3}}}-1\right)

Когда пустота составляет не менее четверти своего первоначального объема, давление монотонно убывает от $P_{\infty }$ на бесконечности до нуля в $R$ . По мере дальнейшего сжатия пустоты достигается максимум давления, превышающий $P_{\infty }$ появляется в

r^{3}={\frac {4(R_{0}^{3}-R^{3})R^{3}}{R_{0}^{3}-4R^{3}}}

очень быстро растет и сходится в пустоте.

Уравнение было впервые применено к движущимся кавитационным пузырькам Милтоном С. Плессетом в 1949 году, включив в него эффекты поверхностного натяжения. ^[6]

Вывод

Уравнение Рэлея-Плессе можно полностью вывести из первых принципов, используя радиус пузырька в качестве динамического параметра. ^[3] Рассмотрим сферический пузырек, радиус которого зависит от времени. $R(t)$ , где $t$ это время. Предположим, что пузырек содержит однородно распределенный пар/газ с одинаковой температурой. $T_{B}(t)$ и давление $P_{B}(t)$ . Снаружи пузыря находится бесконечная область жидкости с постоянной плотностью. $\rho _{L}$ и динамическая вязкость $\mu _{L}$ . Пусть температура и давление вдали от пузырька равны $T_{\infty }$ и $P_{\infty }(t)$ . Температура $T_{\infty }$ предполагается постоянным. На радиальном расстоянии $r$ от центра пузырька различные свойства жидкости представляют собой давление $P(r,t)$ , температура $T(r,t)$ и скорость радиально наружу $u(r,t)$ . Обратите внимание, что эти свойства жидкости определяются только вне пузырька, т.е. $r\geq R(t)$ .

Массовая консервация

В силу сохранения массы закон обратных квадратов требует, чтобы скорость радиально наружу $u(r,t)$ должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния от начала координат (центра пузырька). ^[6] Поэтому, позволяя $F(t)$ быть некоторой функцией времени,

u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}

В случае нулевого переноса массы по поверхности пузырька скорость на границе раздела должна быть равна

u(R,t)={\frac {dR}{dt}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}

что дает это

F(t)=R^{2}dR/dt

В случае массопереноса и предположении, что содержимое пузырька имеет постоянную плотность, скорость увеличения массы внутри пузырька определяется выражением

{\frac {dm_{V}}{dt}}=\rho _{V}{\frac {dV}{dt}}=\rho _{V}{\frac {d(4\pi R^{3}/3)}{dt}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {dR}{dt}}

с $V$ это объем пузыря. Если $u_{L}$ - скорость жидкости относительно пузырька при $r=R$ , то масса, входящая в пузырек, определяется выражением

{\frac {dm_{L}}{dt}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}

с $A$ площадь поверхности пузыря. Теперь по сохранению массы $dm_{v}/dt=dm_{L}/dt$ , поэтому $u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})dR/dt$ . Следовательно

u(R,t)={\frac {dR}{dt}}-u_{L}={\frac {dR}{dt}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {dR}{dt}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {dR}{dt}}

Поэтому

F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {dR}{dt}}

Во многих случаях плотность жидкости значительно превышает плотность пара. $\rho _{L}\gg \rho _{V}$ , так что $F(t)$ может быть аппроксимирован исходной формой нулевого массопереноса $F(t)=R^{2}dR/dt$ , так что ^[6]

u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}

Сохранение импульса

Полагая, что жидкость представляет собой ньютоновскую жидкость , уравнение несжимаемой Навье–Стокса в сферических координатах для движения в радиальном направлении дает

\rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]

Замена кинематической вязкости $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$ и перестановка дает

-{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]

при этом заменяя $u(r,t)$ от массового сохранения урожайности

-{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}

Обратите внимание, что вязкие члены отменяются во время замены. ^[6] Разделение переменных и интегрирование по границе пузыря $r=R$ к $r\rightarrow \infty$ дает

-{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P(\infty )}dP=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]dr

