Уравнение белого карлика Чандрасекара

В астрофизике уравнение белого карлика Чандрасекара с начальным значением, представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение введенное индийско-американским астрофизиком Субраманьяном Чандрасекаром . в своем исследовании гравитационного потенциала полностью выродившихся звезд белых карликов . Уравнение читается как

$${\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}\right)+(\varphi ^{2}-C)^{3/2}=0$$

с начальными условиями

$$\varphi (0)=1,\quad \varphi '(0)=0$$

где $\varphi$ измеряет плотность белого карлика, $\eta$ - безразмерное радиальное расстояние от центра и $C$ — константа, связанная с плотностью белого карлика в центре. Граница $\eta =\eta _{\infty }$ уравнения определяется условием

$$\varphi (\eta _{\infty })={\sqrt {C}}.$$

такой, что диапазон $\varphi$ становится ${\sqrt {C}}\leq \varphi \leq 1$. Это условие эквивалентно утверждению, что плотность обращается в нуль при $\eta =\eta _{\infty }$.

Вывод

Из квантовой статистики полностью вырожденного электронного газа (все низшие квантовые состояния заняты) давление и плотность белого карлика рассчитываются через максимальный импульс электрона. $p_{0}$стандартизирован как $x=p_{0}/mc$, с давлением $P=Af(x)$ и плотность $\rho =Bx^{3}$, где

$${\begin{aligned}&A={\frac {\pi m_{e}^{4}c^{5}}{3h^{3}}}=6.02\times 10^{21}{\text{ Pa}},\\&B={\frac {8\pi }{3}}m_{p}\mu _{e}\left({\frac {m_{e}c}{h}}\right)^{3}=9.82\times 10^{8}\mu _{e}{\text{ kg/m}}^{3},\\&f(x)=x(2x^{2}-3)(x^{2}+1)^{1/2}+3\sinh ^{-1}x,\end{aligned}}$$

$\mu _{e}$ - средняя молекулярная масса газа, а $h$ — высота небольшого куба газа только с двумя возможными состояниями.

Если это подставить в уравнение гидростатического равновесия

$${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {r^{2}}{\rho }}{\frac {dP}{dr}}\right)=-4\pi G\rho$$

где $G$ гравитационная постоянная и $r$ – радиальное расстояние, мы получаем

$${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {d{\sqrt {x^{2}+1}}}{dr}}\right)=-{\frac {\pi GB^{2}}{2A}}x^{3}$$

и позволяя $y^{2}=x^{2}+1$, у нас есть

$${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dy}{dr}}\right)=-{\frac {\pi GB^{2}}{2A}}(y^{2}-1)^{3/2}$$

Если мы обозначим плотность в начале координат как $\rho _{o}=Bx_{o}^{3}=B(y_{o}^{2}-1)^{3/2}$, то безразмерный масштаб

$$r=\left({\frac {2A}{\pi GB^{2}}}\right)^{1/2}{\frac {\eta }{y_{o}}},\quad y=y_{o}\varphi$$

дает

$${\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}\right)+(\varphi ^{2}-C)^{3/2}=0$$

где $C=1/y_{o}^{2}$. Другими словами, после решения приведенного выше уравнения плотность определяется выражением

$$\rho =By_{o}^{3}\left(\varphi ^{2}-{\frac {1}{y_{o}^{2}}}\right)^{3/2}.$$

Затем можно рассчитать массу внутри указанной точки.

$$M(\eta )=-{\frac {4\pi }{B^{2}}}\left({\frac {2A}{\pi G}}\right)^{3/2}\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}.$$

Зависимость радиуса от массы белого карлика обычно изображается в плоскости $\eta _{\infty }$- $M(\eta _{\infty })$.

Решение вблизи начала координат

В окрестностях источника, $\eta \ll 1$Чандрасекар представил асимптотическое разложение как

$${\begin{aligned}\varphi ={}&1-{\frac {q^{3}}{6}}\eta ^{2}+{\frac {q^{4}}{40}}\eta ^{4}-{\frac {q^{5}(5q^{2}+14)}{7!}}\eta ^{6}\\[6pt]&{}+{\frac {q^{6}(339q^{2}+280)}{3\times 9!}}\eta ^{8}-{\frac {q^{7}(1425q^{4}+11346q^{2}+4256)}{5\times 11!}}\eta ^{10}+\cdots \end{aligned}}$$

где $q^{2}=C-1$. Он также предоставил численные решения для диапазона $C=0.01-0.8$.

Уравнение для малых центральных плотностей

Когда центральная плотность $\rho _{o}=Bx_{o}^{3}=B(y_{o}^{2}-1)^{3/2}$ мало, уравнение можно свести к уравнению Лейна–Эмдена , введя

$$\xi ={\sqrt {2}}\eta ,\qquad \theta =\varphi ^{2}-C=\varphi ^{2}-1+x_{o}^{2}+O(x_{o}^{4})$$

чтобы получить в ведущем порядке следующее уравнение

$${\frac {1}{\xi ^{2}}}{\frac {d}{d\xi }}\left(\xi ^{2}{\frac {d\theta }{d\xi }}\right)=-\theta ^{3/2}$$

при соблюдении условий $\theta (0)=x_{o}^{2}$ и $\theta '(0)=0$. Обратите внимание, что хотя уравнение сводится к уравнению Лейна–Эмдена с политропы индексом $3/2$, начальное условие отличается от уравнения Лейна – Эмдена.

Предельная масса для больших центральных плотностей

Когда центральная плотность становится большой, т.е. $y_{o}\rightarrow \infty$ или эквивалентно $C\rightarrow 0$, основное уравнение сводится к

$${\frac {1}{\eta ^{2}}}{\frac {d}{d\eta }}\left(\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}\right)=-\varphi ^{3}$$

при соблюдении условий $\varphi (0)=1$ и $\varphi '(0)=0$. Это в точности уравнение Лейна–Эмдена с индексом политропы $3$. Заметим, что в этом пределе больших плотностей радиус

$$r=\left({\frac {2A}{\pi GB^{2}}}\right)^{1/2}{\frac {\eta }{y_{o}}}$$

стремится к нулю. Однако масса белого карлика стремится к конечному пределу.

$$M\rightarrow -{\frac {4\pi }{B^{2}}}\left({\frac {2A}{\pi G}}\right)^{3/2}\left(\eta ^{2}{\frac {d\varphi }{d\eta }}\right)_{\eta =\eta _{\infty }}=5.75\mu _{e}^{-2}M_{\odot }.$$

. предел Чандрасекара Из этого предела следует

См. также

• Уравнение Эмдена – Чандрасекара
• Уравнение Толмана – Оппенгеймера – Волкова