Биномиальное дифференциальное уравнение

В математике биномиальное дифференциальное уравнение — это обыкновенное дифференциальное уравнение вида $\left(y'\right)^{m}=f(x,y),$ где $m$ является натуральным числом и $f(x,y)$ – полином по , аналитический обеим переменным. ^[1]^[2]

Решение

Позволять $P(x,y)=(x+y)^{k}$ — многочлен двух переменных порядка $k$ , где $k$ является натуральным числом . По формуле биномиальной

P(x,y)=\sum \limits _{j=0}^{k}{{\binom {k}{j}}x^{j}y^{k-j}}

. ^{[ соответствующий? ]}

Биномиальное дифференциальное уравнение принимает вид ${\textstyle (y')^{m}=(x+y)^{k}}$ . ^{[ нужны разъяснения ]} Замена $v=x+y$ и его производная $v'=1+y'$ дает ${\textstyle (v'-1)^{m}=v^{k}}$ , который можно записать ${\textstyle {\tfrac {dv}{dx}}=1+v^{\tfrac {k}{m}}}$ , которое является разделимым обыкновенным дифференциальным уравнением. Решение дает

{\begin{array}{lrl}&{\frac {dv}{dx}}&=1+v^{\tfrac {k}{m}}\\\Rightarrow &{\frac {dv}{1+v^{\tfrac {k}{m}}}}&=dx\\\Rightarrow &\int {\frac {dv}{1+v^{\tfrac {k}{m}}}}&=x+C\end{array}}

Особые случаи

Если $m=k$ , это дает дифференциальное уравнение $v'-1=v$ и решение $y\left(x\right)=Ce^{x}-x-1$ , где $C$ является константой.
Если $m|k$ (то есть, $m$ является делителем $k$ ), то решение имеет вид ${\textstyle \int {\frac {dv}{1+v^{n}}}=x+C}$ . В таблицах книги Градштейна и Рыжика эта форма раскладывается как:

\int {\frac {dv}{1+v^{n}}}=\left\{{\begin{array}{ll}-{\frac {2}{n}}\sum \limits _{i=0}^{{\textstyle {n \over 2}}-1}{P_{i}\cos \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right)}+{\frac {2}{n}}\sum \limits _{i=0}^{{\tfrac {n}{2}}-1}{Q_{i}\sin \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right)},&n:{\text{even integer}}\\\\{\frac {1}{n}}\ln \left({1+v}\right)-{\frac {2}{n}}\sum \limits _{i=0}^{\textstyle {{n-3} \over 2}}{P_{i}\cos \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right)}+{\frac {2}{n}}\sum \limits _{i=0}^{\tfrac {n-3}{2}}{Q_{i}\sin \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right)},&n:{\text{odd integer}}\\\end{array}}\right.

где

{\begin{aligned}P_{i}&={\frac {1}{2}}\ln \left({v^{2}-2v\cos \left({{\frac {2i+1}{n}}\pi }\right)+1}\right)\\Q_{i}&=\arctan \left({\frac {v-\cos \left({{\textstyle {{2i+1} \over n}}\pi }\right)}{\sin \left({{\textstyle {{2i+1} \over n}}\pi }\right)}}\right)\end{aligned}}

См. также

Примеры дифференциальных уравнений

Ссылки

^ Хилле, Эйнар (1894). Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям . Издательская компания Аддисон-Уэсли . п. 675. ИСБН 978-0201530834 .
^ Цвиллингер, Дэниел (1998). Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е изд.). Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. п. 180. ИСБН 978-0-12-784396-4 .

[1] Хилле, Эйнар (1894). Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям . Издательская компания Аддисон-Уэсли . п. 675. ИСБН 978-0201530834 .

[2] Цвиллингер, Дэниел (1998). Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е изд.). Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. п. 180. ИСБН 978-0-12-784396-4 .

[1]

[2]