{{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}}

Граничные условия

Позволять $\sigma _{rr}$ — нормальное напряжение в жидкости, направленное радиально наружу от центра пузырька. В сферических координатах для жидкости постоянной плотности и постоянной вязкости

\sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}

Следовательно, на некоторой небольшой части поверхности пузырька результирующая сила, действующая на пластинку на единицу площади, равна

{\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}&=-P(R)+\left.2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {dR}{dt}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+P_{B}-{\frac {2\sigma }{R}}\\\end{aligned}}

где $\sigma$ это поверхностное натяжение . ^[6] Если массопереноса через границу нет, то эта сила на единицу площади должна быть равна нулю, следовательно

$P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{R}}$

и поэтому результат сохранения импульса становится

{\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {dR}{dt}}-{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}

тем самым переставляя и позволяя $\nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}$ дает уравнение Рэлея – Плессе ^[6]

{\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}

Используя точечную запись для представления производных по времени, уравнение Рэлея – Плессе можно более кратко записать как

{\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}({\dot {R}})^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}

Решения

Совсем недавно аналитические решения в замкнутой форме были найдены для уравнения Рэлея – Плессе как для пустого, так и для газонаполненного пузыря. ^[7] и были обобщены на N-мерный случай. ^[8] Также был изучен случай, когда поверхностное натяжение присутствует за счет эффектов капиллярности. ^[8]^[9]

Кроме того, для особого случая, когда пренебрегают поверхностным натяжением и вязкостью, также известны аналитические аппроксимации высокого порядка. ^[10]

В статическом случае уравнение Рэлея-Плессе упрощается, давая уравнение Янга-Лапласа :

P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}

Если рассматривать только бесконечно малые периодические изменения радиуса и давления пузырька, уравнение РП также дает выражение собственной частоты колебаний пузырька .

Ссылки

^ Рэлей, Лорд (1917). «О давлении, развивающемся в жидкости при схлопывании сферической полости» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Серия 6. 34 (200): 94–98. дои : 10.1080/14786440808635681 .
^ Плессе, MS (1949). «Динамика кавитационных пузырьков» . Журнал прикладной механики . 16 (3): 228–231. Бибкод : 1949JAM....16..277P . дои : 10.1115/1.4009975 .
^ Jump up to: ^а ^б Лейтон, Т.Г. (17 апреля 2007 г.). «Вывод уравнения Рэлея – Плессе через объем» . Саутгемптон , Великобритания: Институт исследований звука и вибрации. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
^ Jump up to: ^а ^б Линь, Хао; Брайан Д. Стори; Эндрю Дж. Шери (2002). «Инерционные неоднородности в сильно схлопывающихся пузырьках: справедливость уравнения Рэлея – Плессе» . Журнал механики жидкости . 452 (1): 145–162. Бибкод : 2002JFM...452..145L . дои : 10.1017/S0022112001006693 . ISSN 0022-1120 . S2CID 17006496 . Архивировано из оригинала 8 июня 2019 г. Проверено 31 мая 2012 г.
^ Безант, WH (1859 г.). «Статья 158» . Трактат по гидростатике и гидродинамике . Дейтон, Белл. стр. 170–171.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бреннен, Кристофер Э. (1995). Кавитация и динамика пузырьков . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-509409-1 .
^ Кудряшов Николай А.; Синельщиков, Дмитрий И. (18 сентября 2014 г.). «Аналитические решения уравнения Рэлея для пустого и газонаполненного пузыря». Физический журнал A: Математический и теоретический . 47 (40): 405202. arXiv : 1409.6699 . Бибкод : 2014JPhA...47N5202K . дои : 10.1088/1751-8113/47/40/405202 . S2CID 118557571 .
^ Jump up to: ^а ^б Кудряшов Николай А.; Синельщиков, Дмитрий И. (31 декабря 2014 г.). «Аналитические решения задач динамики пузырьков». Буквы по физике А. 379 (8): 798–802. arXiv : 1608.00811 . Бибкод : 2016arXiv160800811K . дои : 10.1016/j.physleta.2014.12.049 . S2CID 119162123 .
^ Манкас, Южная Каролина; Рошу, Харет К. (2016). «Кавитация сферических пузырьков: замкнутая форма, параметрические и численные решения». Физика жидкостей . 28 (2): 022009. arXiv : 1508.01157 . Бибкод : 2016ФФл...28б2009М . дои : 10.1063/1.4942237 . S2CID 118607832 .
^ Обрешков, Д.; Брюдерер М.; Фархат, М. (5 июня 2012 г.). «Аналитические приближения коллапса пустого сферического пузыря». Физический обзор E . 85 (6): 066303. arXiv : 1205.4202 . Бибкод : 2012PhRvE..85f6303O . дои : 10.1103/PhysRevE.85.066303 . ПМИД 23005202 . S2CID 1160322 .

[1] Рэлей, Лорд (1917). «О давлении, развивающемся в жидкости при схлопывании сферической полости» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . Серия 6. 34 (200): 94–98. дои : 10.1080/14786440808635681 .

[2] Плессе, MS (1949). «Динамика кавитационных пузырьков» . Журнал прикладной механики . 16 (3): 228–231. Бибкод : 1949JAM....16..277P . дои : 10.1115/1.4009975 .

[Leighton-3] Jump up to: ^а ^б Лейтон, Т.Г. (17 апреля 2007 г.). «Вывод уравнения Рэлея – Плессе через объем» . Саутгемптон , Великобритания: Институт исследований звука и вибрации. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )

[Lin2002-4] Jump up to: ^а ^б Линь, Хао; Брайан Д. Стори; Эндрю Дж. Шери (2002). «Инерционные неоднородности в сильно схлопывающихся пузырьках: справедливость уравнения Рэлея – Плессе» . Журнал механики жидкости . 452 (1): 145–162. Бибкод : 2002JFM...452..145L . дои : 10.1017/S0022112001006693 . ISSN 0022-1120 . S2CID 17006496 . Архивировано из оригинала 8 июня 2019 г. Проверено 31 мая 2012 г.

[5] Безант, WH (1859 г.). «Статья 158» . Трактат по гидростатике и гидродинамике . Дейтон, Белл. стр. 170–171.

[Brennen-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Бреннен, Кристофер Э. (1995). Кавитация и динамика пузырьков . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-509409-1 .

[Kudryashov-7] Кудряшов Николай А.; Синельщиков, Дмитрий И. (18 сентября 2014 г.). «Аналитические решения уравнения Рэлея для пустого и газонаполненного пузыря». Физический журнал A: Математический и теоретический . 47 (40): 405202. arXiv : 1409.6699 . Бибкод : 2014JPhA...47N5202K . дои : 10.1088/1751-8113/47/40/405202 . S2CID 118557571 .

[Kudryashov2015-8] Jump up to: ^а ^б Кудряшов Николай А.; Синельщиков, Дмитрий И. (31 декабря 2014 г.). «Аналитические решения задач динамики пузырьков». Буквы по физике А. 379 (8): 798–802. arXiv : 1608.00811 . Бибкод : 2016arXiv160800811K . дои : 10.1016/j.physleta.2014.12.049 . S2CID 119162123 .

[Mancas-9] Манкас, Южная Каролина; Рошу, Харет К. (2016). «Кавитация сферических пузырьков: замкнутая форма, параметрические и численные решения». Физика жидкостей . 28 (2): 022009. arXiv : 1508.01157 . Бибкод : 2016ФФл...28б2009М . дои : 10.1063/1.4942237 . S2CID 118607832 .

[Obreschkow-10] Обрешков, Д.; Брюдерер М.; Фархат, М. (5 июня 2012 г.). «Аналитические приближения коллапса пустого сферического пузыря». Физический обзор E . 85 (6): 066303. arXiv : 1205.4202 . Бибкод : 2012PhRvE..85f6303O . дои : 10.1103/PhysRevE.85.066303 . ПМИД 23005202 . S2CID 1160322 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]